謹防誤解“分數(shù)單位”

郜舒竹 魏衛(wèi)霞 程曉紅

【摘? ?要】《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》新增了“分數(shù)單位”的說法。通過分析發(fā)現(xiàn)，“分數(shù)單位”具有所指界限不清的“模糊性”及語義相離的“歧義性”，極易引起一線教師的誤解，將不確定的單位強制為確定，給實際教學帶來是非難辨的困難。為了消除歧義，可以將“分數(shù)單位”的不同意義分離，并分別命名，從而區(qū)分“分數(shù)單位”與“單位分數(shù)”，使得“分數(shù)單位”的意義具有相對的確定性，避免產(chǎn)生誤解。

【關鍵詞】分數(shù)單位；單位分數(shù)；模糊；歧義

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）新增了“分數(shù)單位”的說法，在“數(shù)與代數(shù)”領域第二學段（3～4年級）的“內(nèi)容要求”中表述為“感悟分數(shù)單位”。“分數(shù)單位”一詞具有明顯的語義模糊與歧義特征，極易讓人產(chǎn)生誤解，因此會給實際教學、教科書編修及試題編制造成誤導。

一、所指界限不清的“模糊性”

《課程標準》附錄1中的“例9 感悟分數(shù)單位”以“比較[12]和[13]的大小”的實例來說明“分數(shù)單位”的意義。具體“說明”摘錄如下。

【說明】把兩個同樣大小的圓分別平均分成2份和3份，通過比較各自1份面積大小的方法，引導學生直觀理解分數(shù)的大小。然后，進一步把這兩個圓都平均分成6份，通過“[12]=[36]，[13]=[26]，[36]>[26]，所以[12]>[13]”，幫助學生理解分數(shù)單位之間的關系，知道只有在相同單位下才能比較分數(shù)的大小。

這段“說明”并未說明諸多分數(shù)中，哪個或哪些是“分數(shù)單位”。作為“比較[12]和[13]的大小”的例題，“幫助學生理解分數(shù)單位之間的關系”應當是“感悟分數(shù)單位”的重要內(nèi)容。由此看來，“分數(shù)單位之間的關系”應當是指“[12]和[13]的關系”，也就是將[12]和[13]這樣分子為1的分數(shù)視為分數(shù)單位。按照這樣的理解，可以猜測，“感悟分數(shù)單位”的意義是認識兩個不同的分數(shù)單位，其大小或順序可能是不同的，而且分母中數(shù)的大小與分數(shù)單位的大小關系是反向的，即分母越大（小），分數(shù)單位越小（大）。

再看“說明”中的另一句話：“只有在相同單位下才能比較分數(shù)的大小。”[12]和[13]通分后分別成為等值的[36]（[36]=[16]×3）和[26]（[26]=[16]×2），[36]是[16]的3倍，[26]是[16]的2倍。這一過程是將[16]視為比較的標準，因此“說明”中的“相同單位”應當是把[16]視為分數(shù)單位。這時的“感悟分數(shù)單位”或許應當是通過通分，構(gòu)造共同的分數(shù)單位，將分數(shù)大小的比較轉(zhuǎn)化為整數(shù)大小的比較，體現(xiàn)所謂分數(shù)與整數(shù)的一致性。

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，《課程標準》中所說的“分數(shù)單位”應當是指“分子為1的分數(shù)”，這一點可以在鞏子坤等發(fā)表的《義務教育數(shù)學課程標準修訂的新視角：數(shù)的概念與運算的一致性》一文中得到證實。該文將整數(shù)中的“1、10、100……”，小數(shù)中的“0.1、0.01、0.001……”，以及分子為1的分數(shù)，統(tǒng)稱為“計數(shù)單位”，而且特別說明分數(shù)中的計數(shù)單位也叫“分數(shù)單位”。［1］

按照這樣的邏輯，《課程標準》例9的語境中出現(xiàn)的[12]和[13]是分數(shù)單位，人為構(gòu)造出來的[16]也是分數(shù)單位。進一步設想，一個分數(shù)的等值分數(shù)是無限多的，比如：

l[12]=[36]=[612]=[918]=……

l[13]=[26]=[412]=[618]=……

其中，[112]、[118]等無限多分子為1的分數(shù)，都可以成為這一語境中的分數(shù)單位。因此，“分數(shù)單位”一詞在同一語境中明顯具有所指界限不清的“模糊性（Vagueness）”［2］，教學過程中自然會出現(xiàn)因人而異的差異性與多樣性。

二、語義相離的“歧義性”

“分數(shù)單位”不僅具有所指界限不清的模糊性，還可能出現(xiàn)其他另類的意義。數(shù)作為表征量的語言，是人思維中生成的對象，其說法與寫法的表征形式取決于如何看待單位，也就是如何看待“一”。只有確定了“一”，才能確定“幾（或幾分之幾）”。［3］分數(shù)[12]（或[13]）的一般意義是：將一個“整體（Whole）”平均分成2份（或3份），表示其中1份的數(shù)。如果按照《課程標準》附錄1中的例9所說，將“一個圓的面積”視為“整體”，那么將圓平均分成2份（或3份），表達其中的1份的數(shù)就是[12]（或[13]）。（如圖1）

此時，“一個圓的面積”就是諸如[12]或[13]這些分數(shù)出現(xiàn)與存在所依賴的單位。如果把平分后的較小部分視為單位，那么表達這種局部與整體關系的數(shù)就會隨之改變（如圖2）。

由此看來，同樣的量可以用不同的數(shù)表達，其原因在于單位的不同，就像同樣的6根筷子，也可以稱為3雙筷子，120分鐘也可以叫作2小時。因此，每一個數(shù)的出現(xiàn)與存在，都對應并依賴著一個單位，這個單位與對應的數(shù)具有“一對一”的關系，單位的確定使得數(shù)隨之確定，單位的改變導致數(shù)的改變。像這樣和數(shù)的出現(xiàn)與存在息息相關的單位，在分數(shù)的語境中通常叫作“單位一”，其意義是“分數(shù)所依賴的單位”。從字面意思來看，這樣的“單位一”也應當命名為“分數(shù)單位”。由此得到“分數(shù)單位”一詞可能出現(xiàn)的兩個截然不同的意義：

[l][分數(shù)單位=? ][分子為1的分數(shù)作為單位

分數(shù)出現(xiàn)與存在所依賴的單位

]

因此，“分數(shù)單位”的說法就具有了語義相離的“歧義性（Ambiguity）”。［4］在同一語境中的“分數(shù)單位”，同時具有所指界限不清的模糊性和語義相離的歧義性，使得這一詞語失去了確定的意義，極易引起誤解。

三、教學誤解

“分數(shù)單位”一詞并非《課程標準》的原創(chuàng)，有關其意義以及對它的誤解的討論由來已久，早在20世紀80年代就常見如下的試題［5］：

l[123]的單位是（ ），有（ ）個這樣的單位。（標準答案：[13]，5）

標準答案是將分子為1的分數(shù)[13]視為帶分數(shù)[123]的單位，與《課程標準》中所說的分數(shù)單位的意義相同。按照這樣的理解，問題的答案并不是唯一確定的。因為[123]=[146]=[169]=……所以[123]的單位還可以是[16]、[19]……答案是無限多的。這是因為命題者誤解了分數(shù)單位的意義，將這一語境中不確定的單位強制為確定。

另外，從分數(shù)單位是分數(shù)[123]所依賴的“單位一”這個意義看，如果把“單位一”看作“一個圓的面積”，那么其中的[23]就表示同一個圓平均分成3份中的2份（如圖3）。也就是說，[123]的單位是“1”，包含有[123]個單位。

如果按照題目中所說，把[13]看作單位，意味著把一個圓平均分成3份，將其中的1份視為單位。隨著單位的改變，[123]也會隨之改變，其中的1變成“3”，[23]變成“2”，[123]自然就改變?yōu)椤?”了（如圖4）。

凡此似是而非的試題及其標準答案，必然會給一線教師的教學帶來困惑，造成是非難辨的混亂現(xiàn)象。為了防止這樣的混亂產(chǎn)生，就需要將“分數(shù)單位”的不同意義分離開，并針對不同意義分別命名，進而實現(xiàn)消除歧義的目的。

四、區(qū)分“單位分數(shù)”與“分數(shù)單位”

如前所述，“分數(shù)單位”的歧義性表現(xiàn)為：既有分數(shù)出現(xiàn)與存在所依賴的單位的意義，也有分子是1的分數(shù)的意義。通過歷史考察可以發(fā)現(xiàn)，對分子為1的分數(shù)的研究在古代埃及的紙草書中就早有記載，但通用的名稱是“單位分數(shù)（Unit Fraction）”，而不是“分數(shù)單位”。［6］

數(shù)學中對單位分數(shù)的研究，意在將任何一個分數(shù)分解為互不相同的單位分數(shù)之和，比如[56]可以分解為兩個互異單位分數(shù)[12]與[13]的和，即[56]=[12]+[13]。將此類內(nèi)容應用于教學中，通常是為了幫助學生建立分數(shù)運算與分數(shù)意義的聯(lián)系，避免單純的程序化計算。［7］

比如，對于分數(shù)[78]，其意義是將“單位一”平均分成8份，表示其中的7份。這樣的意義可以通過分數(shù)運算，轉(zhuǎn)化為三個單位分數(shù)之和的形式，即：

[78]=[12]+（[78] - [12]）

=[12]+[38]

=[12]+[14]+（[38] - [14]）

=[12]+[14]+[18]

像這樣將分數(shù)拆分為單位分數(shù)的過程，并非依據(jù)分數(shù)所謂的算法和算理，而是依據(jù)分數(shù)的意義，將分數(shù)自身所依賴的“單位一”與分子為1的單位分數(shù)聯(lián)系在一起，利用示意圖建立了不同分數(shù)之間的聯(lián)系，這樣的聯(lián)系使得分數(shù)自身的意義與其運算意義形成了一致性（如圖5）。

如果把分子為1的分數(shù)叫作單位分數(shù)，同時把分數(shù)單位視為分數(shù)出現(xiàn)與存在所依賴的“單位一”，就可以消除“分數(shù)單位”的歧義性。單位分數(shù)與分數(shù)單位二者的關系可以概括為：單位分數(shù)是分數(shù)單位“分（Splitting）”得的產(chǎn)物，是單位的單位。按照杜威（John Dewey，1859—1952）與人合著的《數(shù)的心理學》一書中關于單位的論述，如果把分數(shù)單位視為分數(shù)出現(xiàn)與存在的“原始單位（Primary Unit）”，那么單位分數(shù)就是原始單位衍生出來的“衍生單位（Derived Unit）”。［8］

數(shù)的認識與運算的教學應當特別重視數(shù)與單位的一致性，任何實數(shù)（包括分數(shù)）所依賴的單位都是“一”，這樣的單位具有抽象性，是思維的產(chǎn)物，不同的視角會生成不同的單位。任何實數(shù)都是與單位的“比（Ratio）”。1000這個數(shù)表示的是1000個一，如果把“100”視為“一”，那么“1000”就隨之改變?yōu)椤?0個一”，這樣的單位轉(zhuǎn)換實質(zhì)依賴的是比例關系“1000∶100=10∶1”。

同樣，作為圓周率的無理數(shù)[π]，表達的是將圓的直徑視為單位時圓的周長，依賴的是比例關系：圓周長∶圓直徑=[π]∶1。類似于此，如果把正方形邊長視為單位，這個正方形對角線的長度就是[2]，依賴的比例關系為：正方形對角線∶正方形邊長=[2]∶1。從這些比例關系中，便能夠看出“原始單位”與“衍生單位”的因果關系。

把分子為1的分數(shù)從“分數(shù)單位”的所指中分離出來，命名為“單位分數(shù)”，就可以實現(xiàn)任何分數(shù)有且僅有一個分數(shù)單位。這樣的分數(shù)單位可以沿襲“單位一”的稱謂，這與美國教師聯(lián)合會2000年發(fā)布的《學校數(shù)學原理與標準》中所說的“單位整體（Unit Whole）”意義一致［9］，其實質(zhì)就是分數(shù)出現(xiàn)與存在所依賴的單位，避免了“分數(shù)單位”的歧義性。

五、結(jié)束語

最后還需指出，《課程標準》附錄1的例9中提到，把兩個同樣大小的圓分別平均分成2份和3份，表示[12]=[36]與[13]=[26]的大小關系，其中“兩個”的說法似乎也有不妥之處。

如圖6所示，如果利用“兩個同樣大小的圓”直觀感知算式[12]+[13]的意義，很容易將兩個圓的面積視為分數(shù)單位，將[36]與[26]的和視為“將兩個圓平均分成12份中的5份”，進而得到如下的算法（如圖7）。

將兩個圓一共平均分成12份，其中的5份是[512]，這樣的算法從圖中看是合情合理的。問題在于，雖然兩個圓的大小相同，但分數(shù)加、減運算的前提是“同一個分數(shù)單位”，即便是兩個相同的單位，也會使得分數(shù)的運算法則失效。因此，將“兩個同樣大小的圓”表述為“同一個圓”更為準確。

總之，課程標準代表的是國家意志，是教科書編修的依據(jù)，是教師教學實踐的指南。課程標準中的字字句句對學校教育與教學的影響不言而喻。一線教師對課程標準的踐行，需要以理解為前提，任何形式的誤解都會對實際教學產(chǎn)生負面的影響。因此，“謹防誤解”應當成為時下教師培訓與教學研究的重要話題。

參考文獻：

［1］鞏子坤，史寧中，張丹.義務教育數(shù)學課程標準修訂的新視角：數(shù)的概念與運算的一致性［J］.課程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.

［2］ KEMPSON R M，孫秋秋.“歧義”與“模糊”［J］.國外語言學，1983（3）：18-25.

［3］郜舒竹.看“一”的眼光［J］.教學月刊·小學版（數(shù)學），2020（11）：4-8.

［4］FOSTER C. Productive ambiguity in the learning of mathematics［J］.For the learning of mathematics，2011，31（2）：3-7.

［5］蒲躍慶.對“分數(shù)單位”與“分數(shù)的單位”的討論［J］.小學教學研究，1981（4）：43-44.

［6］EDWARDS T G. Using ancient Egyptian fractions to review fraction concepts［J］. Mathematics teaching in the middle school，2005，10（5）： 226-229.

［7］HURD S P. Egyptian fractions： Ahmes to Fibonacci to today［J］. The mathematics teacher，1991，84（7）：561-568.

［8］GLASERSFELD E V. An attentional model for the conceptual construction of units and number［J］. Journal for research in mathematics education，1981，12（2）：83-94.

［9］NCTM. Principles and standards for school mathematics［M］. Reston： National council of teachers of mathematics，2000.

（1.首都師范大學初等教育學院

2.首都師范大學教育學院

3. 廣東省珠海市首都師范大學橫琴伯牙小學）