思維發散，鏈接高考，變式拓展

吳海波

摘要：抽象函數的求值問題，是近年新高考數學試卷中的一個熱點與難點，需要結合函數的基本性質（包括奇偶性、單調性、周期性等），進而借助邏輯推理與數學運算來綜合歸納與求解.本文結合一道模擬卷中抽象函數求值題實例，進行思維發散展開，巧妙高考鏈接，合理變式拓展，技巧方法總結，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：抽象函數；基本性質；周期；特殊；變式

抽象函數是在基本初等函數的基礎上的升華，是基于基本初等函數且合理交匯函數的概念、基本性質、解析式以及圖象等眾多的相關知識，同時融合其他相關知識與思想方法的一個重要知識點.抽象函數及其相關基本性質問題是近年高考中的一類常見題型，合理升華知識，巧妙知識融合，吻合高考命題的指導精神.

1問題呈現

問題：（2022—2023學年江蘇省南京市高三（上）學情調研數學試卷（9月份）·8）已知函數f（x），任意x，y∈R，滿足f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），且f（1）=2，f（2）=0，則f（1）+f（2）+…+f（90）=（）

A. -2

B. 0

C. 2

D. 4

此題是一道與抽象函數的基本性質相關的問題，此類問題是近年新高考中的一個熱點問題，主要考查抽象函數的基本性質及其應用.

解決此類問題的一般思路有兩種：（1） 特值法；（2） 函數的基本性質法：對稱性、周期性等.

2問題破解

2.1思維視角1：函數基本性質思維

方法1：（函數基本性質——奇偶討論法1）

解析：由于f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），

令x=2，y=1，可得f（3）f（1）=f2（2）-f2（1），結合f（1）=2，f（2）=0，解得f（3）=-2，

令y=2，可得f（x+2）f（x-2）=f2（x）-f2（2）=f2（x），結合f（1）=2，f（3）=-2，可得f（5）=2，f（7）=-2，…，f（2n-1）=（-1）n-1×2，n∈N*，

令y=1，可得f（x+1）f（x-1）=f2（x）-f2（1）=f2（x）-4，令x=2n，n∈N*，可得f2（2n）=f（2n+1）f（2n-1）+4=0，解得f（2）=f（4）=…=f（2n）=0，n∈N*，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=2+0+（-2）+0+…+2+0=2，

故選擇答案：C.

方法2：（函數基本性質——奇偶討論法2）

解析：由于f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），f（1）=2，f（2）=0，

令x=2，y=1，可得f（3）f（1）=f2（2）-f2（1），解得f（3）=-2，

令x=3，y=2，可得f（5）f（1）=f2（3）-f2（2），解得f（5）=2，

令y=2，可得f（x+2）f（x-2）=f2（x）-f2（2）=f2（x），可得f（7）=-2，f（9）=2，…，f（2n-1）=（-1）n-1×2，n∈N*，

令x=3，y=1，可得f（4）f（2）=f2（3）-f2（1）=0，①

令x=4，y=2，可得f（6）f（2）=f2（4）-f2（2）=f2（4），②

令x=5，y=1，可得f（6）f（4）=f2（5）-f2（1）=0，③

假設f（4）≠0，那么由③可知f（6）=0，將f（2）=0，f（6）=0代入②式發現與f（4）≠0矛盾，所以f（4）≠0不成立，即f（4）=0，

同理可得f（2n）=0，n∈N*，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=f（1）+f（3）+…+f（89）=2，

故選擇答案：C.

方法3：（函數基本性質——周期法）

解析：由于f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），

令x-y=2，即x=y+2，結合f（2）=0，可得f2（y+2）-f2（y）=0，即|f（y+2）|=|f（y）|，則知函數|f（y）|是以2為周期的函數，

而結合f（2）=0，可得f（2n）=0，n∈N*，

又f（2n+1）f（2n-1）=f2（2n）-f2（1）=-4＜0，且|f（2n+1）|=|f（2n-1）|，可得f（2n+1）=-f（2n-1），

所以f（x+2）=-f（x）恒成立，則有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），那么函數f（x）是以4為周期的函數，

而f（1）=2，f（2）=0，進而求得f（3）=-f（1）=-2，f（4）=f（2）=0，

則有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=22×［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）］+f（1）+f（2）=2，

故選擇答案：C.

解后反思：根據題設條件中的關系式，通過賦值法處理，結合函數的基本性質進行邏輯推理與歸納，確定函數的周期性或奇偶項值的規律，進而進行求值.具體推理時，借助奇偶項值的規律，或奇偶討論法，或奇偶討論與周期綜合法，或周期法等，都可以達到目的，切入點不同，歸納的視角也不同，但殊途同歸.

2.2思維視角2：特殊模型思維

方法4：（特殊函數法）

解析：結合已知條件f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），聯想到正弦平方差公式：sin2x-sin2y=sin（x+y）sin（x-y），從而構造特殊函數輔助特殊化處理，

令特殊函數f（x）=2sinπ2x，該函數滿足題設條件，

此時函數f（x）是以4為周期的函數，

而f（1）=2，f（2）=0，進而求得f（3）=-2，f（4）=0，

則有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=22×［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）］+f（1）+f（2）=2，

故選擇答案：C.

解后反思：根據題設條件中的關系式，合理聯想與之相似結構特征的公式，進而為構造特殊函數輔助分析與處理提供條件.熟練掌握一些具有特定結構特征的基本初等函數類型（特別是冪函數、指數函數、對數函數以及三角函數等），為解決此類問題的特殊函數模型思維提供理論依據，也是綜合創新應用的基礎.

3鏈接高考

高考真題：（2022年高考數學新高考Ⅱ卷·8）若函數f（x）的定義域為R，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，則∑22k=1f（k）=（）

A. -3

B. -2

C. 0

D. 1

解析：結合已知條件f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），聯想到余弦函數積化和差公式cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，從而構造特殊函數輔助特殊化處理，

令特殊函數模型f（x）=2cosπ3x，則函數f（x）滿足題目條件，

于是，可知函數f（x）的周期為6，且f（1）=1，f（2）=-1，f（3）=-2，f（4）=-1，f（5）=1，f（6）=2，

所以∑22k=1f（k）=4［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）］-f（5）-f（6）=4×0-1-2=-3，故選擇答案：A.

4變式拓展

變式：已知函數f（x），任意x，y∈R，滿足f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），且f（1）=2，f（2）=0，則f（1）+f（2）+…+f（2023）=（）

A. -2

B. 0

C. 2

D. 4

（解答略，答案：B.）

5教學啟示

5.1技巧策略，規律總結

抽象函數綜合創新應用問題的解決，主要的技巧方法包括：（1） 回歸定義，借助相應抽象函數關系式的定義加以合理賦值與應用；（2） 歸納推理，借助關系式的特征，通過前若干項的分析進行合理的歸納與分析；（3） 特殊模型，借助特殊函數模型的構建，使之吻合題設條件，進而加以特殊化處理；（4） 數形結合，借助直觀模型特征的構建，通過直觀形象分析來解決等.

5.2熟知性質，快捷應用

涉及抽象函數綜合創新應用問題中，經常需要用到一些函數的基本性質，如函數的奇偶性、單調性以及周期性、對稱性等相關的結論.在實際解決問題過程中，借助相關的基本性質結論，可以很好快捷分析與推理，借助相應的數學運算、邏輯推理、直觀模型等來綜合應用，從而優化過程，提升效益.