高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想及應(yīng)用

摘 要：高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著許多重要的數(shù)學(xué)思想，如極限思想、對(duì)立統(tǒng)一思想、數(shù)形結(jié)合思想等等，將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)，有助于提高學(xué)生的辯證思維能力和學(xué)習(xí)興趣，也能幫助學(xué)生取得良好的學(xué)習(xí)效果.

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)以微積分為主要內(nèi)容，是工程教育的核心和基礎(chǔ)，它不僅為學(xué)生學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程提供必要的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、推理計(jì)算技巧，更是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思維、應(yīng)對(duì)技術(shù)更新的能力的重要載體.

但高等數(shù)學(xué)內(nèi)容多且枯燥，定義、定理抽象，邏輯性強(qiáng)，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)感到吃力，因?yàn)椴焕斫猓灾荒堋八烙浻脖场保磕７聛?lái)解題，上一節(jié)課難以理解將會(huì)導(dǎo)致更加聽(tīng)不懂后續(xù)內(nèi)容.長(zhǎng)此以往，將會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性.因此，教師有必要在課堂教學(xué)中自覺(jué)地滲透數(shù)學(xué)思想.高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著很多重要的數(shù)學(xué)思想，如極限思想、對(duì)立統(tǒng)一思想、數(shù)形結(jié)合思想等.數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解、掌握，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)還能提高學(xué)生用數(shù)學(xué)思想分析實(shí)際問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，有利于學(xué)生的全面發(fā)展.本文從三種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想入手，探討高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想及其應(yīng)用.

1 極限思想及其應(yīng)用

極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是貫穿高等數(shù)學(xué)整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程的命脈，利用極限可以定義連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及微分、積分等，還可以推導(dǎo)相關(guān)運(yùn)算和性質(zhì)，所以，極限思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常重要的.

3.3 凹凸性

對(duì)于曲線(xiàn)凹凸性的定義，為便于理解我們可以利用數(shù)形結(jié)合思想將抽象的定義具體化.設(shè)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，如果對(duì)于I上任意兩點(diǎn)x1，x2，恒有fx1+x22＜f（x1）+f（x2）2，那么稱(chēng)f（x）在I上的圖形是（向上）凹的（或凹弧），區(qū)間I稱(chēng)為曲線(xiàn)y=f（x）的凹區(qū)間；如果恒有fx1+x22＞f（x1）+f（x2）2，那么稱(chēng)f（x）在I上的圖形是（向上）凸的（或凸弧），區(qū)間I稱(chēng)為曲線(xiàn)y=f（x）的凸區(qū)間.

如圖5，這條曲線(xiàn)直觀上來(lái)看是凹的，曲線(xiàn)上任取兩點(diǎn)，連接兩點(diǎn)間的弦，顯然，弦在曲線(xiàn)的上方，取x1，x2的中點(diǎn)x1+x22，在中點(diǎn)處，曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于弦對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，也就是fx1+x22＜f（x1）+f（x2）2，即中點(diǎn)處的函數(shù)值小于兩端點(diǎn)函數(shù)值的平均值，我們稱(chēng)它為凹弧.如圖6，這條曲線(xiàn)直觀上來(lái)看是凸的，曲線(xiàn)上任取兩點(diǎn)，連接兩點(diǎn)間的弦，顯然，弦在曲線(xiàn)的下方，取x1，x2的中點(diǎn)x1+x22，在中點(diǎn)處，曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于弦對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，也就是fx1+x22＞f（x1）+f（x2）2，即中點(diǎn)處的函數(shù)值大于兩端點(diǎn)函數(shù)值的平均值，我們稱(chēng)它為凸弧.

上述三個(gè)例子都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).高等數(shù)學(xué)本身是抽象的，教師在課堂教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將抽象的數(shù)學(xué)概念具體化，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想去理解概念定理，去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)能力，增加學(xué)習(xí)的興趣，這同時(shí)對(duì)促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展也有著重要的意義.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，比起數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是數(shù)學(xué)思想.經(jīng)過(guò)時(shí)間的沉淀，數(shù)學(xué)知識(shí)會(huì)被遺忘，但領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想會(huì)對(duì)今后的學(xué)習(xí)生活有很大的幫助，讓人終身受益.授人以魚(yú)，不如授之以漁，所以在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要用心挖掘，認(rèn)真整理，正確引導(dǎo)，科學(xué)講解，在傳授知識(shí)過(guò)程的同時(shí)，也要注重傳授數(shù)學(xué)思想.這樣不僅能幫助學(xué)生理解抽象的定義、定理，也能讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上更好地掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，構(gòu)建起適用于自身的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體系.此外，這樣的學(xué)習(xí)能提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，還能幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的意識(shí)，從而達(dá)到既教書(shū)又育人的目的.

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