數(shù)學(xué)活動(dòng)中“深度理解”的教學(xué)初探

華中師范大學(xué)寶安附屬學(xué)校 萬(wàn)小龍

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可或缺的方式是思考。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)便是學(xué)習(xí)者憑借舊知和經(jīng)驗(yàn)對(duì)新知產(chǎn)生個(gè)人的感悟，個(gè)人的感悟是學(xué)生親身參與、自覺(jué)體驗(yàn)的過(guò)程，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)方法的過(guò)程，是學(xué)生慢慢學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法理解數(shù)學(xué)概念和命題的過(guò)程。下面，筆者以北師大版數(shù)學(xué)的教學(xué)案例為例，談一談在數(shù)學(xué)活動(dòng)中幫助學(xué)生深度理解的一些做法。

一、親身體驗(yàn)，深度理解之“葉”

對(duì)知識(shí)的深度理解需要學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中獲得的對(duì)于數(shù)學(xué)的體驗(yàn)和認(rèn)知，既包括學(xué)生的動(dòng)手操作、認(rèn)真閱讀和仔細(xì)觀察，又包含滲透于活動(dòng)行為中的數(shù)學(xué)思考。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，教學(xué)在注重?cái)?shù)學(xué)“基礎(chǔ)知識(shí)”和“基本技能”的同時(shí)，還要增加積累“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”和發(fā)展數(shù)學(xué)“基本思想”。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)活動(dòng)強(qiáng)調(diào)親身體驗(yàn)的重要性。特級(jí)教師張?zhí)煨⒁舱J(rèn)為，親身體驗(yàn)是數(shù)學(xué)教育目標(biāo)現(xiàn)代演變的一個(gè)主要標(biāo)志。

“古人計(jì)數(shù)”是北師大版數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)第七單元第一課時(shí)的內(nèi)容。在教學(xué)中，很多教師處理這個(gè)環(huán)節(jié)就是讓學(xué)生對(duì)著電腦屏幕數(shù)一數(shù)，用小棒擺一擺，在計(jì)算器上撥一撥，甚至有些教師擔(dān)心學(xué)生玩學(xué)具而減少學(xué)生用學(xué)具的次數(shù)，直接告訴學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)果，讓學(xué)生讀一讀、記一記，以此追求教學(xué)的“高效”。古人漫長(zhǎng)歲月形成的智慧，在課堂中如果被壓縮成幾分鐘的內(nèi)容在頭腦中一閃而過(guò)，學(xué)生就無(wú)法體會(huì)到古人的智慧成果。對(duì)此，筆者是這樣處理的：

羊圈里關(guān)了11只羊，牧羊人坐在羊圈旁，身邊有9顆小石子和1顆大石子。古時(shí)候，人們用石子記錄事物的數(shù)量，每出去一只羊，就在地上擺1顆小石子。當(dāng)出來(lái)了10只羊時(shí)，牧羊人驚訝了，沒(méi)有可用的小石子了，怎么辦呢？同學(xué)們能幫牧羊人想想辦法嗎？

“可以用大石子來(lái)代替” “可以用小棒來(lái)代替” “可以去找小石子”……學(xué)生在問(wèn)題的引導(dǎo)下，忙著幫牧羊人想辦法。筆者趁機(jī)追問(wèn)一個(gè)學(xué)生：“你為什么不用小棒代替，也不用大石子，而要去找小石子呢？”學(xué)生回答說(shuō)：“當(dāng)每1只羊用小石子表示時(shí)，就不能用其他東西表示了。”其他學(xué)生也紛紛贊同。可問(wèn)題是沒(méi)有那么多小石子，牧羊人需照看羊，又不能離開(kāi)，怎么辦？學(xué)生又一次陷入思考中……這時(shí)，有個(gè)學(xué)生舉手說(shuō)：“用大石子表示10。”筆者把大石子擺在第10個(gè)，問(wèn)：“是這樣嗎？”有個(gè)學(xué)生急匆匆地說(shuō)：“不對(duì)，這樣大石子還是表示1只羊。”“那怎么辦呢？”筆者把問(wèn)題又一次拋給學(xué)生，并進(jìn)一步提示學(xué)生，“剛才這個(gè)同學(xué)說(shuō)大石子是表示第10個(gè)還是10個(gè)？”學(xué)生在教師的提示下回答：“10個(gè)”“不是第10個(gè)” “需把前面9個(gè)小石子拿走，就用1個(gè)大石子來(lái)表示10個(gè)”……這時(shí)，大部分學(xué)生對(duì)于教學(xué)難點(diǎn) “10個(gè)一就是1個(gè)十”有了初步的認(rèn)識(shí)。筆者站在學(xué)生的角度創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生的潛能得到了充分的激發(fā)和釋放。

由上述分析可以看出，深度理解的根本意圖是強(qiáng)調(diào)教育的“過(guò)程性目標(biāo)”而不僅僅是“結(jié)果性目標(biāo)”。教學(xué)難點(diǎn)是“悟出來(lái)、想出來(lái)的，而不是教會(huì)的”。正如杜威在《民主主義與教育》中指出，教育是一種生長(zhǎng)，生長(zhǎng)的具體過(guò)程和內(nèi)在機(jī)制可以概括地表述為“經(jīng)驗(yàn)的改組或改造”，這個(gè)過(guò)程不是一個(gè)通過(guò)灌輸實(shí)現(xiàn)的被動(dòng)過(guò)程，而是在個(gè)人積極主動(dòng)地參與共同生活的過(guò)程中能動(dòng)地實(shí)現(xiàn)的。

二、自覺(jué)感悟，深度理解之“莖”

學(xué)生的思維是一個(gè)由具體形象思維到抽象思維發(fā)展過(guò)渡的過(guò)程。學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中未必能理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，深度理解更是無(wú)從談起，那么怎樣解決這一現(xiàn)實(shí)存在的問(wèn)題呢？

如在“古人計(jì)數(shù)”一課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生用小石頭表示羊的數(shù)量，接著用小棒表示小羊的數(shù)量。學(xué)生用1根小棒表示1只羊，一邊數(shù)一邊擺1根小棒，在學(xué)生一共數(shù)了11根小棒時(shí)，筆者相機(jī)提問(wèn)：“古人用1塊大石頭和1塊小石頭表示11塊小石頭，你們還能用什么辦法表示11根小棒？”

生1：可以用1根大棒和1根小棒表示。

師：還有什么辦法？

生2：可以把10根小棒捆在一起，這樣可以用1捆和1根表示11根小棒。

師： 1根和1捆都用“1”表示，它們的區(qū)別在哪里？這樣表示的好處是什么？

生1： 1根1根地?cái)?shù)，數(shù)10根就是1捆。

生2： 1根和1捆都用了“1”，但單位不同。1捆里面有10根小棒。

接著筆者出示計(jì)數(shù)器，引導(dǎo)學(xué)生在個(gè)位上計(jì)數(shù)。

筆者在個(gè)位上撥1顆珠子，學(xué)生計(jì)數(shù)1；撥2顆珠子，學(xué)生計(jì)數(shù)2……當(dāng)撥了10顆珠子時(shí)，筆者問(wèn)學(xué)生：“接下來(lái)怎么處理？”

生：我會(huì)把個(gè)位上的10顆珠子去掉，在十位上撥1顆珠子。

師：在同學(xué)的演示過(guò)程中你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：我發(fā)現(xiàn)去掉了個(gè)位上的10顆珠子，在十位撥了1顆珠子。

生2：十位上的1顆珠子表示1個(gè)十，等于個(gè)位上去掉的10個(gè)一。

……

深度理解需要教師提供可探索的材料，讓學(xué)生在操作與思考中不斷探索、積淀新的知識(shí)，自動(dòng)更新對(duì)新知識(shí)、新技能的新認(rèn)知，從而在做中自覺(jué)理解，在觀察中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中提升。這一過(guò)程就是學(xué)生自覺(jué)感悟的過(guò)程。

三、感悟思想方法，深度理解之“根”

深度理解不是記住知識(shí)符號(hào)，不是對(duì)知識(shí)的簡(jiǎn)單占有，也不是對(duì)知識(shí)的表層學(xué)習(xí)，而是理解并促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的邏輯要素和意義系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化。

筆者仍以“古人計(jì)數(shù)”的教學(xué)為例，出示看圖寫(xiě)數(shù)讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)（見(jiàn)圖1）。

圖1

在學(xué)生寫(xiě)完數(shù)后，筆者隨機(jī)提問(wèn)：“你是怎樣想的？”在相互交流中師生達(dá)成共識(shí)：大石頭表示10塊小石頭，與2塊小石頭合并就是12塊小石頭；1串珠子中有10顆珠子，與4顆珠子合并就是14顆珠子；一排有10個(gè)小正方體，與另一排5個(gè)小正方體合并就是15個(gè)小正方體；1捆有10根小棒，與3根小棒合并就是13根小棒；十位上的1顆珠子表示10顆珠子，與個(gè)位上的6顆珠子合并就是16顆珠子。

有些教師在這個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生寫(xiě)完數(shù)就結(jié)束教學(xué)了，但筆者認(rèn)為，讓學(xué)生說(shuō)自己的想法是必不可少的。在語(yǔ)言表達(dá)過(guò)程中，可以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)。

筆者接著提出問(wèn)題：“這5道看圖計(jì)數(shù)題中，你能說(shuō)出它們之間相同的地方和不同的地方嗎？”在師生交流中，學(xué)生紛紛明白：相同的地方都是把“10個(gè)一看作1個(gè)十”，不同的地方是大石頭和小石頭不能像小棒、珠子和小方塊那樣直接看出來(lái)，但用小棒、珠子和小方塊來(lái)計(jì)數(shù)又太笨重了。計(jì)數(shù)器有標(biāo)明“十位”和“個(gè)位”，可以很清楚看出“1個(gè)十就是10個(gè)一”的關(guān)系，并且表示起來(lái)更為簡(jiǎn)潔。

看似樸素的語(yǔ)言，卻觸摸到了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要進(jìn)行模仿、記憶和訓(xùn)練，但不是死記硬背、機(jī)械操練，而是在學(xué)生理解和思考的基礎(chǔ)上積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、感悟思想。

四、精神喚醒，深度理解之“魂”

要使學(xué)科經(jīng)驗(yàn)、學(xué)科思想、學(xué)科能力等關(guān)鍵目標(biāo)深度達(dá)成，需要教師用問(wèn)題來(lái)激活學(xué)生思維，從而啟迪學(xué)生智慧。如筆者在教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方體的表面積”一課時(shí)，圍繞題目（見(jiàn)圖2）讓學(xué)生展開(kāi)思考交流，達(dá)到了較好的效果。

圖2

求下列長(zhǎng)方體的面積。

上課伊始，筆者先讓學(xué)生獨(dú)立完成。大部分學(xué)生完成后，筆者點(diǎn)名生1在黑板上板書(shū)此題。

長(zhǎng)方體紙盒的表面積：1 0×8×2+1 0×2×2+2×8×2=232cm2

①2 9×8=2 3 2 c m2；②3 0×1 8=5 4 0 c m2；③85×3=255cm2。

接著，生1饒有興致地陳述他的觀點(diǎn):“選擇①，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的表面積是232cm2，①號(hào)包裝紙的面積也是232 cm2，所以選擇①號(hào)包裝紙。”同學(xué)們紛紛表示贊同。教師接著提問(wèn)：“還有不同的想法嗎？”此時(shí)有部分學(xué)生點(diǎn)頭表示不同意生1的想法。

筆者很自信地拿出早已準(zhǔn)備好的長(zhǎng)方體牙膏盒給學(xué)生演示。提出問(wèn)題：“用白板紙做牙膏盒，是不是剛好買(mǎi)這么大面積的白板紙呢？”學(xué)生在筆者的提示下，逐步明白：包裝紙的面積應(yīng)該比長(zhǎng)方體紙盒的表面積要大一些。

“究竟選幾號(hào)包裝紙呢？”生2提出選③號(hào)包裝紙，理由是③號(hào)的面積比長(zhǎng)方體紙盒的表面積大，而②號(hào)包裝紙?zhí)罅耍行├速M(fèi)。一些學(xué)生也隨聲附和。筆者放手讓學(xué)生討論，過(guò)了一會(huì)兒，大部分學(xué)生默認(rèn)應(yīng)該使用③號(hào)包裝紙，同時(shí)把目光投向筆者，希望得到老師的肯定。筆者提示：“對(duì)照課本中的圖，還有沒(méi)有不同的想法？相信你們還有不同的發(fā)現(xiàn)。”

這時(shí)，善于思考的生3高高地舉起手：“我不贊同選擇③號(hào)，因?yàn)樵趯?shí)際裁剪時(shí)，長(zhǎng)方體的紙盒的上下面是10×8，而包裝紙是85×3，根本無(wú)法裁剪。”

“一語(yǔ)道破天機(jī)”，學(xué)生恍然大悟。這時(shí)，筆者再次提問(wèn)：“學(xué)數(shù)學(xué)究竟為了什么？”

“老師，我們不能被計(jì)算的結(jié)果所欺騙，要學(xué)會(huì)根據(jù)題意具體分析。”

“老師，我們應(yīng)結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。”

“老師，我們需認(rèn)真思考出題人的意圖。”

……

通過(guò)以上教學(xué)，學(xué)生學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看待問(wèn)題，更培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。教學(xué)中教師要注重學(xué)生思維的發(fā)展，用啟迪式的教學(xué)喚醒學(xué)生的思維、發(fā)展學(xué)生的思維。