探討有限莫利秩的域的結構和性質

楊年西

摘 要：環具有加法群和乘法群的二元代數運算結構，利用有限莫利秩的群的性質具有降鏈條件，與在無限域上的代數擴張的伽羅瓦理論結合，來研究有限莫利秩的無限域的結構和性質，主要成果為：有限莫利秩的無限域K，任意a∈K，整數n＞0，方程xn=a在域K中有解；假設域K是有限莫利秩的無限域，那么域K一定是代數閉域.

關鍵詞：無限域；有限莫利秩的群；代數擴域；代數閉域

模型論是數理邏輯的分支，與代數學聯系非常密切.近代很多學者用模型論的方法和理論來研究其他數學學科，如A. Robinson用模型論的理論開創了非標準分析，國內學者王世強用模型論理論一直研究數論，試圖用模型論的理論來證明孿生素數猜想［1］.模型論主要研究一階邏輯形式語言中的模型完全理論和理論的完全性，而現代模型論熱點研究方向穩定理論及其應用，ω-穩定理論是一階邏輯形式語言中完全性理論的一種特殊形式，有很高的研究價值，能夠應用于群論、環論及代數幾何等基礎數學學科和計算機理論中，來解決其他學科的一些問題.尤其A. Borovik發現了秩群的結構和ω穩定的群結構一致的，隨后學者Poizat證明了這個結論，就稱秩群是有限莫利秩的ω穩定的群，簡稱有限莫利秩的群；類似有限莫利秩的ω穩定的環，簡稱有限莫利秩的環.伽羅瓦為多項式方程的根解提供新的判別方法，開創研究域的結構和域的擴張與群論相結合的方法.本文把有限莫利秩的群研究的理論成果與伽羅瓦理論相結合，探討有限莫利秩的域的代數結構和性質.

1 預備知識

二十世紀初，伽羅瓦的思想和方法才被重視，解決多項式的根解問題，如果方程f（x）=0是否有根式解，轉化成判別域E對于域F的擴域的伽羅瓦群是否可解.有關有限莫利秩的群的相關成果，如有限莫利秩2的群一定是可解群；群G含有最小的有限指數的確定子群G0，稱子群G0是群G的連通部分，且群G0是群G的正規子群和連通的分支是唯一的，有限莫利秩的無限群含有確定的無限交換子群，K*表示域K的全體非零元素組成乘群，RM（X）表示集合X的莫利秩的數量.

反證法，假設K不是代數閉域，在域K上存在次數n＞1不可分多項式f（x），設域L是K的代數擴域，且L是K上的不可分多項式f（x）的分裂域.根據引理1.4，L：k是有限的.又由引理1.5，RM（K）=RM（L），根據引理1.6，可知域L和域K都是連通的，且KL，可得域K=L，推出f（x）多項式在域K上可分的.與前提假設矛盾，即任何次數大于1的多項式f（x）都是可分的，在域K上不存在代數擴域，即域K是代數閉域.

參考文獻：

［1］ 王世強.一些4次數環的具有Goldbach性質的擴環［J］.北京師范大學學報，2005，41（4）：343345.