以數線為載體，促進對計數單位的理解與轉化

蘇英姿 章勤瓊

【摘? ?要】計數單位是數與運算的核心概念。借助只有端點和方向的半結構化數線，讓學生經歷靈活選擇計數單位和對計數單位進行轉化來表征不同數的活動，能幫助學生自主構建計數單位，感悟其產生的意義，實現計數單位體系的架構、十進制數意義的貫通和數感的提升。

【關鍵詞】數線；計數單位；十進制；數感；表征

【課前思考】

計數單位是數與運算的核心概念［1］，數的讀、寫、表征、運算都要借助計數單位。計數單位對十進制數認識的一致性教學起著統領作用。針對計數單位的認識，《義務教育數學課程標準（2022年版）》在不同學段提出了不同的要求。具體要求包括：第一學段，在實際情境中感悟并理解萬以內數的意義，理解數位的含義，了解計數單位；第二學段，通過認識萬以上的數，了解十進制計數法，初步認識小數和分數，感悟分數單位，理解計數單位的意義；第三學段，結合具體情境探索并理解小數和分數的意義，感悟計數單位。認識計數單位是為了更好地認識數，最終實現對十進制數意義理解的貫通，達到數感培養的目的。計數單位的認識需要達成以下兩個目的：（1）建構計數單位并感悟其意義和價值，其中，計數單位“十”的建構尤為關鍵，它是建構其他計數單位并進行方法遷移的起點。（2）感悟十進制，能運用進率進行單位轉化，即將10個低級單位合成1個高級單位，將1個高級單位分成10個低級單位。

如何幫助學生更好地認識計數單位？克萊門茨和薩拉馬提出：在任意長度、給定端點的數線上標記數字的心理結構的能力對年幼兒童尤其重要，這種能力支持著計算、估計以及其他數學過程的發展和表現。［2］數線是學生認識數的重要載體，在數的認識的各個階段均有數線的“身影”。很多數線都是已標注好起點、方向和單位長度的結構化數線（數軸），且都平均分成10份，這樣的呈現形式不利于幫助學生真正理解計數單位及其轉化。以只有端點和方向的半結構化數線為載體，創設讓學生根據不同要求確定單位長度進行表征的活動，能夠促進學生對計數單位的理解和轉化。為此，筆者以二年級學生為教學對象，在他們學習了萬以內數，會用直觀學具表征數之后，以“神奇的數線”為主題創設了一次教學實踐。

【教學目標】

1.經歷根據不同要求確定單位長度，在數線上進行表征的過程，建構計數單位十、百、千、萬，體會其產生的意義。

2.借助數線，進行計數單位的轉化，表征包含多級計算單位的數，感悟十進制。

3.建立計數單位間的聯系，建構計數單位體系，培養數感。

教學重點：借助數線，根據數的大小，靈活選擇合適的計數單位進行表征。

教學難點：通過計數單位的轉化，在數線上準確表征數。

【教學過程】

一、多元表征9和76，體會“十”的意義

教師布置學習任務：畫圖表示出9和76。要求每名學生在學習單上獨立完成學習任務。

1.交流9的表征方法

教師呈現一名學生表征9的作品。

師：向大家介紹一下你是怎么畫的？

生：我是1個1個畫的，畫了9個圓。

師：你畫了9個一。

2.對比、勾連76的表征方法

教師呈現表征76的①號、②號學生作品（如圖1）。

師：對比這兩種畫法，你覺得有什么不同？

生：①號作品是1個1個畫的，畫了76個一；②號作品先10個10個畫，畫了7個十，再1個1個畫，畫了6個一。

師：②號作品為什么要10個10個圈起來？

生：先每10個圈起來，畫出7個十，再畫6個一來表示，這樣更容易看出76。

教師呈現表征76的③號學生作品（如圖2）。

師：對比②號和③號作品，哪種方法能更簡潔地表示7個十和6個一，為什么？

生：③號作品更簡潔。因為③號作品是將10個看成1份，只要畫7個十和6個一，而②號作品是1個1個畫，到10個再圈起來，畫了70個圓后再畫6個圓，一共畫了76個圓。

師：②號作品中每個圓代表幾？③號作品中每個圓代表幾？

生：②號作品中每個圓代表一。③號作品中，左邊7個圓，每個圓代表十；右邊6個圓，每個圓代表一。

教師呈現表征76的④號、⑤號學生作品（如圖3）。

師：對比③號、④號和⑤號作品，這三種方法有什么相同的地方？

生：它們都表示出了7個十和6個一，都出現了用一個圖形代表十。

設計意圖：通過讓學生畫圖表征9和76，教師了解了學生對計數單位“十”和計數單位“一”關系的理解水平。教師依次呈現表征76的不同方法，并進行了三次比較：第一次對比①號和②號作品，讓學生體會產生計數單位“十”的必要性；第二次對比②號和③號作品，對表征的方法進行優化；第三次對比③號、④號和⑤號作品，勾連計數器、數位圖與學生自創表征方法之間的共性，讓學生進一步體會計數單位“十”的價值及用計數單位“十”來表征76的優勢。

二、建構計數單位“十”，勾連“一”和“十”

1.用數線表征9，學會表征方法

教師用課件出示數線（如圖4）。

師：如果有這樣一條線，你覺得9應該畫在哪里，為什么？

生：（學生用手指著從0往右數的第9個點）在這個點上。

師：你是怎么看出來它是9，而不是其他數的呢？

生：從0到1為一格，表示1，從1到2為一格，也表示1，從0到2就是兩格，表示2，這樣往下數，一直數到9。

2.用數線表征76，建構計數單位“十”

教師布置學習任務：請你在圖4這條線上表示出76。要求每名學生在學習單上獨立完成學習任務。

教師呈現表征76的①號、②號學生作品（如圖5），并引導學生進行對比。

師：對比這兩種畫法，你覺得哪種方法更好，為什么？

生：②號作品的畫法更好，因為它準確地表示出了76，而①號作品中的76是不是真的在這里并不能確定。

師：②號作品是怎么表示出76的？

生：1大格表示10，7大格就是70，1小格表示1，6小格就是6，相加就是76。

師：②號作品中，70～80之間為什么要畫小格，1小格代表幾？

生：76比70大，比80小，這1大格表示10，沒法表示76里面的6，所以將70～80這格分一分，用每小格表示1，就可以表示出6了。

師：這里的每小格是不是一樣大？70～80之間畫了幾小格？

生：每小格是一樣大的，它們之間畫了10小格，表示十里面有10個一。

師：10小格剛好是這里的1大格，也就是十。將這個十分成10個一，從中找到6個一，和7個十合起來就準確地表示出了76。

設計意圖：先讓學生在數線上表示9，使學生易于將數與形進行一一對應。接著讓學生挑戰在同一數線上表示76，促使學生確定數線的單位長度為十。最后在對76的表征方法的對比中，引導學生通過單位轉化，將1個十平均分，得到10個一，進而表征出76。由此，學生對76中6的表征從一個模糊的范圍走向了準確，且學生經歷了由計數單位“十”向計數單位“一”轉化的過程，對“一”和“十”的十進關系有了深刻的理解。

三、建構計數單位“百”“千”“萬”，理解相鄰計數單位的關系

1.建構計數單位“百”，建立“十”和“百”的關系

教師布置學習任務：請你在圖4這條線上表示出300、500、860。要求每名學生在學習單上獨立完成學習任務。

教師呈現①號學生作品（如圖6），并引導學生進行解釋。

師：像圖6這樣畫可以嗎？怎么知道他畫的是對的？

生：可以這樣畫。因為1大格表示100，3大格就是300，5大格就是500。畫860時，他在800和900之間平均分了10個十，取了6個十，將8個百和6個十合起來，就是860。

師：（教師用手指著800～900之間的小格）你怎么知道這里的1小格就是10？

生：100里有10個十，10個十就是100。

教師呈現②號學生作品（如圖7）。

師：你們覺得畫②號作品的同學是怎么想的？這里的1格表示幾？

生：這幅圖中，前面的幾格表示每格是150，后面1格又表示100。

師：在這樣的數線上能表示出300、500和860嗎？會遇到什么問題？

生：每格要變得一樣長，后面的數線每格也要變成150，所以要把550改成600。

生：雖然現在每格都一樣長，都表示150，但要在1格表示150的線上準確地表示出500比較有難度，要表示出860就更困難了。

師：你們覺得要想在這條線上準確地表示出300、500、860，需要注意哪些問題？

生：線上每格的長度要一樣，且每大格最好是100，這樣表示起來更準確、更方便。

2.建構計數單位“千”和“萬”，勾連相鄰計數單位

教師布置學習任務：請你在圖4這條線上表示出2000、8700、10000。要求每名學生在學習單上獨立完成學習任務。

教師呈現③號學生作品（如圖8），并引導學生進行解釋。

師：這樣表示對嗎？誰來說一說。

生：這樣表示是對的。這里1大格是1000，2大格是2000，8大格7小格就是8700，10大格是10000。

教師呈現圖6和圖8，引導學生進行比較。

師：觀察這兩條表示數的線，比較一下有什么不同？

生：圖6這條線上1大格表示100，1小格表示10；圖8這條線上1大格表示1000，1小格表示100。

師：你怎么知道圖8這條線上1小格就是100？

生：10個百是1000，1小格是把1000平均分成了10份。

設計意圖：教師通過創設不同的學習任務，讓學生經歷通過表征不同大小的數，靈活選擇計數單位的過程，幫助學生積累用數線表征數的經驗，建構計數單位“百”“千”“萬”，理解相鄰計數單位的十進關系，感悟十進制。在理解計數單位“百”的教學中，教師通過呈現一個單位長度不是百且單位長度不一致的反例，引導學生理解數線的均分特征（單位長度要一致），體會計數單位“百”產生的意義，體驗用十進制計數單位來表示十進制數的優越性。

四、橫聯縱拓，建構計數單位體系

1.在數線上找9900、9990、9999，提煉轉化規則

教師呈現0～10000的數線（如圖9）。

師：大家能在這條線上找到9900嗎？要怎么找？

生：先找到9000，再將9000～10000這1大格平均分成10小格，每小格就是100，9小格就是900，這樣就能找到9900了。

師：能找到9990嗎？會在哪里？

生：將9900和10000之間的這格再平均分成10小格，1小格是10，9小格是90。

生：將9990～10000之間的這格再平均分成10小格，1小格是1，9小格是9。

教師用課件動態演示找9900、9990的過程（如圖10）。

師：回顧一下，我們是怎么找到9990里千位上的9的？這么分的依據是什么？

生：因為萬里面有10個千，將萬平均分成10份，每份是1000，9份是9000。

師：百位上的9呢？十位上的9呢？如果找9999的位置，該怎么找個位上的9在哪里呢？依據又是什么？

生：都是將1大格平均分成10小格，找9小格。依據是千里面有10個百，百里面有10個十，十里面有10個一。

2.揭示課題，體會數線的價值

師：今天我們在這條線上表示出了很多數，其實大家在一年級時就遇到過它，它叫作數線。在學習用數線表示數之前，我們已經可以用畫圖、計數器、數位圖等來表示數了，那為什么還要學習用數線表示數呢？

生：以前我們表示幾個數要畫幾幅圖，現在我們在一條數線上就可以同時表示好多數。

生：要是數線很長很長，我就可以找到很多很多數。

生：只要根據數的大小，確定1大格的長度，就可以表示了。

師：是呀，一條數線上可以同時表示很多數，數線真神奇。

3.拓寬思考范圍，建構計數單位體系

師：關于數線，你還想研究什么？

生：要是數很大很大，每格是幾呢？

生：每格是1000的能平均分成10個百，每格是100的能平均分成10個十，每格是10的能平均分成10個一，每格是1的能不能再平均分呢？如果再平均分下去每格是幾呢？

……

師：看來關于數線還有很多未知的奧秘等著我們去探索。

設計意圖：教師先通過計數單位之間的相互轉化，讓學生在數線上找出9900、9990、9999，勾連相鄰計數單位“一”“十”“百”“千”，打通計數單位層層遞進的十進關系，幫助學生結構化地看待這些計數單位。接著用動態演示和思辨活動，讓學生體會用數線表征的意義。最后以數線的研究為抓手，引導學生根據計數單位的十進關系，進行前延后拓，為更多計數單位的學習和數系的貫通奠定基礎。

【教學反思】

一、以數線為載體，建構理解不同計數單位

建構計數單位，就是要讓學生在大腦中形成一個個結構為10個一組的計數單位，并讓他們感悟不同計數單位的意義。只有經歷知識產生的必要性，充分感知、體驗知識產生的過程，才能抽象概括，把握知識的本質，把握知識之間的本質聯系。［3］ 教師要抓住計數單位“十”這個關鍵點，多元表征76，并進行方法對比優化，在此基礎上用數線來表征，讓學生充分經歷“十”的建構過程，體會計數單位“十”產生的意義。再以計數單位“十”的建構為基點，引導學生進行方法遷移，讓學生通過在同樣的數線模型上表示更大數的任務，經歷計數單位“百”“千”“萬”的構建過程，不斷體會用十進計數單位來表示十進制數的優越性，體會十進制的價值。

二、借助數線進行計數單位轉化，建構計數單位體系

對計數單位本質的把握不僅要建構理解每個計數單位，還要找到計數單位之間的聯結規則，將已學的計數單位放置于整個計數單位體系中，形成計數單位系統，實現以有限的單位表示無限數的可能。學生通過借助數線表征不同的大數的活動，學習運用進率找到合適的計數單位，在數線上找到9900、9990、9999，從而提煉出計數單位轉化的規則。這些活動可幫助學生對計數單位進行可視勾連，達到逐步建構計數單位體系的目的，實現十進制數意義理解的貫通和數感的培養。

參考文獻：

［1］丁銳.新課標“數與運算”主題的結構化及核心概念：馬云鵬教授、吳正憲老師訪談錄（三）［J］.小學教學（數學版），2022（10）：4-8.

［2］克萊門茨，薩拉馬.兒童早期的數學學習與教育：基于學習路徑的研究［M］.張俊，陶瑩，李正清，等譯.北京：教育科學出版社，2019.

［3］劉加霞.小學數學有效教學［M］.北京：北京師范大學出版社，2015.

（1.浙江省玉環市楚門文興小學

2.福建師范大學教育學院）