活用數學表征，提高小學生問題解決能力的實踐研究

摘 要：文章以分析江蘇省蘇州市吳江區黎里小學在中低年級數學教學中培養學生問題解決能力的現狀為出發點，簡要闡述了數學表征在助力學生解決問題方面的作用，分析在教學中培養學生靈活表征，使其順利解決數學問題的策略。

關鍵詞：小學；數學表征；問題解決能力

作者簡介：顧亞金（1990—），女，江蘇省蘇州市吳江區黎里小學。

數學教學的核心就是培養學生解決問題的能力，規范合理地進行數學表征有助于學生找到解決問題的路徑。而學生的數學表征水平能直接影響其解決問題的效率。如何幫助學生積累數學表征經驗，助力其問題解決能力的提升值得一線教師思索。

一、解析：學生問題解決能力的培養現狀

（一）學生只學其形，不得其理

筆者在實際教學中發現，部分學生在學會解一道題后，再遇到變式題，或隔一段時間再遇到同一類題目，仍舊會出錯。究其原因，是這些學生在學習解題時只是機械地模仿教師的解題步驟，并未理解每一步背后的道理，因此，當同樣的題目換了一個“殼子”后，學生就不能通過表征剝離其外殼，理解本質，導致學習效果不理想。數學題雖千變萬化，然而變的是形，不變的是理，學生只有知形達理，方能做到融會貫通。

（二）教師追求速度，教法單一

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，教師應重視課程內容的結構化，加強學習內容之間的關聯，幫助學生構建完整的知識結構，使其可以更好地理解與遷移知識。筆者所在的學校是一所鄉鎮小學，部分教師教育理念滯后，在教學生解決實際問題時單純追求速度和正確率，往往遇一題講一題，未能幫助學生理清題目所涉及的已學概念、數量關系，導致學生無法將知識前后串聯起來。在這樣的教學模式下，學生所學的知識比較零散，不成體系，在遇到新問題時，學生就難以將其表征為已有的知識經驗，從而導致解題困難。

（三）教學未聯系生活，學生理解困難

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出，在培養學生解決數學問題時，教師應注重將教學與學生的實際生活聯系起來，使學生能用習得的數學知識去解決實際生活中的問題。這對學生在數學表征方面提出了更高的要求。學生能否順利將生活中的問題表征為數學問題直接影響其解題的正確率。但是部分教師缺乏生活化教學的意識，未能創設有效的生活化情境，降低學生理解數學知識的難度，導致學生學用結合的能力比較低。

二、認識：數學表征教學的價值

表征是對信息的內化理解，筆者在本文中提到的數學表征主要是指學生在解決具體的數學問題時，能夠靈活運用一種或多種表征方式，明晰問題中涉及的概念，理解題目中的關鍵信息，抓住內隱的數量關系，從而正確分析問題，確定解題思路。培養學生的數學表征能力的目標是使學生能夠根據具體的問題情境，靈活采用表征方式，自主表征問題，將復雜的、新學的問題表征為簡單的、已有的知識經驗，從而化繁為簡，變未知為已知，順利解決問題，提升解題能力［1］。

（一）幫助學生理解數學信息

正確表征題干信息是解決問題的前提。適宜地進行數學表征能夠幫助學生自主審題，正確理解題干中的信息并將其轉化為數學知識，為正確解題做好準備。

一年級數學問題多采用圖形的方式呈現，學生若不能正確表征圖形中蘊含的信息，理清題中的條件便無法順利解決問題。例如，有這樣一道易錯題：畫面左邊畫了2個蘋果，右邊有個帶問號的盒子，畫面下標了括線，括線下標了個數字“7”。對于這個問題，學生出現的典型錯誤有兩種：第一種是進行片面表征，看到括線就以為是求和問題，直接列算式7+2=9；第二種是進行混亂表征，即明白右邊盒子里有5個蘋果，但不能分清題中的已知條件和所求問題，列出算式2+5=7。這兩種錯誤都表明，學生在表征問題時出現了錯誤。教師在教學時可以引導學生進行語言表征，創設問題情境：原來有7個蘋果，拿走了2個，盒子里還剩幾個蘋果？這樣表征可以將圖形轉譯為學生熟悉的文字，學生便可以有效解決問題了。

（二）幫助學生明晰數量關系

數量關系是列式解題的基礎。恰當地進行數學表征能夠幫助中低年級學生明晰題干中涉及的數量關系式，這不僅能夠幫助學生確定當前問題的解題思路，還能為他們進入高年級后解決復雜的問題打好基礎。

部分教師會教授學生解題技巧：看到“一共”用加法，遇到“還剩”用減法，“飛來”“拿來”表示增加，“飛走”“去掉”表示減少。這些技巧在一定程度上能提高學生做題的正確率，但題目的靈活性提高后，學生就難以利用這些技巧來解題了。例如，有一道題目如下：樹上原來有6只小鳥，第一次飛走了2只，第二次飛走了3只，一共飛走了多少只？學生在解題時容易出現兩類錯誤：一類是看到“飛走”，認為應該用減法；另一類是看到“一共”，覺得應該用加法。出現這兩類錯誤均是由于學生沒有明晰題中的數量關系。教師在教學時可以采用操作表征的方法：用6根小棒代替小鳥，第一次拿走2只，第二次拿走3只。借助這樣的直觀操作，學生就能快速得出答案，繼而在直觀操作的基礎上反推出此題的數量關系式。

低年級數學教學重在幫助學生理解、積累相應的數量關系式，而非一味要求學生規范、嚴謹地進行表述。教師只有幫助學生筑牢基礎、積累經驗，才能讓他們在高年級時靈活運用知識，正確解題。

（三）幫助學生建構數學模型

數學表征能夠幫助學生剝去實際問題的“華麗外殼”，露出問題的本質，使學生理解不同題目之間的相同本質，將其統整為一類問題，建構相應的數學模型。

例如：“雞有8只，鵝有2只，雞比鵝多幾只？”“黃絲帶長5米，紅絲帶長3米，紅絲帶比黃絲帶短多少？”“哥哥今年7歲，弟弟今年4歲，哥哥比弟弟大幾歲？”……這些問題看似不同，但教師借助表征明晰其中的數量關系后，就能讓學生明白它們都屬于“兩數相差多少”的問題。教師在教學生解決這一類問題時不能局限于讓學生正確列式解答，而應引導其分析過程，進行多元表征，幫助學生建構“兩數相差多少”問題的數學模型，總結這一類問題的解決方法，提升學生的問題解決能力。

三、實踐：培養學生靈活表征能力的教學策略探索

（一）日常教學重積累

數學表征方式不唯一，按抽象程度可以分為直觀表征和抽象表征。小學階段常見的有語言表征、操作表征、圖形圖表表征、圖式表征、符號表征等。培養學生的表征能力不是一蹴而就的，教師需要強化多元表征教學，以幫助學生積累表征方法，培養學生合理表征具體問題的能力，提升學生的表征水平。

1.新授課：多元表征助理解

針對學生數學表征能力的培養，教師可以在常規新授課中進行。例如，在教學二年級上冊“認識線段”這一課時，教師可以設計如下環節幫助學生掌握概念：動手拉毛線（操作表征）—由毛線抽象出線段圖形（圖形表征）—說線段特征（語言表征）—找生活中的線段（操作表征、語言表征）—折線段、比線段（操作表征、語言表征）。這些環節既能幫助學生正確、全面地理解線段的概念，還能讓學生經歷操作表征、圖形表征、語言表征的過程，豐富學生的表征經驗。

2.習題課：一題多解散思維

在習題課的教學中，教師應關注學生思維的培養。以這樣一道題為例：圍棋盤有四條邊，在每條邊上放5顆棋子，最少要放幾顆？學生在解決這道題時容易直接列式4×5=20來解決問題。如果教師能夠引導學生進行圖形表征，畫簡圖表示棋盤和棋子的擺放，再讓學生解題，不同的學生便會有不同的想法：有的學生直接數出棋子數；有的學生通過圈畫看成每條邊上有4顆棋子，共有4組，可列式4×4=16；有的學生先不看四個角上的棋子，看成每條邊上有3顆棋子，共有4組，最后再加上四個角上的4顆棋子，便可列式為3×4＋4＝16；有學生借助圖形發現算式4×5=20相當于多算了角上的4顆，需要減去，修正算式為4×5-4=16。可見采取圖形表征將題意直觀且正確地進行呈現后，學生個人的內部抽象表征仍舊各不相同。因此，教師在習題課上應為學生留出充足的時間，使其各抒己見，對題目進行表征。這一過程一方面利于教師隨時了解學生的思維情況，以適時進行糾正；另一方面有利于學生進行思維碰撞，積累經驗。

（二）不同學生有差異

學生的個體差異是客觀存在的，培養學生的解題能力不能“一刀切”，對不同思維層次的學生，教師應進行差異化對待。不同年齡層次的學生對同一類問題表征不同，教師應該進行有針對性的教學設計。

1.同級生：允許慢一步

受身心發展、學習習慣等因素的影響，同一年齡層次的學生思維發展水平出會有所不同。這要求教師在授課時慢下來，對同一問題進行多元表征，由直觀表征逐步過渡到抽象表征，揭示問題的本質。這一過程能夠讓不同思維層次的學生以適合自己的表征方式解決問題。在進行個別輔導，特別是對后進生進行輔導時，教師不能要求過高，可以采用較直觀的表征方式，如操作表征、圖形表征，助力學生直觀理解題目，允許后進生在表征上慢一步。這樣既有利于幫助后進生打好基礎，又可以提升后進生學好數學的信心。例如，一年級學生常遇到這樣的排隊問題：我的前面有4個人，我的后面有2個人，這條隊伍一共有多少人？對此，思維水平較高的學生可以直接進行抽象表征，得出答案4+2+1=7；但是思維水平較低的學生單憑想象無法理解為什么還要加1人。對此，教師應放慢腳步，首先采用操作表征的方式讓學生排一排、站一站，然后用圖形表征的方式，用黑白小圓圈代替人，畫一畫，最后進行抽象表征。學生打好了基礎，再遇到此類問題就能抽象出數學模型了。

2.異級生：需要邁一步

蘇教版數學課本的一個編排特點是知識呈螺旋上升，這意味著本質相同的問題在不同年級可能會反復出現。但本質相同的問題在不同年級的呈現方式是不同的，這要求學生的數學表征水平要逐步提高。例如，在二年級，學生剛學乘法時，會遇到這樣的乘法問題—每堆有3根胡蘿卜，有2堆，一共有多少根？教材多配有圖形，教師在教學時也會引導學生進行圖形表征，讓其畫一畫，使學生理解問題的本質，即求2個3相加的和可用乘法計算。隨著年級升高，學生還是會遇到這樣的問題：新學期，學校要給三年級5個班更換桌椅，每個班有42人，一共需要多少套新桌椅？對于這樣的問題，教師若采用圖形表征，讓學生畫一畫顯然不合適，此時，教師應引導學生往前邁一步，利用所積累的數學模型，直接進行抽象表征：求幾個相同的數的和用乘法表示［2］。

（三）具體問題活轉譯

1.化難為易，尋思路

問題的呈現方式不同，解題的難度也不同。教師要培養學生靈活進行數學表征的能力，使其可以將不熟悉的、難以解決的問題轉譯為熟悉的、容易找到突破口的問題。例如：果園里種了3行桃樹和4行梨樹，桃樹每行有5棵，梨樹每行有7棵，桃樹比梨樹多了幾棵？這一實際問題的條件較多，對于小學生而言，文字表征顯得混亂，教師可以引導學生列個簡易表格，將該問題轉譯為圖表進行表征，如此，學生就能更快地厘清思路了。再如，小紅有8盒巧克力，小紅給小麗2盒后兩人同樣多，小麗原來有幾盒巧克力？這一實際問題對小學生的思維要求比較高，教師可以引導學生畫一畫，將其轉譯為圖形進行表征，使學生理解其中的數量關系。針對具體問題，靈活選用數學表征方式，化難為易，能更好地幫助學生獲得解題思路。

2.由繁轉優，提能力

學生對同一題進行不同的表征后，其解題思路也有所差別，出現一題多解，而比較得出最優解可以提高學生的解題速度，發展學生的數學思維能力。例如：國慶期間要在馬路的一側掛上彩旗，第一面是紅旗，第二面是黃旗，第三面是藍旗，第四面是紅旗，第五面是黃旗，第六面是藍旗……照這樣掛下去，第10面彩旗是什么顏色的？第30面呢？若要解決這一問題，學生可以通過去掛一掛（操作表征），或畫一畫（圖形表征）尋求答案，但這樣的解題方式都比較煩瑣，學生若能夠發現問題的本質，可采用算式進行表征：10÷3=3（組）……1（面），30÷3=10（組）。如此，學生便能更快更簡潔地解題，逐步提升自己的解題能力。

結語

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，數學課程教學應以發展學生運用數學知識與方法，發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）為主。問題解決能力作為“四能”之一，具有十分重要的作用，而數學表征作為解決問題的重要策略值得教師重視。教師在教學中應注重培養學生的表征能力，發展其思維，助力其問題解決能力的提升。

［參考文獻］

［1］唐靜芳.個性化“草圖”表征在小學數學教學中的價值初探［J］.新課程研究，2021（19）：44-46.

［2］姜湘君.巧用數學表征 促進問題解決［J］.江蘇教育，2021（18）：75-76.