關于核心詞“運算能力”的解讀

馮建青

摘 要：2022年版《課程標準》修訂，重點強調要培養學生的核心素養.“運算能力”作為關鍵詞，該如何理解其內涵？教學時該凸顯哪方面核心素養？評價時該怎樣著力？筆者基于2022年版《義務教育數學課程標準》，對以上問題作了思考與研究.

關鍵詞：義務教育數學課程標準；運算能力；數學思維

2022年版《義務教育數學課程標準》中提出了十一個數學核心詞，運算能力是其中之一.從課時目標來看，形成運算技能是重要內容；從整體視角來看，提升運算能力、培育核心素養才是關鍵.我們需要解析運算能力的內涵，對癥下藥、找準培育策略，才能發展學生核心素養.

1 破解定義，理解“運算能力”內涵

1.1 “運算”與“計算”的區別

小學數學的用詞習慣里，把兩個數的加減乘除叫做四則計算；多個數的加減乘除叫做四則運算.而運算還有更廣泛的內涵，不僅包括數字的計算，還包括了集合、向量等內容.現在的義務教育課程標準是涵蓋了小學和初中階段的，故從2011年版課標開始稱之為“運算能力”，更為合理.

1.2 2022年版課標中對于“運算能力”的定義及理解

在2022年版新課標中的解釋，運算能力比原來多了一些內容：“主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力.能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數學推理能力的發展.運算能力有助于形成規范化思考的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度.”［1］

筆者用兩個學生在解決問題的過程中，經常出現的反例，來剖析一下運算能力三句話的含義.

首先要有“正確運算的能力”.第一個例子（如圖1），這是個三步計算解決的問題，錯誤出現在中間一步，兩位數減兩位數且有退位的口算.但是學生沒有意識到自己的錯誤，因為最后一步35÷5剛好也除得盡.所以學生運算不正確，也并未發現.

其次要“理解算法與算理之間的關系”.算法是計算的法則、是定律，算理則是每一步為什么可以這樣做的依據，兩者密不可分.第二個例子（如圖2），是簡便計算中錯誤率很高的題型，學生不能將39×401轉換為“401個39”，只是死記硬背計算法則，就會出現只算“400個39再加1”的情況.

再者“選擇合理簡潔的運算策略”.第三個例子（如圖3），學生的運算過程、結果都是正確的.但是因為我們學過了有余數的除法，所以可以用除法來求77里面最多有幾個8、還余幾.顯然這位學生的算法是不夠簡潔，可以改進的.

如果說2011年版的課標中，運算能力是包含3個方面的：其一正確得出結果，其二理解運算的算理，其三能夠根據條件尋求到合理簡潔的運算途徑.那么2022年版的課標中，還將核心詞聯系了課程育人導向、發展核心素養，要用數學的思維思考現實世界.

1.3 “運算能力”中蘊含的數學核心素養

小學數學的核心素養的內涵，主要包括三個方面，也就是“三會”.“運算能力”著重表現的數學核心素養是“會用數學的思維思考現實世界”，除卻課本上教會學生的知識與技能，還能夠探究自然現象或現實情境所蘊含的數學規律，經歷數學“再發現”的過程;發展質疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態度，初步養成講道理、有條理的思維品質，逐步形成理性精神.［1］

2 領會核心素養，掌握“運算能力”的培育策略

在思考如何培養“運算能力”之前，我們來看一下它的形成過程（如圖4）：首先需要從理解算理，初步理解算法開始；其次在這個基礎上讓學生有內化算理、概括算法的過程；再次讓學生內化算法、形成運算技能；最后要關注學生，組建相關的運算結構，并且能夠遷移應用.

整個過程中，算理的重要性不言而喻.算理，簡單地說，如果把運算本身看作是推理，算理的就是推理的依據，是用來解釋，每一步為什么能夠這樣進行、這樣做的依據.教材在編排“數的運算”時，算理是由淺入深、層層遞進的，詳見表1［3］.比如要學六年級的分數乘法，導入一定會從學生已知的整數加減乘除出發勾連舊知.

“數的運算”中每個新授的知識點，一定是在一個已有的算理上生長出來的.所以我們認為，培養運算能力最重要的部分，是教師在研讀教材時要關注到知識的生長點和連續性，建構能讓學生思維自然生長的知識序列，促進其主動探究，達到知識自主建構的目的.要培養學生的運算能力，策略有二：

2.1 “轉化”思想——促進知識的遷移

“轉化”是以一種基本的數學思想，常被教師用于解決實際問題時理解題意、幾何與圖形中分析題目，在數與代數的領域用得不多.轉化都是指把一個復雜的問題轉化成一個簡單的問題，把一個陌生的問題轉化成一個熟悉的問題，把一個新的問題轉化成一個已知的問題.利用“轉化”的數學思想，可以把零散的知識通過核心概念建立起關聯，促進知識與方法的遷移.

“轉化”又是有條件的，知識之間的聯系的豐富性和組織性，是轉化的基礎、是知識遷移的條件.遷移應用之前，先要關注知識結構的組建，便于學生進一步地、更好地遷移和應用.2022年版新課程標準的修訂，就更注重數學課程的整體性與一致性，如在數與代數領域由原來的四個主題變為兩個主題，把負數、方程、反比例相關內容都移到了初中進行教學.

或許我們用“倒放”的方法能看得更清楚下列問題：

（1） 六年級上冊的分數除法，是學生容易出錯的題型，我們看它的運算方法其實是用倒數形式，轉化為了做分數乘法；

（2） 教學分數乘法，尤其是分數乘整數時，都是轉化成了整數的乘法，再根據分數乘法規則來計算；

（3） 異分母的分數加減法，則是通過通分，轉化為同分母的加法和減法；

（4） 初識分數的含義時，我們都是將其看作一個整體平均分成幾份，求其中的幾份是多少，其實是轉化成了一個數除以另一個數；

（5） 除法是乘法的逆運算.

有余數的除法，是轉化為乘法和加法；

而乘法，表示的是幾個相同加數的和.

加法也有它們算理的生長點，在此不做贅述.再回到“正常播放狀態”，蘇教版數學教材中，正式教學“轉化策略”是在五年級下冊，然而通過分析，其實轉化的思想一直都在，只是對于低段和中段的要求比較少，只要求學生能感知這種數學思想，并未要求其理解和掌握.教師如能從低段開始注重教材的有序性，經過長久地浸潤，到了高段學生便能自覺地在頭腦中搜索與新知有關的舊知識解決問題，促進知識與方法的遷移，使學生的學習更輕松更持久.

2.2 數形結合——算理也可以很生動

運算能力，不能僅僅局限在算式里去培養學生的運算能力，應把運算的培養延續到解決問題的過程當中，發展學生的核心素養.數形結合是將抽象的數字與形象的圖形相結合，讓學生對于枯燥的數字、抽象的算理，有形象生動的認識.

蘇教版數學教材五年級下冊“轉化——解決問題的策略”中特地介紹了特殊的分數加法的計算方法：計算12＋14+18+116時.教材是這樣呈現的（如圖5），讓學生“觀察這道算式，你有什么發現”？交流：后面的加數是前面加數的一半，再引導學生借助畫正方形來理解，原式可巧妙地變形為1-116.

在初識用字母表示數時，辨析2a和a2是難點，教師可以用線段圖表示長度，即2個a合起來是多長；用正方形的面積表示a2，即a個a是多大.數與形減緩學生在學習新知時認識的難度，幫助學生輕松地打開更廣闊的數學天地.

教材的內容結構化，便于教師在教學中智慧地運用教材，把零散的數學知識通過核心概念建立起關聯，讓學生學習新知永遠覺得“似曾相識”，減少學習難度，增加學習信心，使數學學習更輕松和持久，利于形成用數學的思維看現實世界的能力.

3 評價“運算能力”的內容與方法

3.1 評價“運算能力”的關鍵指標

“運算能力”評價的關鍵指標是口算能力、筆算能力、估算能力.

3.2 評價“運算能力”的多元化形式

2022年版課標指出，評價不僅要關注學生學習結果，還要關注學生學習過程，激勵學生學習，改進教師教學［1］.數的運算由于教材中知識點的前后銜接非常密切，可以讓學生用思維導圖進行過程性評價.思維導圖可以幫助學生梳理知識框架，有序的知識框架是更為正確的知識儲備，在往后的學習中更容易讀取舊知.學生經過獨立思考，架構屬于自己的知識網絡，使得原有的認知結構得到完善、能力得到發展，數學核心素養也必將于無形中得到提升.

用多元化的學生自評，能讓學生更清楚自己的學習水平、知識盲點，教師可以根據統計結果實施分層作業，調整教學內容.例如疫情復學后，班級里的運算水平參差不齊，需要教師盡快對學生知識點的盲區進行摸排.這張學生自我評價表，不僅可以幫助學生了解自己網課的情況，也可以幫助老師了解全班的知識盲區，及時調整教學步伐.學生在完成自評表的同時，能夠自我監控自己學習的過程和結果，從而形成實事求是的科學態度，進而真正發揮數學的育人價值.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［3］ 薛松.“數的運算”中轉化思想的內容與層次——以蘇教版小學數學教材為例［J］.教學與管理，2012（29）：6364.