HPM視角下三版高中數學教材中數列內容的對比研究

楊福勇 楊正朝 張龍宇

摘 要：為了解數學教材中數學史分布情況，促進數學史融入數學課堂.研究以人教版、蘇教版和北師大版高中數學教材為對象，從章前頁、內容編排、呈現方式、數學史四個方面對數列內容進行對比分析.基于此，提出幾點建議：統籌規劃教材中數學史的“數量”及“質量”；基于HPM視角下設計教學，促進數學教學的多元化；數學史融入要符合學生的認知發展，合理設計教材內容.

關鍵詞：數列；數學史；教材對比

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，要將數學文化融入課程內容中，在教學中引導學生了解數學的發展，感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值，提升學生的科學精神、創新意識和人文素養［1］.可見，課標強調了數學文化在課程實施中的重要性，數學史作為數學文化的重要組成部分，其融入課堂是十分必要的.近年來，隨著數學史研究的深入，其已然成為數學教育界的研究熱點.HPM（數學史與數學教育之間的關系）視角下的數學研究成為眾多學者關注的焦點，相關研究成果不斷涌現.對此，研究以人教版、蘇教版和北師大版高中數學教材為對象，從章前頁、內容編排、呈現方式、數學史四個方面進行對比分析，旨在為教材編制和教學開展提供參考.

1 三版教材中數列內容的對比分析

1.1 數列中章前頁的對比

在章前頁中，三版教材都以不同的情境創設，介紹了數列在實際生活中的應用.人教版和蘇教版都是通過現實生活情境提出問題，而北師大版則利用科技史來揭示數列的內涵，透過數字的規律性探索數學本質及特征，注重培養學生的“四能”.不同之處在于：一是，數學核心素養的提出，人教版和北師大版直接給出，而蘇教版沒有；二是，蘇教版有安排章目錄，這便于學生清晰地了解本章要學習的具體內容，而人教版和北師大版沒有.

1.2 數列中內容編排的對比

通過對章節目錄進行梳理，統計三版教材數列內容編排情況（表1）.在內容編排上，三版教材

存在著一定的異同點.共同之處在于：一方面，三版教材都遵循由“數列→等差數列→等比數列→數學歸納法”循序漸進的內容排序，符合學生認知發展.另一方面，都將斐波那契數列作為閱讀素材，擴充了學生課外閱讀量.不同點：一是，章節數不同，人教版和蘇教版都是設計了四節，而北師大版有五節.二是，北師大版將函數特性放在第一節中，并增設了“數列在日常經濟生活中的應用”，反映了以函數視角看待數列問題，強調了數列與實際生活的關聯性，而人教版和蘇教版盡管沒有獨立設計此內容，但是在文中卻有所體現.

1.3 數列中呈現方式的對比

數列、等差數列、等比數列作為數列學習的主要內容，研究以這三個板塊內容作為分析對象，將其以概念導入的呈現方式羅列出來，見表2.

由表2可知，在呈現方式中，能夠發現三版教材概念導入方式大致一樣，都是以不同的情境設計數學問題，讓學生歸納其共同特點，從而得出相關概念，培養學生發現問題和提出問題的能力.不同點在于：一是，從情境類型來看，人教版和北師大版的問題情境更為豐富，其中涉及數學史方面的內容，如高斯的等差數列求和方法，能夠讓學生了解數學的演變，培養學生數學家所具備的探究精神以及數學學習的興趣.二是，在等比數列的前n項和中，蘇教版沒有背景導入，比較直接地提出“如何求等比數列的前n項和？”這一問題，略顯生硬，尤其是基礎差的學生，很難快速進入問題解決過程.三是，北師大版在每個概念導入環節，都增設了由案例分析到抽象概括的過程，將“抽象概括”單獨設計出來，從中能夠清晰地體現出從實際問題解決到抽象化的過程，其層次清晰，特點鮮明，讓人眼前一亮，充分展現了培養數學抽象能力的重要性.盡管人教版和蘇教版沒有刻意突顯抽象概括這一板塊，但實際上是蘊含的.

1.4 數列中數學史的對比

數學史作為數學文化的重要組成部分，教科書作為數學課堂的重要工具.梳理教科書內的數學史內容，能夠為數學史與數學課堂的融合創造條件.因此，對數列這一章的數學史進行分析，由于數列內容中，個別“閱讀與思考”板塊出現多個數學史介紹，如人教版第42頁的“閱讀與思考”連續出現古埃及的“加罕紙草書”、中國古代“垛積術”、劉徽在《九章算術》給出等差數列的求和方法等，本文進行統計，統計結果如表3所示.

在數學史總數上，人教版最多，出現次數高達11次；其次是蘇教版，有7次；最后是北師大版，僅有2次.由此可見，人教版與蘇教版較為注重數學史融入教科書，為相關數學問題提供了豐富的背景知識，拓展了學生的眼界.在數學史類別上，三版教材主要以人物與事件、問題與求解、概念與術語等為主，例如楊輝所著《詳解九章算法·商功》中的“三角垛”、劉徽在《九章算術》中給出了等差數列的求和方法、斐波那契數列，介紹了數學家及其著作、問題的解法和術語的產生等相關內容，充分體現了數學的魅力，讓學生親身體會數學的歷史演變以及數學家在探究真理的科學精神，激發學生的學習興趣.在數學史安排的位置上，主要安排在教材的習題、閱讀與思考部分.一方面，數學史與教材習題的融合是高考命題的源頭，其不僅能夠極大地提升學生利用數學知識解決實際問題的能力，而且為學生提前適應高考試題打下堅實的基礎.另一方面，閱讀與思考不僅僅是閱讀素材那么簡單.近年來，隨著高考改革，高考中部分試題的問題情境加大了對學生閱讀和理解能力的考查，通過學習閱讀與思考部分，不但能夠拓展學生知識面，提升學生的快速閱讀能力，也可以滿足學生的好奇心，尤其是其中蘊含著公式證明、術語引入等內容，能夠培養學生推理和探究的能力.此外，蘇教版在4.2等差數列習題中，設計了一道開放型試題，即“查閱‘楊輝三角、《四元玉鑒》等資料，撰寫小論文”，試題新穎獨特，能夠營造學生內部的學習氛圍，提升學生民族自豪感和文化自信，感悟我國古代數學的輝煌成就，落實立德樹人的目標.

2 幾點建議

2.1 統籌規劃教材中數學史的“數量”及“質量”

通過上述研究表明，三版教材數學史的數量存在一定的差異性，尤其是北師大版，對數學史的編排相對較少.近年來，高校教師、研究者以及一線數學教師紛紛投入數學史融入數學教學的探索中，并取得了一定的成效，針對數學史的研究成果與日俱增.這足以證明在教科書中滲透數學史的學習是十分有必要的，得到了眾多學者的肯定.因此，一方面，要增加數學史的數量.可以從習題出發，在相關例題、習題、復習題等環節，以數學史為背景知識，設計數學問題，這樣做既可以滿足命題需要，豐富試題數學文化內涵，同時也可以培養學生在前人知識的沉淀中，學會獨立解決相關數學問題，培養探索精神，激發求知欲.亦可以在“章前頁”和“閱讀與思考”中添加數學史，有利于引出章節內容要點，為拓展學生知識面提供必要的理論基礎，尤其是介紹一些重要數學公式、公理的證明，抑或者增設相關數學名詞的由來等方面的內容.另一方面，毫無節制的量的堆積往往會適得其反.這就需要教材編制人員在選擇史料時，充分考慮到數學本身的特點，重視數學史的教育價值，立足于趣味性、科學性、有效性、可學性、新穎性等原則，促進學生對數學知識的理解.

2.2 基于HPM視角下設計教學，促進數學教學的多元化

上述研究發現，多數數學史內容更多地放置在正式教學內容之外，如閱讀與思考等位置，對于學生而言，閱讀與思考部分往往容易受到學生忽視，加上高中課程較多，作業壓力大，極少有學生去學習，這也就導致了其設計的數學史內容沒有受到學生的足夠重視，沒有起到應有的教育意義.此外，在以往的教學實踐中，多數教師為了節省授課時間完成教學任務，通常直接講授知識點和習題，這就使得數學課堂缺乏生機，枯燥無味，營造了較為壓抑的課堂氛圍.為了落實數學史在數學教學中的價值，活躍課堂氛圍，教師應該合理設計數學史融入數學教學的應用，通過挑選優質數學史料，基于HPM視角設計教學，將數學史的價值真正實現在課堂中落地生根.如利用印度泰姬陵的陵寢中等邊三角形圖案，計算寶石總個數，引出等差數列前n項和求法，或引入高斯的簡單求“1+2+3+4+…+100=？”的方法，進而抽象出等差數列前n項和的方法.通過上述實例，能夠啟發學生思考問題的積極性，培養學生主動探究的樂趣，實現數學教學與數學史的有機融合.

2.3 數學史融入要符合學生的認知發展，合理設計教材內容

三版教材在設計數列概念引入時，都是以現實生活方面知識為情境來創設問題，充分符合學生認知水平現狀和教材內容的編排邏輯順序.倘若將三版教材閱讀材料部分都涉及的“斐波那契數列”作為數列概念導入的背景，可能會導致學生對理解數列概念造成困難，原因在于斐波那契數列雖屬數列范疇，但是從閱讀材料中不難發現，其蘊含著大量的文字簡介，數字規律性較強，涉及的語言表述對于初學數列的學生來說，晦澀難懂.對此，教科書將其放置在閱讀材料中，是有一定道理的，這樣能夠供有興趣、有能力的學生增加課外數學閱讀量，形成理性和邏輯思維.因此，要統籌教材內容排版，基于學生認知，保證數學史與教材內容的適切性，在教科書中融入數學史要有章可循，數學史的位置要符合教材內容的邏輯順序，同時，正文中切勿設計難度較大的史料背景，以免學生形成畏難情緒.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.