倡導“一題多解”，開拓發散思維

張正君

摘要：“一題多解”可以很好地考查學生的邏輯思維能力與數學發散思維等，教師應注重將“一題多解”的意識滲透到數學解題教學中．本文結合一道解三角形的證明題，從三角函數、解三角形、推理證明以及平面幾何等不同的視角切入并展示不同方法，讓學生在解題探究中感悟數學思想方法之美，培養學生思維的發散性，開拓學生視野，提升學生的核心素養．

關鍵詞：解三角形；三角函數；推理證明；平面幾何

“一題多解”的倡導與實施，在一定程度上可以開闊學生解題思路，發散學生數學思維，多角度、多層面去分析、處理與解決問題．借助“一題多解”，在發散學生數學思維的同時，優選最佳的方法，并在此過程中不斷探究，靈活變通，實現在探究中升華能力，研究之路定會越鋪越遠．

1問題呈現

問題在△ABC中，內角A，B，C滿足2sin2A+sin2B=2sin2C．

（1） 求證：tanC=3tanA；

（2） 求1/tanA+2/tanB+3/tanC的最小值．

此題以三角形中的對應內角的正弦值的平方關系式來創設問題情境，進而證明兩內角的正切值之間的數量關系，以及求解三內角的正切值的倒數的關系式的最值問題．這里第一問中三角關系式的證明是問題的難點與關鍵所在，結合題設條件，可以從三角函數、解三角形、推理證明以及平面幾何等思維視角切入，利用不同視角的思維展開與應用來達到目的．本文僅對第（1）問加以剖析.

2問題破解

思維視角1：三角函數思維

方法1：（三角恒等變換法1）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，可得2sin2A+sin2（A+C）=2sin2C，

則有2sin2A+（sinAcosC+cosAsinC）2=2sin2C，

展開有2sin2A+sin2Acos2C+cos2Asin2C+2sinAcosAsinCcosC=2sin2C，

可得2sin2A（sin2C+cos2C）+sin2Acos2C+cos2Asin2C+2sinAcosAsinCcosC=2sin2C（sin2A+cos2A），整理有3sin2Acos2C+2sinAcosAsinCcosC－cos2Asin2C=0，

以上式子兩邊同時除以cos2Acos2C，可得3tan2A+2tanAtanC－tan2C=0，

則有（3tanA－tanC）（tanA+tanC）=0，解得tanC=3tanA或tanA=－tanC（舍去），

所以結論tanC=3tanA成立．

解后反思：借助三角恒等變換法來處理解三角形問題，關鍵是抓住題設與結論中兩個不同的三角關系式的結構特征，利用證明目標沒有涉及角B，借助三角形的內角和定理與誘導公式加以變形，進而結合三角函數關系式的恒等變形進行轉化，構建對應的方程加以分析與求解．三角恒等變換法中對三角關系式的變形與轉化具有較高的靈活性與技巧性．

方法2：（三角恒等變換法2）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，結合二倍角公式，

可得sin2B=2sin2C－2sin2A=1－cos2C－（1－cos2A）=cos2A－cos2C，

而sin2B=sin2（A+C）=cos2A－cos2C=cos［（A+C）+（A－C）］ －cos［（A+C）－（A－C）］=－2sin（A+C）sin（A－C），

則有sin（A+C）=－2sin（A－C），展開有sinAcosC+cosAsinC =－2sinAcosC+2cosAsinC，

整理可得3sinAcosC=cosAsinC，則有tanC=3tanA．

解后反思：借助三角恒等變換法來處理解三角形問題，利用二倍角公式進行降次處理，結合三角形的內角和定理與誘導公式加以變形，綜合角的拆分處理與整體化思維，巧妙變形與應用，利用三角恒等變換公式以及同角三角函數基本關系式來綜合處理．從另一個視角，將三角恒等變換公式巧妙應用．

思維視角2：解三角形思維

方法3：（正弦定理與余弦定理綜合法1）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，結合正弦定理可得2a2+b2=2c2，

而由余弦定理，可得cosC=a2+b2-c22ab=b4a=sinB4sinA，即4sinAcosC=sinB，

由誘導公式得4sinAcosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，可得3sinAcosC=cosAsinC，故有tanC=3tanA．

方法4：（正弦定理與余弦定理綜合法2）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，結合正弦定理可得2a2+b2=2c2，

而由余弦定理，可得cosA=b2+c2-a22bc=3b4c=3sinB4sinC，即4sinCcosA=3sinB，

則有4sinCcosA=3sinB=3sin（A+C）=3sinAcosC+3cosAsinC，可得3sinAcosC=cosAsinC，故有tanC=3tanA．

解后反思：借助解三角形中的正弦定理、余弦定理實現“角”與“邊”之間的互化與恒等變形，綜合三角形的內角和定理，三角函數的誘導公式、同角三角函數基本關系式以及三角恒等變換公式等，考慮題設條件與所證結論之間的聯系．解三角形中的正弦定理、余弦定理綜合法是處理解三角形問題中離不開的基本知識與技巧．

思維視角3：推理證明思維

方法5：（分析法）

要證tanC=3tanA，即證sinCcosC=3sinAcosA，

結合正弦定理與余弦定理，即證ca2+b2-c22ab=3ab2+c2-a22bc，等價整理有

3（a2+b2－c2）=b2+c2－a2Symbol[C@2a2+b2=2c2，

結合正弦定理，即證2sin2A+sin2B=2sin2C，即題設條件，

所以結論tanC=3tanA成立．

解后反思：借助邏輯推理中的分析法處理，執果索因，逆向思維，吻合問題的分析歷程，遇“正切”利用“化正余弦”法轉化，遇“角”轉“邊”，遇“邊”借正弦定理恒等變形，再利用遇“邊”轉“角”等思維的轉化，與題設加以聯系，實現分析法證明問題的目的．分析法更加契合邏輯推理過程中思維的歷程，是證明問題中比較常用的一種技巧方法．

思維視角4：平面幾何思維

方法6：（幾何法）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，結合正弦定理可得2a2+b2=2c2，

如圖所示，過點B作ED⊥AC交AC于點D，

設BD=x，AD=m，CD=n，則b=m+n，

利用勾股定理，可得

c2=m2+x2，a2=n2+x2，

代入2a2+b2=2c2，可得2（n2+x2）+（m+n）2=2（m2+x2），整理可得3n2+2mn－m2=0，

則有（3n－m）（n+m）=0，解得m=3n（負值關系舍去），

而tanA=xm=x3n，tanC=xn，則有tanC=3tanA．

解后反思：借助平面幾何圖形的直觀構建來分析與解決解三角形中的證明問題，可以有效回避三角函數中眾多三角恒等變換公式的應用，以及與之相關的邏輯推理與數學運算，抓住平面幾何圖形的結構特征，合理引入邊或角等相關參數，解決起來更加直觀形象，處理問題也更加簡單快捷．

3教學啟示

3.1教師細心備課，拓展教學價值

一些看似平淡無奇的習題，也許有著意想不到的價值．這就需要教師全面認真地備課，挖掘一些經典習題的本質、內涵與新意，合理引導學生構建數學知識體系，挖掘不同數學模塊、數學基礎知識之間的聯系，促進數學思想方法之間的滲透與溝通，實現數學知識的巧妙轉化與合理應用，拓展數學教學價值．

3.2注重“一題多解”，全面發展能力

對于一些模擬卷中的經典試題，借助“一題多解”的研究與應用，可以很好地挖掘各部分數學基礎知識的應用，全面構建與發展學生的數學知識基礎與解題能力，以及相應的創新意識與創新思維，注重培養學生“嚴謹求實”“善于思考”“敢于質疑”“激勵創新”等方面的能力．