CPFS結構理論下“直線與平面垂直的判定”的教學設計

陳玉蓮 謝徽 令狐泓

摘 要：CPFS結構理論是數學學科特有的理論，能有效地幫助學生構建完整的數學知識體系.研究以“直線與平面垂直的判定”為例，將此結構理論應用于教學中，以幫助學生更清晰地理解線面垂直的判定定理.

關鍵詞：CPFS結構理論；直線與平面垂直；教學設計

《普通高中數學課程標準（2017年版）》的頒布，使得新教材的排版順序發生了很大的變化.“直線與平面垂直的判定”在原人教版中位于必修二第二章的第三節，而在新教材中位于人教A版第八章第六節，同時，新教材還增加了“直線與直線垂直”的內容.“直線與直線垂直”雖然簡單，但線線垂直是線面垂直的基礎，增加的這部分內容能起到很好的過渡作用，是后續學習的基石.而這部分是高考的必考內容，且會以一個大題的形式出現，所以學好這一部分能夠明顯提高學生的得分率.由于這部分內容屬于空間幾何，有一定的難度，需要學生具備良好的空間想象能力、抽象能力、邏輯推理能力等，只有具備這些能力才能更好地梳理命題所需的條件，因此，教師在教學時要注意幫助學生理解概念、命題的本質含義，幫助學生構建良好的數學知識脈絡.

1 CPFS結構理論概述

南師大的喻平教授在他的博士論文《數學問題解決認知模式及教學理論研究》中提出的CPFS結構理論，是數學學習特有的結構理論.理論由四部分組成，分別是：概念域（concept field）、概念系（concept system）、命題域（proposition field）、命題系（proposition system）［1-2］.概念A的所有等價概念，組成了概念A的概念域，如橢圓的三種定義：平面內與兩定點F1，F2的距離之和等于常數2a（2a＞|F1F2|）的動點的軌跡叫做橢圓［3］平面內到定點F（c，0）的距離和到定直線l：x=a2c（F不在l上）的距離之比為常數ca的點的軌跡是橢圓在坐標軸內，到兩定點（a，0），（-a，0）的斜率乘積等于常數m（-1＜m＜0）的點的軌跡是橢圓（去掉了四個頂點的橢圓），這一組等價定義就是橢圓的概念域.而橢圓也可以看作是圓往一定方向壓縮或拉伸一定比例得到的圖形，即橢圓和圓的概念之間具有一定的關系，橢圓和圓的概念就可以組成一個概念系.同樣的，所有的等價命題構成的圖式就叫做命題域，而有著相關關系的命題域可以構成一個命題系.概念和命題是數學知識體系的基本構成元素，而每個學生腦內的概念和命題都不是單一存在的，它們之間有著概念、命題體系，共同組成了CPFS結構，每個學生的CPFS結構都異于別人，促進學生CPFS結構的形成，有助于提高學生的思辨能力與空間想象能力.

2 CPFS結構理論下“直線與平面垂直的判定”的教學設計

2.1 教材分析

“直線與平面垂直的判定”是高中數學人教A版必修第二冊第八章第六節第二課時的內容，是空間中直線與平面的另一特殊位置關系，也是后續面面垂直、建立空間坐標等知識的基礎，在教學中有著承上啟下的作用.在課程標準中，對本節課的要求是學生能用具體的數學語言表達垂直的性質以及判定，并能對某些結論進行論證，建立空間觀念［4］.在實際教學時，教師不需要證明這個定理，但要啟發引導學生通過探究活動得出定理的具體內容.

2.2 學情分析

學生在初中階段就已經學習過線線垂直了，知道線線垂直的判定定理，同時因為生活經驗，對線面垂直有直觀的感受.但學生的抽象能力與空間想象能力較弱，因此在教學時要引導學生通過生活中的例子抽象出線面垂直的圖形表示.另外，由于本章屬于空間立體幾何部分，所以教師要善于利用信息技術展示線面垂直的空間模型.

2.3 教學目標

知識與技能：通過生活中的經驗以及學習過的線面平行能夠抽象出線面垂直的幾何模型.再通過旗桿影子的例子得出線面垂直的定義，最后由折紙活動歸納出線面垂直的判定定理，并能簡單地應用定理.

過程與方法：運用啟發、引導的教學方式，使得學生在探索線面垂直的過程中，抽象能力與空間想象能力得到進一步的提升.

情感態度與價值觀：通過觀察旗桿與影子的位置關系和折紙活動能有效提高學生的觀察能力、動手能力，同時，激發出學生的好奇心，提高他們對數學的學習興趣.

2.4 教學重難點

重點：理解線面垂直的判定定理，并能簡單地應用此定理.

難點：探究、歸納出直線與平面垂直的判定定理［5］，體會定理中所蘊含的數學思想.

2.5 教學過程

2.5.1 復習引入

問題1：前面學習了直線與直線平行，接著學習了直線與平面平行的判定，然后又學習了直線與直線垂直，那大家思考一下接下來應該學習什么呢？

問題2：大家能不能根據自身的生活經驗，舉出一些直線與平面垂直的例子呢？

生：人直立于地面，旗桿垂直于地面，橋墩與水面垂直……

【設計意圖】學生能類比線面平行的學習順序，推出今天的學習內容為線面垂直的判定.而線面垂直的例子在生活中隨處可見，讓學生自己舉例，既鍛煉了學生用數學的眼光觀察世界的能力，又讓學生直觀感受了生活中的直線與平面垂直的模型，激發了學生的學習興趣.

2.5.2 數學抽象

問題3：你能根據前面舉的例子，在草稿紙上畫出直線與平面垂直的模型圖嗎？

【設計意圖】根據線面平行的模型圖，學生能夠很容易畫出線面垂直的模型圖.這一步是為了將生活中的例子用數學符號表示出來，既鍛煉了學生的數學抽象能力，又為學生形成CPFS結構奠定基礎.

2.5.3 探索新知

探究活動一：定義辨析

師：如圖，在陽光下，已知旗桿AB直立于地面，且能看到其影子BC.影子BC隨著時間的變化而不斷發生改變，那么，旗桿所在的直線AB與影子BC處于何種位置關系？

生：無論什么時候，旗桿AB都會和它的影子BC垂直.

師：這也就是說，旗桿AB會和平面內所有過B點的直線垂直.那平面內不過B點的直線呢？旗桿AB會和它們垂直嗎？

生：會，因為平面內所有不過B點的直線都可以移動到過B點.

師：所以旗桿AB與平面內的所有直線是怎樣的位置關系呢？

生：AB和平面內的直線都垂直.

師：根據我們的探究，當一條直線與某一平面內的所有直線都垂直時，稱這條直線與該平面垂直［6］，這就是直線與平面垂直的定義.

【設計意圖】通過對旗桿與影子位置關系的探索，可以很容易地得出直線與平面垂直的定義.

問題4：直線垂直于平面內的所有直線，“所有”一詞的意思等同于“任意”“全部”“每一條”“無數”嗎？

師：在這個定義中，“所有”一詞是什么意思呢？這個詞能換成“任意”“全部”“每一條”“無數”這些詞嗎？

生：“所有”指的是全部、每一條，應該可以換的吧？

師：沒錯，直線垂直于平面內的所有直線就是指直線與平面內的全部、每一條直線都垂直，也就是說，平面內的隨便一條直線都與該直線垂直.

生：“所有”一詞還可以換成“任意”一詞.

師：對！現在還剩“無數”一詞，它又是什么意思？

生：無窮多的意思.

師：直線與平面內的無窮多直線都垂直，能不能保證是與平面內的所有直線垂直？

生：不能，“所有”不能換成“無數”.

【設計意圖】學生能理解直線垂直于平面內的所有直線，再讓學生辨析“所有”一詞與“任意”“全部”“每一條”“無數”這幾個詞的區別與聯系，知道“所有”不等同于“無數”，進而讓學生發現矛盾的地方——無法找到平面內的所有直線，使得它們與已知直線垂直，為接下來的探索做好準備.

問題5：那應該怎樣判斷一條直線與平面垂直呢？你能從線面平行中得到什么啟發？

【設計意圖】因為無法直觀判斷直線是否與平面內的所有直線都垂直，所以需要探索直線最少和平面內的幾條直線垂直時能推出線面垂直，而學生能從線面平行的條件中得到啟發，猜測直線與平面中的一條直線垂直，就可得出線面垂直.

探究活動二：定理推斷

師：當直線只和平面內的一條直線垂直時，能否證明該直線與這個平面垂直？如果不能，你能舉一個反例嗎？

學生能用自己的筆和桌面擺一個簡單的模型，很容易發現這并不能推出線面垂直.

師：既然只垂直于平面內的一條直線不能推出線面垂直，那垂直于平面內的兩條直線可以推出來嗎？平面內的兩條直線是任意位置關系都可以嗎？

平面內的直線有平行和相交兩種位置關系，根據前面的探索，直線只有與平面中的兩條相交直線垂直時，才有可能和平面垂直.

師：如圖，在三角形紙片△ABC中，先將紙片△ABC過頂點A進行翻折，得到折痕AD，讓翻折的紙片直立于桌面上（其中BD、CD與桌面接觸）.（1） 折痕AD與桌面處于何種位置關系？（2） 怎樣翻折得到的折痕AD才能與桌面呈垂直關系？為什么［5］？

【設計意圖】通過這個折紙活動，學生會發現只有當折痕AD與BD、DC都垂直，即AD為BC邊上的高時，AD才會垂直于桌面.即直線垂直于平面內的兩條相交直線時，直線與平面垂直.學生自己探索出結論，既鍛煉了學生的操作能力，又能讓學生體會到得出結論的喜悅.

問題6：為什么直線只需要垂直于平面內的兩條相交直線就可以得出線面垂直？

生：因為平面內的任意一條直線都可以由這兩條相交的直線表示.

【設計意圖】這一問題復習了向量的知識點，任一向量都能由同一平面內的兩個不共線的向量表示.通過這個問題解決了線面垂直的定義所帶來的矛盾，即不能找完平面內的所有直線，使得它們與已知直線垂直.

問題7：你能試著將直線與平面垂直的判定定理用正確的數學符號語言表達出來嗎？

生：線面垂直的判定定理為：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直［7］.符號表示為：

∵a⊥m，a⊥n，mα，nα，m∩n=A，∴a⊥α.

【設計意圖】學生通過探究活動能說出線面垂直的判定定理，又因為他們已經學習過了線面平行的符號語言，所以參考線面平行的符號表示，解讀線面垂直的判定定理，能夠得出線面垂直判定定理的符號表示.

2.5.4 簡單應用

（1） 證明：已知a∥b，如果直線a垂直于平面α，那么直線b也垂直于平面α.你能畫出圖形并用兩種或以上的方法證明嗎？

（2） 如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，且SD⊥平面ABCD，證明：AC⊥平面SDB.

（3） 如圖，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，當底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A′C⊥B′D′？

【設計意圖】這三個例題難度遞增，第一題考查學生將文字語言轉換為圖形語言的能力；第二題是線面垂直的簡單應用；第三題難度較大，考查了線面垂直的逆應用.這三道題目不僅考查了學生對線面垂直判定定理的應用，也考查了學生的抽象能力、發散思維，還強化了以往知識與線面垂直之間的聯系，有利于構建學生的CPFS結構.

3 總結

3.1 厘清CPFS結構的四個要素，幫助學生形成完善的CPFS結構

數學理論體系結構完整，知識板塊之間都有著或強或弱的相關關系，而講授新的知識會用到以往學過的知識，教師就要首先找到概念與概念、命題與命題之間的聯系，將知識串聯起來，以一個體系的方式教授給學生.學生接收到的知識是完整且有聯系的，這樣才能更好地形成完善的CPFS結構.比如在線面垂直的判定定理教學中，教師關聯了線面平行、線線垂直、向量等相關知識，把新知識與舊知識聯系起來，學生不僅更容易接受新知識，而且更能在自己的頭腦中將所有的知識都理成一條線，清晰地構建數學理論體系.

3.2 教學要抽絲剝繭，引導學生自己得出結論

教學不是將知識灌輸給學生，讓學生記住結論就行，而是應該讓他們知其然，更知其所以然.因此在教學時，教師要根據學生的具體情況，運用啟發誘導的方式，靈活地創設合適的情境，引導學生自己得出結論.在本節課中，教師首先調動學生自身的經驗，讓學生自己舉出生活中的例子，再讓學生仿照線面平行抽象出線面垂直的模型圖.學生經過旗桿影子的探究活動，自己總結出線面垂直的定義，進而發現無法找到平面內的所有直線使得它們與已知直線垂直，所以需要尋找其它的辦法，再由教師引導著學生探索最少需要幾條直線與已知直線垂直，最后通過探究活動二由學生自己總結出定理.在整個過程中，教師始終發揮引導的作用，利用一個個巧妙的問題指引學生自己得出結論.

3.3 尊重學生主體地位，促進學生核心素養的形成

學生在課堂上占主體地位，教學要以學生為中心.教師不能忽視學生的現實情況自講自聽，而是要根據學生的認知水平和實時反應及時調整自己的教學策略.若發現大多數學生在哪一塊知識上接受度較低，就著重細化這一塊知識.教學該有的過程必須要有，比如在本節課中，讓學生抽象出線面垂直的模型就能很好地鍛煉學生的數學抽象、數學建模、直觀想象等素養.學生的數學核心素養不是一朝一夕就能養成的，只有尊重了學生的主體地位，才能在日積月累的培養中，促進學生數學核心素養的形成.

參考文獻：

［1］ 喻平.數學問題解決認知模式及教學理論研究［D］.南京師范大學，2002.

［2］ 曹瑞彬.基于CPFS結構理論的高三數學復習教學［J］.上海教育科研，2016（10）：82-85.

［3］ 廖麗丹.從生成到深入——談“橢圓及其標準方程”教學［J］.讀書文摘，2019（9）：97.

［4］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［5］ 李珍，馬文俊.創設問題情境，關注生成過程，提升核心素養——“直線與平面垂直的判定”教學實踐與思考［J］.中學數學研究，2022（4）：6-9.

［6］ 李生，王克亮.讓直觀演示也散發出理性的光芒——“直線與平面垂直（1）”的聽課反思［J］.數學通訊，2013（16）：19-21.

［7］ 韋愛群.基于信息化條件下數學教學探究——以《直線和平面垂直的判定定理及應用》為例［J］.廣西教育，2019（6）：56-58.