條件是否多余，值得研究商榷

許琳

摘要：數學問題中的題設條件或信息在實際解題過程中是否得以應用是常規命題的一個基本框架與預設.本文結合一道模擬題，借助題目中的信息，從不同思維視角與技巧方法出發，分析與求解，剖析題設條件是否全部應用.

關鍵詞：雙曲線；直線；離心率；平面幾何

在求解一些高考模擬題或高考真題時，有時會碰到解析過程中沒有用到題設條件中的若干條件或信息，而題目就得以解決，這是否說明解析出錯？按常規情況，題設條件中的所有信息都有一定的用處，若有條件或信息沒有用到，往往感覺離錯誤已經不遠了．那么現實是否是這樣的？本文結合一道模擬題，談談對以上問題的想法.

1原題呈現

0題目（2023屆福建省泉州市高三畢業班質量監測（一）數學試題·16）在平面直角坐標系xOy中，已知F1，F2為雙曲線C：x2a2－y2b2=1的左、右焦點，A1，A2為C的左、右頂點，P為C左支上一點，若PO平分∠A1PF2，直線PF1與PA1的斜率分別為k1，k2，且k1=－k2=15，則C的離心率等于．

本題是一道圓錐曲線中有關雙曲線的離心率的求值問題，以平面解析幾何的背景創設，合理融入平面幾何圖形的相關知識，結合了平面幾何中的三角形內角平分線定理，平面解析幾何中的直線的斜率等相關知識點，很好交匯了平面幾何與平面解析幾何、以及三角函數等相關知識，是一道新穎創新的好題．

2問題破解

2．1思維視角1：平面幾何思維

0方法1：平面幾何法1

0解析：如圖所示，OA1=a，OF2=c，

易知S△POA1：S△POF2=a∶c，

而

S△POA1=12×PA1×PO×sin∠OPA1，

S△POF2=12×PF2×PO×sin∠OPF2，

結合PO平分∠A1PF2，知∠OPA1=∠OPF2，則有PA1∶PF2=a∶c.

過點P作PB⊥x軸，垂足為B，

由于k1=－k2=15，知PF1和PA1關于PB對稱，即有PF1=PA1，所以PF1∶PF2=a∶c.

結合雙曲線的定義，知PF2－PF1=2a，解得PF1=2a2c-a，而A1F1=c－a，可得BF1=c-a2.

設直線PF1的傾斜角為α，則k1=tanα=15，可得cosα=14，

所以在Rt△PBF1中，cosα=BF1PF1=14，

即c-a2×c-a2a2=14，整理可得c=2a，

所以雙曲線C的離心率e=ca=2，故填答案：2．

0解后反思：根據平面幾何圖形的特征轉化，通過三角形的面積及其性質來確定線段的比例關系，利用幾何作圖以及雙曲線的定義轉化，結合三角函數的定義以及解直角三角形來構建雙曲線中的基本量a，b，c之間的關系式，得以求解相應的離心率．平面幾何法處理過程中，直觀形象和數形結合是解決此類問題中比較常用的一種技巧方法．

0方法2：平面幾何法2

0解析：過點P作PB⊥x軸，垂足為B，而k1=－k2=15，則知PF1和PA1關于PB對稱，即有PF1=PA1，因為A1F1=c－a，則BF1=c-a2.

設直線PF1的傾斜角為α，則k1=tanα=15，可得cosα=14，

在Rt△PBF1中，cosα=BF1PF1=14，

可得PF1=4BF1=2c－2a，

結合雙曲線的定義，可得PF2=PF1+2a=2c.

又PO平分∠A1PF2，結合三角形內角平分線定理，有PA1PF2=OA1OF2=ac，即PF1PF2=ac，

則有2c-2a2c=ac，即c=2a，所以雙曲線C的離心率e=ca=2，故填答案：2．

0解后反思：根據平面幾何圖形的特征轉化，從另一個視角來分析與求解，與方法1的思維方式大體雷同，只是求解起來更加緊湊、更加流暢、更加簡捷．這里回歸初中階段直角三角形中的三角函數的定義，并結合雙曲線的定義，是破解問題的關鍵所在．平面幾何圖形的直觀形象以及數形結合應用，也是解決問題中的重點之一．

2．2思維視角2：解三角形思維

0方法3：解三角形法

0解析：過點P作PB⊥x軸，垂足為B，而k1=－k2，則知PF1和PA1關于PB對稱，即有PF1=PA1，

且PO平分∠A1PF2，結合三角形內角平分線定理，有PA1PF2=OA1OF2=ac，即PF1PF2=ac.

結合雙曲線的定義，可得PF1PF1+2a=ac，解得PF1=2a2c-a，則PF2=PF1+2a=2acc-a.

設直線PF1的傾斜角為α，則k1=tanα=15，可得cosα=14，

在△PF1F2中，利用余弦定理，可得

cosα=PF21+F1F22-PF222PF1×F1F2=14，

則有2a2c-a2+4c2-2acc-a22×2a2c-a×2c=14，整理可得2c4－4ac3－a2c2+a3c+2a4=0，即2e4－4e3－e2+e+2=0，亦即（e－2）（e－1）（2e2+2e+1）=0，解得e=2或e=1（舍去），

所以雙曲線C的離心率e=2，故填答案：2．

0解后反思：根據平面幾何圖形的特征轉化以及應用三角形內角平分線定理，確定各對應線段的長度，結合解三角形中的余弦定理來構建雙曲線中的基本量a，b，c之間的關系式，利用四次方程的轉化與求解來達到目的．這里在構建含基本量的關系式時，數學運算量比較大，導致部分學生不易上手或無法解決．

2．3思維視角3：解析幾何思維

0方法4：解析幾何法

0解析：過點P作PB⊥x軸，垂足為B，而k1=－k2=15，則知PF1和PA1關于PB對稱，

由于A1F1=c－a，可得BF1=c-a2，PB=15（c-a）2，則知P－a+c2，15（c-a）2，

且P為C左支上一點，則有

（a+c）24a2－15（c-a）24b2=1，

結合b2=c2－a2，整理可得c2+4ac－12a2=0，即e2+4e－12=0，解得e=2或e=－16（舍去），

所以雙曲線C的離心率e=2，故填答案：2．

0解后反思：根據平面幾何圖形的幾何特征，直接確定點P的坐標，進而代入雙曲線方程，整理得到雙曲線中的基本量a，b，c之間的關系，從而得以求解相應的離心率．利用解析幾何法處理問題時，題目條件“PO平分∠A1PF2”在實際求解過程中并沒有涉及與應用，是本題的一個多余條件．

0方法5：焦半徑公式法

0解析：過點P作PB⊥x軸，垂足為B，而k1=－k2，則知PF1和PA1關于PB對稱，即有PF1=PA1，

又A1F1=c－a，可得BF1=c-a2，則有OB=c－c-a2=a+c2，即點P的橫坐標xP=－a+c2.

由于P為C左支上一點，

根據雙曲線的焦半徑公式，可知

PF1=－（exP+a）=ac+c2-2a22a，

PF2=－（exP－a）=ac+c2+2a22a，

而PO平分∠A1PF2，結合三角形內角平分線定理，有PA1PF2=OA1OF2=ac，

則有ac+c2-2a22aac+c2+2a22a=ac，

整理可得c3－3a2c－2a3=0，

即e3－3e－2=0，亦即（e－2）（e+1）2=0，

解得e=2或e=－1（舍去），所以雙曲線C的離心率e=2，故填答案：2．

0解后反思：根據圓錐曲線中的二級結論——雙曲線的焦半徑公式，結合點P的橫坐標的確定得以求解對應的焦半徑，利用三角形內角平分線定理來構建雙曲線中的基本量a，b，c之間的關系式，最近通過對三次方程的求解來解決本題．利用焦半徑公式法處理問題時，題目條件“k1=－k2=15”中的具體數據在實際求解過程中并沒有涉及與應用，是本題的一個多余條件．

3問題商榷

當然本題也有一點小爭議值得大家商榷，大多數解題者都認為平面幾何中的“三角形內角平分線”這個條件和“直線的斜率互為相反數”這個數據，這兩者之間，其中有一個條件是多余的，可見具體解決過程．

上述爭議，是否代表著一種特殊命題方式與命題方向呢？在此類創新問題中，若題設中的條件如果少了，題目無法解決；但題設中的條件多了，對解題沒有什么影響，而在于同學們選取其中哪一個條件進行解題，或解答過程中是否全面考慮題設中的所有信息條件等．

開放性條件或開放性結論，都是新高考創新性題型之一，而以上多余條件的開放命題方式有時也是一種不錯的嘗試，利用一些相關的方法解決時可以用到所有條件，而利用其他一些相關的方法解決時可以缺少其中個別條件，也給創新命題提供一個更加特殊的平臺．