基于數學運算素養的高三復習實踐與思考

劉鳳珠

摘要：數學運算是六大核心素養中最基本的素養，是學生學習數學的必備能力.從2022年新高考全國卷可以看出，整張試卷計算量非常大，很多考生時間都不夠用.如何培養學生的運算能力，使其在有限的兩小時內盡可能快速準確地解決問題，是每位教師面臨的一大難題.若僅靠大量的機械運算，往往收效甚微，這就需要教師合理設計好每一堂課，落實到每一道具體題目中.本文以三角恒等變換為例，談一談如何培養學生的數學運算能力.

關鍵詞：數學運算；三角恒等變換；課堂教學

1問題提出

利用公式對三角函數式進行的恒等變換就是三角恒等變換.這節內容在教學中處于上承三角函數下啟解三角形的位置，往往與解三角形一起考查，那么新高考到底考什么？下面整理了近三年三角函數與三角恒等變換及解三角形在新高考卷上的分布：

從表格中我們發現：新高考對三角恒等變換這塊考查并不是單一的，而是互相關聯的，用多個基礎知識構建了綜合問題，而且從未來考查趨勢看，應該會維持這種關聯性并向外拓展，充分體現了“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的綜合評價［1］.而利用三角恒等變換化簡三角函數式歷來是教學中的一個重點難點，因為在化簡的過程中涉及到的公式很多，知識面較廣，靈活性也較強，若第一個選擇方向不對，有可能導致化不出來，又或觀察力不強，只會死算，計算量大，費的時間也多，很可能又一不小心化錯，導致整個解答題失分的都有，如何讓學生合理地分析問題，找準方向，分析問題，解決問題呢？

2問題解決

2.1注重概念教學，注重公式定理法則的證明

概念知識是一般數學運算的基礎，是數學操作的重要載體，是提高學生運算能力基礎的重要保障.要提高運算能力，就必須對數學概念有深刻的認識.在數學運算教學中，教師要引導學生發展概念知識，幫助學生理解公式的應用規律，學會選擇正確的數學規律解題，以保證數學概念與運算過程的一致性，促使學生發現和理解數學概念的內在規律［2］.

對于三角恒等變換的復習，可以從回顧公式及其推導開始，如在新教材中對于兩角差的余弦公式的推導是用三角形全等和距離公式推導的（沒有三角函數線的概念，沒有學到向量的知識和解三角形的知識）.但作為復習課，教師完全可以放開讓學生用已有的知識大膽的去證明：

教師可以有選擇性的去引導學生選擇證明的方法，如可以選擇以下兩個方法.

方法1：構建單位圓轉化為向量，用向量的數量積證明.

方法2：構建單位圓轉化到三角形中，用余弦定理及兩點間距離公式證明或三角形全等及兩點間距離公式證明.

課標中明確指出數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程，主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等［3］.這樣的設計使學生充分了解公式的來龍去脈，既證明了公式加深了印象，讓學生更好地轉化為自己的知識，更靈活地去運用它，又復習了向量的數量積，解三角形等知識，讓學生體會到知識是環環相扣的，感受數學運算的魅力，更好地提高對運算的興趣.因此教師要對定理、公式等的證明進行講解，幫助學生更加深入地了解其中的內在關系、理解其中的運算對象，從而提高學生的數學運算素養.

2.2注重例題分析

這里以教學中的幾個片段為例

教學片段1

化簡：（2cos4x－2cos2x＋（1?2??2tan（（π?4?－xsin2（（π?4?＋x?＝______.

本題看著有點復雜，所以部分有畏難心理的學生已經放棄嘗試了，另外部分學生無方向的嘗試后并沒有化簡出來，也說明了這些同學可能公式并不是很熟練，以下為幾位化簡出來的同學的解題思路.

生1：分子上先提出個2，里面是個完全平方，再用降冪公式2JB（（cos2x－?1?2?2=2?1+cos2x?2?－?1?2?2=?1?2?cos22x，分母上先切化弦，然后全部展開?2??2??2?cosx－??2??2?sinx） ??2??2?cosx+??2??2?sinx?·??2??2?cosx+??2??2?sinx）2=2??2??2?cosx－??2??2?sinx）·??2??2?cosx+??2??2?sinx）

=cos2x－sin2x=cos2x，

最終結果是?1?2?cos2x.

生2：我分母上沒看出來是完全平方，直接用降冪公式代入化簡，再展開計算就可以了2?1+cos2x?2?2－2·?1+cos2x?2?+?1?2?=?1?2?cos22x，分母上和生1是一樣.

生3：我是看到前面次數較高，就提了個cos2x出來試試，化著化著就出來了，

分母也是和前面兩位同學一樣做的.

師：很好！生1的觀察能力強，發現了分子上是個完全平方，再用降冪公式處理，很快解決了，但若能結合二倍角公式提個?1?2?，里面直接是cos22x就更快了；生2看見次數高，能想到降冪公式降次處理，是我們常用的方法，也能大膽的全部展開嘗試下去，很不錯；生3雖然看著無方向但有公因式提取公因式后，能用同角三角函數關系式逆用，倍角公式的逆用進行化簡，就要做到底，不半途而廢，也很不錯.從解答中可以看出三位同學都熟練掌握了公式，但分母的處理都是直接展開計算的，我們一起觀察一下，里面出現了?π?4?－x，?π?4?+x這兩個非常特殊的角，是可以用誘導公式互化的sin?π?4?+xJB））=cos?π?4?－xJB）），那么

原式?＝（（1?2?（4cos4x－4cos2x＋1）?2·（sin（（π?4?－x?cos（（π?4?－x?·cos2（（π?4?－x

＝（（2cos2x－1）2?4sin（（π?4?－xcos（（π?4?－x

＝（cos22x?2sin（（π?2?－2x??＝（cos22x?2cos2x

=（1?2?cos2x.

師：我們不能隨意落筆計算，而是要在明晰運算對象的基礎上，結合三角函數式的結構特點選擇方法的.一般可以遵循“三看”原則：①看角之間的關系，發現?π?4?－x，?π?4?+x之間的互余關系，則可化為同一個角；②看函數名稱，有切有弦時，常常切化弦，化成統一形式；③看次數，次數不同時可用降冪或升冪公式化到同次，基本遵循化統一的原則.另外再結合公式的熟練度和一定的觀察力，就能達到正確運算、快速解決問題的目的.

變式練習1：化簡求值：（1＋cos20°?2sin20°?－sin10°JB<2（（1?tan5°?－tan5°

變式練習2：化簡求值：?sin5°－sin20°cos15°?cos5°－sin20°sin15°?.

教學片段2已知cos（θ＋（π?4?＝（10??10?，θ∈（0，（π?2?，則sin（2θ－（π?3?＝______.

生1：把前面的展開化簡得cosθ－sinθ=??5??5?，再和cos2θ+sin2θ=1聯立方程組解出sinθ，cosθ，再解出sin2θ，cos2θ，代入最終的目標即可.

生2：換元，令t=θ+?π?4?，反解出θ=t－?π?4?，則已知條件是cost=??10??10?，所求目標也用t表示，是sin?2t－?5π?6?，再算出sin2t，cos2t代入即可.

生3：cos2?θ+?π?4?=－sin2θ=2cos2?θ+?π?4?－1，即sin2θ=?4?5?，再算出cos2θ，直接代入即可.

師：確實，三種方法都能算出結果，請同學們把自己選擇的方法先算一算，再用其他同學的方法算一算，對比一下，然后想一想下次遇到這種問題如何處理.

師：（投影）很明顯，第一種方法的運算量最大，是很直接的公式展開計算，在聯立方程組計算量不算大的時候可以選擇用；第二種方法是我們常說的“角變換”，“湊角”的思想，是一種全新的運算思路，并且用整體換元的方法簡化了湊角的過程，提高了運算的準確性和快捷性；第三種方法比較特殊，正好已知角是θ+?π?4?，它的二倍角正好是2θ+?π?2?，可以用誘導公式化掉?π?2?直接得到2θ的三角函數值，運算量最小，速度最快，準確性最高.對于這題，選這種方法最好.不過如果把已知角換成θ+?π?3?，第三種方法就不適用了，它不具有一般性，第一第二中具有一般性，一般會選第二中湊角的方法比較好.

變式練習1：設α為銳角，若cosJB（（α+?π?6?=?4?5?，則sinJB（（2α+?π?12?的值為______.

變式練習2：已知α，β均為銳角，cosα＝（27??7?，sinβ＝（33??14?，則2α－β＝______.

教學片段3已知cos?π?4?+θJB））=?4?5?，?17π?12?<θ

KG5*2?KG5*2?KG5*2?KH-1

A．?100?21

B.-?100?21

C.?75?28

D.-?75?28

本題是2022無錫市期中調研卷第7題，據統計，校均分為2.34，我所帶的兩個班級，分別為1.91和3.27，整體并不是很理想.所以在評講試卷時，請同學們先說一說自己的做法.

生1：老師，您在前面強調過角變換，所以我第一反應就是先用角變換把cosθ=cos?π?4?+θ-?π?4?算出來，再求出sinθ，tanθ，全部帶入做的，感覺也挺順利，就是不知道哪里算錯了.

師：能想到用角變換計算cosθ，很不錯，節省了時間，那計算sinθ時有沒有根據角的范圍判斷正負？還是平方出來直接取正？此方法計算量還是有的，所以一定要細心運算才行.順便問一問，有沒有同學拆出來和sin2θ+cos2θ=1聯立方程計算的？舉手看看（很多個同學舉起了手）死算的計算量很大，易出錯，費的時間也多，還影響了后面的解題.那有沒有其他方法呢？

生2：我是先把后面的式子切化弦，然后用輔助角公式化簡.

教師板書：

原式=?1-?sinθ?cosθ??2sin2θ+sin2θ?=?cosθ-sinθ?2sinθcosθ（sinθ+cosθ）?=??2?cosJB（（θ+?π?4??sin2θ·?2?sinJB（（θ+?π?4??=?cosJB（（θ+?π?4??sin2θ·sinJB（（θ+?π?4??.

生2：分子上就是題目所給的條件，分母上的sin2θ用二倍角公式cos2?π?4?+θJB））計算.

教師板書：cos2?π?4?+θJB））=2cos2?π?4?+θJB））-1=2·?16?25?-1=?7?25?.

生2：sin?π?4?+θJB））用平方和等于1的解一下就行，主要是判斷一下正負.

教師板書：∵?17π?12?<θ

∴原式=??4?5???7?25?·?3?5??=?100?21?.

教室里一片驚嘆聲！哇！有些同學說我花了二十分鐘才算出來的居然這么簡單！

師：生2的方法確實最簡潔，把所求化到最簡，然后根據條件及?π?4?+θ的特殊性，選擇恰當的方法處理，快速準確地解決了問題，說明三角恒等變換中的公式已經熟練掌握并能靈活運用，節省了時間提高了運算的信心.還有不同的解法嗎？

生3：我是弦化切做的，發現分母上都是二次的，再構造一個分母化成齊次式，全部化到切，然后用生1的方法把tanθ算出來代入即可.

教師板書：原式=?1-tanθ??2sin2θ+2sinθcosθ?sin2θ+cos2θ??=?1-tanθ??2tan2θ+2tanθ?tan2θ+1??=?（1-tanθ）（tan2θ+1）?2tan2θ+2tanθ?.

師：不錯！生3的方法說明對弦化切的模型非常熟悉，并能用角變換的方法求解cosθ，sinθ，再求出tanθ，而不是一味的死算，很好！

對于片段1和2，是在復習三角恒等變換時講解的，而片段3是最近考試遇到的，但可以發現，其實片段3的題不正是1和2的綜合嗎！可是學生對綜合題的分析還是欠缺的，只顧一味地死算，做題時沒有思考怎么算才是最優地，沒有預判，這可能和平時地習慣有關系，平時作業多，每一道題都沒有仔細地考慮就下筆算了.

3問題提升

課堂上教師要舍得留時間讓學生自主探索、嘗試.在這個過程中，他們可能會遇到很多困難，走很多彎路，甚至費了很多時間精力卻算不下去，但是只有經歷了這個過程，學生們才能在挫折中成長，找到更優的解決問題的方法，這個過程對于學生探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序具有重要意義.三角恒等變換中的角變換往往是解題的關鍵，解題時需要根據已知條件去湊所求的角，若已知角只有一個，可以用整體換元的思想簡化湊角的過程，若已知角有兩個，可以把兩個角加或減，或乘2除2再加或減去湊角，讓學生從三角恒等變換的解題過程中吸取教訓，總結經驗，從而提升學生的數學運算能力.

課堂上教師也要舍得花時間演示計算過程，不能因為是純計算題而不講解了或口頭說說，忽視了運算中學生會遇到的計算障礙.如2022無錫市期中調研考試第18（2）題，是個向量的計算題，很多學生卡死在了計算上，只會死算展開，就會出現高次，化不下去了，而不會一開始就把能提取公因式地先提取，我校整個年級地均分只有1.58分（總分8分）.所以教師一定要重視板書演示計算過程，慢慢滲透到學生們的心里，克服畏難運算心理，使他們發現數學運算的樂趣.

課后作業要精選，讓學生對每一道題都有思考地時間，對于有難度的題，也有嘗試的時間，而不是為了完成作業趕任務似的，草草看一下就做，甚至有點難度的題嘗試了一下不會就放棄了.一定要讓學生多思考，多嘗試，多對比，才能提升數學運算能力.

數學運算是數學的“童子功”，數學運算能力的培養提升，不是一朝一夕的一日之功，而是堅持不懈的日日之功.教師課前可以用學生的思維方式去分析思考問題，盡可能的想到學生會出現哪些障礙，設計好恰當的問題串，幫學生做好鋪墊，讓學生在課堂上提高效率，提高學生的運算信心，進而提高學生的運算能力.

參考文獻：

［1］邱婉珠.高中生數學運算素養的現狀與對策研究［D］.閩南師范大學，2021.

［2］王健.例談高中數學核心素養的培養策略——基于課堂教學中數學運算維度［J］.考試周刊，2021（99）：82-84.

［3］普通高中課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2017.FL）