抓住圖形本質，深度理解概念

何優優 曹炯 金勤

“平行四邊形和梯形”單元是人教版教材四年級上冊的教學內容。這個單元涉及的幾何概念比較多，教材中都是以一段文字敘述加紅字強調的方式告訴學生各種概念的。其中，理解高的概念并畫出圖形中的高，是本單元學習的重難點。從教材編排來看，它是在學習了點到直線的距離之后引入高這個概念的。雖然教材在認識平行四邊形時對平行四邊形的高有明確的定義，但在認識梯形時卻沒有明確梯形的高（只在學習梯形各部分名稱的圖示中出現了高）。

基于上述背景，筆者設計了一道有關梯形的高的練習題，主要考查學生對梯形各部分名稱的認識和對梯形中高的理解。題目中的四個選項分別是這個梯形的上底、下底、高和中位線。

下圖中，梯形的高是（? ?）厘米。

A.4 B.3 C.2 D.6

教材中，“平行四邊形和梯形”單元的教學以畫垂線為開端，然后引導學生認識點到直線的距離，逐步過渡到認識并能畫出平行四邊形的高，再遷移到梯形（等腰梯形、直角梯形）中。筆者設計練習題時，把常見的直角梯形（上底、下底在上下）橫放（上底、下底在左右），并添加上底、下底和中位線三個干擾項。通過這樣的變式設計，考查學生找高時認知結構是否完整；在梯形的高沒有明確定義的情況下，能否從平行四邊形的高遷移到梯形的高。

一、發現難點，突破難點

在前期的抽樣測試中，該題的正確率約為47%，很多學生無法正確找到高。針對這道練習題對部分學生進行訪談，發現學生出錯的原因主要有以下兩方面。

（一）思維定式干擾正確認知

基于對常見梯形（上底、下底在上下）的認識，學生習慣性地認為梯形的高是“豎的”。針對這道練習題，當看到圖中有直角符號和虛線（學生平時學習時，教師會強調畫高時要先畫虛線，再標注直角符號），很多學生便覺得它的高不是3厘米就是4厘米。

（二）數學本質缺乏深刻解讀

多樣化的梯形表征會妨礙學生的判斷。由于教材中沒有明確給出梯形高的定義，所以學生對高的理解僅僅停留在對圖形的感知上。練習題中的這個梯形比較特殊，擺放方式比較少見，導致學生沒有想到平行線之間的距離才是梯形的高。這從另一個側面反映出，很多學生并不是從數學本質思考問題的，而是憑對圖形的感知作出判斷。

二、豐富材料，理解概念

數學知識并不是孤立存在的，圖形的高其實就是基于學生已有認知的“點到直線的垂直距離”發展而來的。

（一）由單一到多重，逐步豐富學習材料

教師應豐富學習材料，加強概念變式的教學。在教學中，教師要改變梯形的位置和方向，讓學生經歷“受到干擾—產生錯誤—引發思考—調整錯誤—正確認知”的過程，幫助學生改變高是“豎的”的思維定式，認識到高還可以是“橫的”，甚至是“斜的”，從而理解梯形高的本質。

（二）從概念到運用，理解概念本質特點

建立對高的概念的深度理解，首先要讓學生理解三角形的一個頂點到對邊的垂直距離叫作三角形的高，并將高的本質歸結為點到直線的垂直距離。接著讓學生抓住這個本質特點，辨析平行四邊形和梯形的高，理解高的概念，認識高的本質。最后借助高的本質，引導學生學會判斷哪些是真正的高，并會畫各種圖形（三角形、平行四邊形、梯形）的高。

三、抓住本質，搭建橋梁

（一）提供任務，鼓勵學生大膽創新

好的任務可以牽一發而動全身，為學生提供思考空間，調動學生學習的積極性。因此在理解圖形的高時，教師要讓學生從整個知識體系建立對高的全面認識。

教師可以設置“畫一畫三角形內不同形狀的高”“畫一畫不同梯形的高”的任務，讓學生運用高的本質，創造性地畫出不一樣的高，完善對高的認知。在探究過程中，通過改變圖形的位置和方向，學生體會到高可能是“豎的”，也可能是“橫的”，甚至是“斜的”，從而由淺顯認識過渡到深刻思考。通過設置這樣的任務，教師將學生內化的思維變得直觀化，從而加深了學生對高的理解。

（二）提供問題，全面激活學生認知

教學中，教師可以將學生的錯誤、失誤等作為學習資源，推進其深度學習。針對筆者設計的練習題，教師借助學生的錯誤引發學生的深度思考，在比較、辨析、修正中不斷完善學生對高的認知。這樣的問題，能讓學生感受到思考的完整性以及理解的全面性。

綜上所述，筆者借助一道有關梯形的高的練習題，讓學生根據梯形位置的變化，厘清高的本質。在相似概念的對比教學中，學生豐富和完善了對高的認識，積累了數學基本活動經驗，形成了系統化的知識結構。

（1.浙江省嘉興市嘉善縣第二實驗小學2.浙江省嘉興市嘉善縣教育研究培訓中心）