基于大概念的小學數學教育

北京市西城區教育研修學院 劉克臣

隨著發展學生核心素養的提出，教育培養目標也逐步明確。對于數學教育而言，落實數學核心素養培養目標的關鍵是明確學科的組織結構，用少量的、關鍵性的知識實現對更多內容的統整。這里“少量的、關鍵性”的知識就是我們說的大概念，即“一引其綱，萬目皆張”的“綱”。

我國基于大概念開展教育教學的研究始于高中課程標準的頒布，并提出大概念統攝下的單元教學研究的具體操作模式。隨之，對“大概念＋單元教學”模式的研究不斷升溫，成為教育研究的熱點，并輻射到小學數學教育。隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的頒布，基于大概念開展教學成為新一輪教學改革的突破口。

一、大概念的理解

現在普遍被大家認可的大概念，亦稱“大觀念”或“核心觀念”。它并非學科課程的某一具體的知識性概念或名詞，而是集中反映學科本質，具有持久性和遷移性，能將離散或瑣碎的不同主題和知識進行“有意義”的“粘連”，從而幫助學生真正理解知識。

在教學領域，威金斯和麥克泰格是較早對大概念進行詳細闡述的兩位學者，在Understanding by Design（《追求理解的教學設計》）中對“什么是大概念”進行了解釋。他們將大概念形象地比喻成“轄”，轄是一種配件，能夠使車輪固定在車軸上。“轄”是讓學生理解的必要條件，抓不住關鍵思想以及不能將大概念與相關內容知識聯系起來，留給學生的就只能是一些零碎的、無用的知識。

大概念是伴隨核心素養提出的，那么到底該如何界定數學大概念呢？在課程標準中，只有生物學科給出了明確的學科大概念定義：“大概念是處于學科中心位置、對學生學習具有引領作用的基礎知識。”從生物學科界定上看大概念處于眾多概念（知識）的中心并且具有引領作用，由此筆者馬上聯想到了蜘蛛網，而大概念就是這個網的中心。

二、數學大概念的認識及提煉

（一）數學大概念的認識

借鑒其他學科的概念理解，目的是通過理解實現遷移。相比較而言，在普通高中數學課程標準中并沒有明確學科大概念，并且不同學者對數學大概念的理解和認識存在差異。查爾斯（Charles. R. I.）將數學大觀念定義為對數學學習至關重要的觀念的陳述，是數學學習的核心，能夠把各種數學理解聯系成一個連貫的整體。澳大利亞維多利亞州教育和兒童早期發展部指出，大概念應當落實到實踐中去，并可以在活動中觀察。作為學科大概念的子集，數學大概念深刻體現了大概念的本質內涵：結構、聯系和遷移。

大概念的“大”不是絕對的，而是相對的，可以有宏觀層面、中觀層面以及微觀層面的大概念。宏觀大概念是中觀和微觀的上位概念，更具有普適性，微觀大概念則更具體。比如，“簡易方程”單元，宏觀層面的大概念界定為“具體和抽象對立又統一”，中觀層面的大概念是“符號語言是科學表達的重要基礎”，微觀層面的大概念是“符號使數學具有普適性”。

（二）數學大概念的提煉

數學本身具有嚴密的邏輯結構，這種結構有賴于大概念的聯結。圖1是由美國科學教育標準制定委員會撰寫的《新一代科學教育標準》中的大概念金字塔模型，從中可以看到，一般的學科事實性知識和具體概念被界定為“小”概念，這為教師提煉大概念提供了重要標準。處于金字塔頂端的是哲學視角的大概念，這和我們要研究的學科大概念相距甚遠。跨學科大概念主要包括模型、系統、結構、功能等。跨學科概念的學習，能夠在一定程度上模糊學科之間的界限，使各個學科之間建立聯系，有利于學生將所學知識遷移應用至不同的情境。未來的數學教育將從小學階段開始進行數學建模的學習，跨學科大概念將成為引領其發展的重要內容。

圖1

就數學教育的現實和研究基礎看，目前小學數學教育教學的核心任務是提煉數學學科視角的核心概念。

國外有些學者已經進行了對中小學數學大概念的提煉，如Elementary and middle school mathematics teaching developmentally（《中小學數學教學的發展》）一書中提出了16個數學大概念：

發展早期的數概念和數感；發展運算；培養基本事實的流利性；發展整數位值概念；加法和減法的策略；發展乘法和除法計算的策略；代數思維；方程和函數；發展分數的概念；發展分數的運算；發展小數和百分數的概念和小數的計算；比率、比例和比例推理；發展測量概念；發展幾何思維和幾何概念；發展數據與統計的概念；探索概率的概念；發展指數、整數和實數的概念。

這樣具體的提煉方式值得借鑒，因為其具有很強的操作性。但是，相信很多教師看到這樣的提煉會不夠滿意，這和我們追求的理想的大概念有一定的差距。如果用這些作為核心、引領的大概念顯然有點兒“空中樓閣”的感覺，很難體現其作用和價值，而且沒有充分體現出結構性、可遷移性和發展性的特征。另外，由于各個國家的課程體系也存在差異，因此大概念的提煉需要結合具體內容本土化。

要落實核心素養遵循 “核心素養→學科核心素養→課程標準→大概念→教學目標”的技術路線，就要用大概念實現內容標準和教學目標的聯結。國內學者對如何提取大概念有很多研究，邵朝友、崔允漷指出，大概念主要還是來自內容標準。確定內容標準后，可用四種常見的策略來確定大概念：（1）尋找內容標準中一再出現的名詞或重要的短語，將此作為大概念；（2）用追問的方式確定大概念；（3）用配對的方式產生大概念，即對內容標準中的概念進行配對；（4）用歸納的方式獲得大概念。對于這樣的概括，筆者認為前三個策略在操作中比較容易，但是有“碰運氣”的成分，過于機械。歸納的方法是理性的方法，通過歸納找到大概念能體現出其結構性和遷移性的特點，但是這樣的策略只指明了途徑，如何歸納才是關鍵問題。對此，筆者提出以下兩個提煉策略：

1.自上而下的提煉策略

所謂自上而下進行大概念的提煉，可以認為是一種主動的做法，即依據學習中的某個上位知識分解出不可或缺的組成部分，這樣層層遞進從而提煉出不同層面的大概念。

以“有理數的認識”為例，哪些能作為大概念呢？依據其價值和作用，筆者認為數軸是統領有理數的大概念，而自然數、十進制、分數和負數則是圍繞數軸這個大概念的下位的“小”概念。自然數的產生完全是基于現實生活表達的需要，使人們的表達經歷了由具體到抽象的過程，也可以說數學由此產生了。十進制概念的確立，使自然數有了向無窮大發展的依據，而分數則使數向無窮小方向發展，負數的出現則實現了有理數的封閉，至此完整的數軸形成（見圖2）。

圖2

2.自下而上的提煉策略

所謂自下而上就是依據學習的內容向上梳理的過程，這樣的梳理過程需要關注概念之間的包含關系以及關注數學的本質，從而梳理出明確的數學大概念。下面是“小數除法”單元大概念的提煉過程：

“小數除法”單元內容覆蓋了小數意義、計數單位、進率、小數性質等多個主題概念。在計算小數除法的過程中，無論移動小數點的位置，還是在小數的末尾添0繼續除，其實都是在保證上一級計數單位不夠除有余數時，可以在下一級計數單位繼續平均分。當除數是小數的時候，利用商不變的性質，將小數轉化為整數，其目的也是減少計數單位級別，使其平均分更直觀。為了達到突出主線（算理）、加強關聯和梳理結構的效果，不難發現“小數除法”單元的大概念是“計數單位的細化”。

本單元大概念的提煉聚焦于運算一致性，運算一致性的解釋需要借助算理。理解算理是數學課程標準中對運算教學的重要要求。對于小數除法而言，“除”的過程就是“單位”不斷細分的過程，這也是除法的本質。

三、大概念統攝下的教學實施

基于大概念開展教學是未來數學教學的方向，也是實現貫通培養的重要抓手，在實踐中往往強調單元教學的方式。因為，具有抽象特征的大概念的獲得需要一段時間的學習，單個課時的時間較短，學生在短時間內并不能獲得對大概念的理解。

在教學實踐過程中，基于大概念的教學應注重遵循以下原則：

（一）以培養核心素養為目標

基于大概念進行教學時，對于大概念的提煉要站在學科發展的視角，其中最有指導意義的就是數學核心素養體系。數學核心素養是貫穿整個數學課程的核心目標，因此圍繞數學核心素養提煉大概念可以保證學科教學的貫通發展。

（二）融于真實情境

以大概念統攝的教學需要將數學與真實的問題情境進行結合，將知識與學習融于真實情境中，使學生能將所學知識應用在真實的情境中，實現對知識的理解和遷移。

（三）突出自主建構

基于大概念統攝的教學目標是希望學生理解大概念，通過對特定現象的認識，發現一般性規律，并能舉一反三，遷移應用去認識和理解其他事物。因此在教學中，教師要提供充分的學習活動空間，并能適時進行整體反思，讓學生形成完整的知識結構。

大概念統攝下的教學是未來各個學科、各個學段共同研究的重點。對于數學學科而言，在大概念的內涵和外延都不是十分清晰的前提下，需要各學段的教師秉承共同的理念開展研究與實踐，才能實現大概念統攝教學的目標。