談楊輝三角及其蘊藏的數列問題

張利河

摘要：“楊輝三角”是中國悠久數學文化的代表之一.其蘊含著豐富的數學規律，其中，從楊輝三角的斜看或橫看，各列各行的數字排列規律代表著不同數列，這些獨自看來互不相關的不同數列，不同的通項公式以及求各公式，卻在楊輝三角中直觀地顯而易見地得到答案.將這些數列與楊輝三角以及組合數之間的特性放在一起學習，從中尋找彼此間密切的聯系，以拓寬學生數學視野，構建完整知識體系，達到融會貫通事半功倍的效果.

關鍵詞：楊輝三角；二項式系數；數列問題

中國古代數學曾經有自己光輝燦爛的篇章，“楊輝三角”便是這燦爛的篇章中的光輝一頁，是中國悠久數學文化的代表之一.楊輝三角看似簡單的數字排列，卻蘊含著眾多精彩絕倫的數學結論，以及博大精深的數學文化.楊輝三角將二項式系數用直觀圖形表示出來，能將很多繁雜的數學問題得到簡便解決.

楊輝三角的結構性質：

（1） 楊輝三角每一行左右兩端的數相等，即Crn=Cn-rn.

（2） 楊輝三角每一行除頭尾兩數都是1外，其余的各數都等于其“肩上”相鄰兩數之和，即Crn+Cr-1n=Crn+1.

（3） 楊輝三角第n行為（a+b）n展開式的二項式系數，第n行第m列數為Cm-1n.

在楊輝三角的結構性質中，從楊輝三角的斜看或橫看，各列各行的數字排列規律代表著不同數列，這些獨自看來互不相關的不同數列，不同的通項公式以及求各公式，卻在楊輝三角中直觀地顯而易見地得到答案.下面談談幾個不同的數列是怎樣不約而同地出現在楊輝三角當中.

1常數列

楊輝三角第一列數：1、1、1、1……，為常數數列.

（1） 通項公式：an=1.

（2） 前n項和：Sn=n.

2正整數數列

楊輝三角第二列數：1、2、3、4、5、6……，為正整數數列.

（1） 通項公式：an=C1n=n.

（2） 前n項和：Sn=C11+C12+C13+…+C1n=C2n+1.

即Sn=1+2+3+…+n=（n+1）n2.

證明：Sn=C11+C12+C13+…+C1n

=C22+C12+C13+…+C1n

=C23+C13+…+C1n

=…

=C2n+1=（n+1）n2.

評析：用組合數性質來推導正整數列前n項和公式更顯直觀.即，第二列前n個數之和等于第三列第n+1行的數C2n+1.

3三角形數

楊輝三角第三列數：1、3、6、10、15、21，為三角形數，三角形數特點就是這些數能夠組成各個等邊三角形的點的數目，所以將這樣的數稱為三角形數.

（1） 3.1通項公式：an=C2n+1=（n+1）n2.

即，三角形數第n個數第三列第n+1行的數C2n+1.

（2） 前n項和：Sn=C22+C23+C24+C25+…+C2n+1=C3n+2=（n+2）（n+1）n6.

用數列“累加法”可推導出該數列的通項公式，若用楊輝三角可直觀看出該通項公式就是第二列的前n個數之和，即，C11+C12+C13+…+C1n=C2n+1.求該數列的前n項和若用數列知識求解顯得繁雜，可在楊輝在楊輝三角上其結論也是一目了然.即該數列的前n項和就是第四列的第n個數C3n+2.

4四面體數

楊輝三角第四列數：1、4、10、20、35、56……，為四面體數，四面體數就是構成一個四面體所需要的點的數目，四面體數每層為三角形數.即，四面體數列第n個的數an為楊輝三角第4列數第為n+2行的數C3n+2，

（1） 通項公式：an=C3n+2=（n+2）（n+1）n6，

（2） 前n項和：Sn=C33+C34+C35+C36+…+C3n+2=C4n+3=（n+3）（n+2）（n+1）n4×3×2.

評析：三面體數1、4、10、20、35、56…，該數列的前n項和若用數列知識求解更顯得繁雜，可在楊輝在楊輝三角上其結論也是一目了然.即該數列的前n項和就是第5列的第n個數C4n+3.

由上述可知，楊輝三角的前四列數分別表示四個不同的數列，第一列數是通項為1的常數列；第二列數為正整數數列，且第一列數的前n項和為該數列通項公式；第三列數為三角形數，且第二列數的前n項和為該數列通項公式；第四列數為四面體數，且第三列數的前n項和為第四列數的通項公式.四個不同的數列在楊輝三角中可看出有著密切聯系，那就是它們前一列數的前n項和就是下一數列的通項公式.這些不同的數列，用同一個組合數式子：Crr+Crr+1+Crr+2+…+Crr+n=Cr+1r+n+1，就可非常直觀地表明它們的通項公式和前n項和公式聯系.假如從斜看楊輝三角已經展其的神奇魅力.那么從橫看楊輝三角一樣有其獨特風采.

5楊輝三角第n行的數列有下列特點

（1） 第n行的數字之和為2n即，C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cnn=2n.

（2） 第n行所有數字的平方和恰好是第2n行的中間一項的數字，即（C0n）2+（C1n）2+…+（Cnn）2=Cn2n.

證明：

（1） 因為（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn

令x=1，可得C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cnn=2n.

（2） 因為（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n=

（C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn）·（Cnnxn+Cn-1nxn-1+Cn-2nxn-2+…+C0n），

則由xr項和xn-r項相乘即可得到xn這一項的系數為：

（C0n）2+（C1n）2+…+（Cnn）2=Cn2n，

而Cn2n是二項式（1+x）2n的展開式中第n+1項的二項式系數（即xn的系數），

故（C0n）2+（C1n）2+…+（Cnn）2=Cn2n.

6楊輝三角揭示了11為底的冪的值

11n=（10+1）n=C0n10n+C1n10n-1+C2n10n-2+C3510n-3+…+Cnn，觀察楊輝三角每一行數字特點可直觀看出，將楊輝三角每一行的數字“緊密”地排成一排構成一個整數，這個數就是11n的值，如果各行當中出現大于等于10的時候，將十位數加到它左側數字上留下個位數，依此類推，如果出現了大于等于100的數的時候，同樣進位處理即可.這也是楊輝三角的漂亮之處.如：

例：如圖所示，下列關于楊輝三角的說法中正確的有（）

A. C22+C23+C24+…+C211=220.

B. 1+C16+C27+C38=C39.

C. 將楊輝三角每一行中所有的1去掉，留下新數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則該數列的前57項和T55=4 150.

D. 由“11=111，121=112=，1331=113=”猜想：117=19 487 171.

解：（1） 因為C22+C23+C24+…+C211=C312=220，故A正確.

（2） 因為1+C16+C27+C38=C55+C56+C57+C58=C69=84，故B正確.

（3） 楊輝三角去掉1之后，留下的各行數個數成首項為1的等差數列，除去第一行，剩下的每一行剩下的項數分別為1，2，3…，構成一個等差數列，令項數之和為n（n+1）2=55，n的最大整數為10，即剛好為楊輝三角第11行，因為楊輝三角前11行數字之和S11=1+21+22+23+…+211=212-1，這11行中共去掉了23個1為T55，

T55=212-1-23=4 072，故C錯誤.

（4） 因為楊輝三角第7行數為1、7、21、35、35、21、7、1，將它們“擠壓”到一起.出現兩位數的時候將十位數加到它左側數字上可得，117=19 487 171，所以D正確.故選：ABD.

7斐波那契數列

將楊輝三角各向左對齊，換一角度“斜”向看，斜線和依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34……這些數構成斐波那契數列.

a1=1，a2=1，a3=2，an=an－1+an－2（n≥3）即，

8萊布尼茨三角形

萊布尼茨三角形是第一行為1，第二行為兩個12，兩腰的數字依次是其行行數的倒數，從第二行開始，下一行相鄰兩個數的和恰好等于上面的數.

評析：根據萊布尼茨三角形的數字排列秩序，可發現其與楊輝三角形也有著的密切聯系.觀察萊布尼茨三角形的數字排列規律，可發現萊布尼茨三角形與楊輝三角形也有著的密切聯系.將萊布尼茨三角第n行所有數字提出公因數1n+1后，其留下的三角形上各數恰好為將楊輝三角各數的倒數，即1（n+1）Crn+1（n+1）Cr+1n=1nCrn-1.

楊輝三角，這些表面看上去只是一堆排列整齊的數字，它可是一個數學的寶藏.楊輝三角中所蘊藏了很多優美的結論，讓世界各國數學家而著迷.印度數學家稱它為“須彌山之梯”.在伊朗，它是“海亞姆三角”.各個不同時期數學家發現的一些數學規律在楊輝三角中悄然“融會”，并將這些抽象的數學規律在楊輝三角中輕松“貫通”.比如上述例舉一系列重要數列同時在楊輝三角中找到身影.楊輝三角外形之整齊對稱美，更有內在美，這是一種有文化有內含有韻味的氣質美，楊輝三角作為我國燦爛悠久的歷史文化，其魅力不僅在過去而且在當今依然不減，楊輝三角還有什么不為人知的神奇的性質，有待所有數學愛好者繼續探索和發現.