地下三角形空洞地質雷達成像機理研究

韓佳明，李冠兵，馬 鑫，鄭 通，黃 康，高溢邈

（西安科技大學建筑與土木工程學院，陜西西安 710054）

0 引 言

近年來，隨著我國城市化建設的加快和基礎建設的不斷發展，城市地下空洞不論是在數量、位置，還是在形狀上都發生了翻天覆地的變化［1］。城市地下空洞導致道路坍塌事故頻發，嚴重影響人民的生命財產安全和城市的工程建設［2］?；谝陨显?，在城市進行工程施工時，尤其是在地下空洞多而復雜的市區，提前進行空洞的探測和識別是非常必要的［3］。地質雷達作為一種對地下管線、空洞進行探測的重要方法，在探測過程中會常常出現掃描圖像解析不明確的問題，因此對地質雷達掃描圖像進行細化分析就顯得尤為重要。

地質雷達（Ground Penetrating Radar，GPR）是一種利用電磁脈沖能進入地面，在通過不同介質時，會發生相應的反射，通過分析接收到的反射波波形、振幅強度等信息，然后通過軟件對這些反射波進行分析，并將其轉化為平面圖或地圖投影，判斷出地下病害的位置、形狀、大小、深度等情況［4-5］。國內外學者對雷達掃描圖像進行了大量研究，蔡勤波等通過工程案例，分析總結了地質雷達在城市道路地下空洞探測中的應用［6］；劉恩軍等通過對地鐵隧道襯砌病害的圖像特征分析，總結了各種病害的一場特征［7］；張勁松等［8］通過對不同管線進行雷達探測，對比分析各種管線雷達圖像水平跨度變化特征；馮德山等［9］基于可分離小波理論，實現小波系數空間與雷達電磁場之間的轉換，分析雙曲線弧長等變形情況；張旭等［10］采用經過邊緣檢測后通過目標識別算法提取雙曲線特征，提高了雙曲線的完整；遲鳳霞等［11］采用有限元法研究邊界條件對探地雷達檢測效果的影響，結果表明波長與病害尺寸相近或更小時，檢測效果更為顯著；Sagnard 等［12］、Ahmadi 等［13］基于模板匹配技術和LS 雙曲線擬合的半自動算法來檢測，定位管線雙曲線算法，該算法具有良好的檢測效果；Li 等［14］在雙曲線模型中加入相對角度信息，有效地估算管線的半徑和埋深。

綜上所述，國內外學者分析地質雷達掃描圖像主要是基于管線特征和雙曲線模型進行研究，對掃描曲線并沒有進行細化分析，而實際探測過程中，掃描曲線并不都是由雙曲線組成，故迫切需要將掃描曲線進行階段劃分。本文通過分析地質雷達天線緊貼地面水平移動過程中電磁波回波接收情況，將掃描圖像細分為3 個階段，建立各階段水平距離與回波延時之間的關系，綜合分析了不同形狀的三角形空洞在不同埋深條件下電磁波的傳播規律與圖像的成像機理，最后，結合探測實例驗證了成像機理的準確性與實用性。

1 地下三角形空洞成像全過程研究

1.1 三角形空洞成像原理

地質雷達的發射天線向地下不斷發射固定中心頻率的電磁波信號，電磁信號遇到介電性質存在差異的界面發生反射，帶有電磁信息的反射波被接收天線接收，這樣的一次發射和接收過程為一道信號。然后地質雷達系統移至相鄰的下一位置發射和接收形成下一道信號。通過主機將接收到的信號放大，數字化后利用成像軟件就可以將無數條發射波信號轉化形成三角形空洞的探測曲線［15-17］。

在實際探測中，地質雷達發射的信號在二維平面中形成一個扇形面，在三維空間中形成一個圓錐體。如圖1所示，當地質雷達在位置1 時，由于雷達天線掃描區域是一個扇形面顯示；當地質雷達移動至位置2時，對三角形空洞的探測就屬于垂直探測，對B的探測形成的三角形空洞反射特征曲線就會在剖面圖的B位置顯示；同理，當地質雷達移動至位置3 時，對B點探測形成的三角形空洞反射特征曲線就會在剖面圖的C位置顯示［18-19］。

圖1 地質雷達三角形空洞成像原理

1.2 三角形空洞成像曲線階段劃分

當雷達緊貼地面形面與三角形空洞相交于B點，從而可以探測到B點的三角形空洞，假設天線收發同置，電磁波在地下均勻介質中傳播，傳播路徑較為簡單，經過三角形空洞反射回到接收天線。

如圖2所示，三角形空洞上部頂點B（C）在雷達探測線上的投影點為x0，t0為x0處對應的三角形空洞回波延時，其他雷達探測水平位置為xi，對應的三角形空洞回波延時為ti，三角形空洞底邊AD上對應的高BE的長為h，底邊AD長為a+b，其中以三角形空洞上部頂點豎直方向為界底邊左半部分AE長為a，底邊右半部分ED長為b，且a≠b，發射天線電磁波的波束角為2θ，假設介質是均勻的，因此波速v為常數。

圖2 地質雷達三角形空洞掃描曲線階段劃分

根據圖2所示，將地質雷達緊貼地面掃描三角形空洞形成的關于水平距離與回波延時之間關系的曲線劃分為以下3個階段：

1）第一階段從地質雷達在X1位置發射信號在二維平面中形成的最大扇形面與三角形空洞左部頂點剛接觸時的A點到地質雷達在X2位置發射信號的最大扇形面半徑與三角形空洞的上部頂點在同一條直線的B點；

2）第二階段從地質雷達在X2位置發射信號在二維平面中形成的最大扇形面半徑與三角形空洞的上部頂點在同一條直線的B點到地質雷達在X3位置發射信號的最大扇形面半徑與三角形空洞的上部頂點在同一條直線的C點；

3）第三階段從地質雷達在X3位置發射信號的最大扇形面半徑與三角形空洞的上部頂點在同一條直線的C點到地質雷達在X4位置發射信號的最大扇形面與三角形空洞右部頂點接觸時的D點。

1.3 三角形空洞成像曲線方程

1.3.1 三角形空洞成像第一階段曲線方程

三角形空洞掃描曲線的第一階段如圖3所示。

圖3 地質雷達三角形空洞第一階段曲線形成原理圖

根據三角形空洞中的直角三角形等比例關系，則有以下等式：

式中：x表示雷達運行至與三角形空洞上部頂點垂直位置時的水平距離；zi為雷達運行過程中，掃描線與三角形空洞接觸時的距離；z0為雷達和三角形空洞上部頂點垂直時，掃描線與三角形空洞接觸的距離。

由式（2）可知，第一階段是以水平距離x為自變量，回波延時t為因變量的一般直線方程。

1.3.2 三角形空洞成像第二階段曲線方程

由于地質雷達第二階段掃描曲線是以三角形空洞上部頂點豎直方向為對稱軸的軸對稱圖像，所以只需分析三角形空洞掃描曲線第二階段對稱軸左側即可。三角形空洞掃描曲線的第二階段對稱軸左側如圖4所示。

圖4 地質雷達三角形空洞第二階段左側曲線形成原理圖

根據直角三角形的邊角關系，則有以下等式：

由式（4）可知，第二階段是以水平距離x為自變量，回波延時t為因變量的雙曲線方程。其中雙曲線實半軸長l1=t0，虛半軸長

1.3.3 三角形空洞成像第三階段曲線方程

三角形空洞掃描曲線的第三階段如圖5所示。

圖5 地質雷達三角形空洞第三階段曲線形成原理圖

根據三角形空洞中的直角三角形等比例關系，則有以下等式：

由式（6）可知，第三階段是以水平距離x為自變量，回波延時t為因變量的一般直線方程。

1.4 三角形空洞曲線參數特征

以過三角形空洞上部頂點的豎直方向與雷達水平移動距離的交點為原點，以雷達天線水平移動距離為橫軸，且向右為正，以電磁波回波延時為縱軸，且向下為正，建立坐標系，如圖6所示。

圖6 地質雷達三角形空洞掃描曲線坐標系

將式（2）、式（4）和式（6）代入雷達掃描圖所處坐標系運算可知，一、三階段雷達掃描圖像為一條直線，第二階段雷達掃描圖像為雙曲線。

第一階段斜率與截距分別為

第三階段斜率與截距分別為

在雷達掃描圖所處坐標系中，根據式（7）可知，第一階段直線斜率k＜0，雷達在該階段掃描圖像為單調遞減直線；根據式（8）可知，第三階段斜率k＞0，雷達在該階段掃描圖像為單調遞增直線。

對式（4）中x進行求導，可得以下等式：

在雷達掃描圖所處坐標系中，在第二階段對稱軸左側時x為負值，則根據式（9）可知t＇x＜0；由于第二階段雷達掃描曲線中的t＇x無限趨于零，根據式（10）可知t″x＞0。所以第二階段雷達掃描圖像對稱軸左側為單調遞減的凹函數。根據對稱性可知，第二階段雷達掃描圖像對稱軸右側為單調遞增的凹函數。

2 三角形空洞雷達掃描曲線的影響分析

2.1 三角形空洞雷達掃描曲線影響參數分析

地質雷達掃描天線發射信號形成的扇形面與三角形空洞剛接觸時，如圖7所示。

圖7 掃描曲線最大水平距離示意圖

根據直角三角形△AMN和直角三角形△DOP，則有以下等式：

式中：xl為三角形空洞上部頂點豎直方向左側雷達掃描曲線水平最大距離；xr為三角形空洞上部頂點豎直方向右側雷達掃描曲線水平最大距離；xmax為雷達掃描曲線水平最大距離。把z0=v·代入上式，整理可得掃描曲線的水平距離最大范圍為

曲線第一階段水平距離，如圖8所示。

圖8 掃描曲線第一階段水平距離示意圖

根據平行四邊形對邊相等關系，則有以下等式：

式中xⅠ為雷達掃描曲線第一階段水平距離。

曲線第二階段對稱軸左側水平距離，如圖9所示。

圖9 掃描曲線第二階段左側水平距離示意圖

根據直角三角形△GOB，則有以下等式：

把z0=v·t0/2 代入式（16），整理可得掃描曲線的第二階段水平距離：

式中xⅡ為雷達掃描曲線第二階段對稱軸左側水平距離。

曲線第三階段水平距離，如圖10所示。

圖10 掃描曲線第三階段水平距離示意圖

根據平行四邊形對邊相等關系，則有以下等式：

式中xⅢ為雷達掃描曲線第三階段水平距離。

根據式（15）可知，雷達掃描曲線第一階段水平距離與三角形空洞的高和底邊左半部長有關；根據式（17）可知，第二階段水平距離與三角形空洞垂直探測時的回波延時t0有關；根據式（18）可知，第三階段水平距離與三角形空洞的高和底邊右半部長有關。

2.2 三角形空洞埋深對成像的影響分析

三角形空洞的深度位置信息具有重要的意義，三角形空洞隨著深度的增加或者減小，地質雷達探測成像特征必然發生一些形態上的變化，通過對成像形態的具體變化進一步分析，以研究地質雷達針對不同深度的三角形空洞雷達圖像的差異。

隨著地下三角形空洞埋深的增大，代表雷達電磁波傳到三角形空洞表面的時間增多，根據式（7）和式（8）可知，第一、三階段的直線斜率與埋深無關，截距隨埋深的增大而增大。

根據式（4）可知，雙曲線頂點坐標為（0，t0），雙曲線頂點曲率為K==1/v2t0，其中l1為雙曲線實半軸長，l2為虛半軸長，隨著三角形空洞埋深的增大，頂點坐標中t0值不斷變大，即曲線的頂點位置不斷變深，頂點曲率數值不斷減小，說明曲線頂點的尖銳程度不斷變小。由于曲線的曲率公式為K=，而第二階段雷達掃描曲線中t＇x都無限趨于零，所以曲線曲率近似通過來判斷。根據式（10）可知，隨著三角形空洞埋深的增大，||公式中分母隨之增大，分子隨之減小，雷達掃描曲線第二個階段的 |t″x|值都不斷減小，說明第二階段曲線的彎曲程度逐漸變小。

根據式（14）可知，掃描曲線的最大水平距離隨埋深的增大而增大。根據式（15）和式（18）可知，第一、三階段水平距離與埋深無關。根據式（17）可知，第二階段水平距離隨埋深的增大而增大。

2.3 三角形高和底邊對成像的影響分析

三角形空洞的高和底邊邊長同樣具有重要的意義，三角形空洞隨著高和底邊長的增大或者減小，地質雷達探測成像特征必然發生一些形態上的變化，通過對成像形態的具體變化進一步分析，以研究地質雷達針對不同高和底邊三角形空洞雷達圖像的差異。

隨著地下三角形空洞高和底邊的增大，代表以上各公式中h、a或b的值變大。根據式（7）可知，第一階段的直線的斜率隨高和以三角形空洞上部頂點豎直方向為界的底邊左半部分的長度增大而減小，截距增大。根據式（8）可知，第三階段的直線的斜率和截距隨高和底邊右半部分的長度增大而增大。

隨著三角形空洞高和底邊長的增大，根據式（4）可知，頂點坐標中t0值保持不變，即曲線的頂點位置不變，頂點曲率數值不變，說明曲線頂點的尖銳程度不變。根據式（9）和式（10）可知，||與三角形空洞的高和底邊長無關，說明曲線彎曲程度不變。綜上所述，雷達掃描圖的第二階段不隨三角形空洞高和底邊長的增大而變化。

根據式（14）可知，曲線的最大水平距離隨高或底邊長的增大而增大；根據式（15）可知，第一階段的水平距離都隨高或以三角形空洞上部頂點豎直方向為界底邊左半部分的長度增大而增大；根據式（17）可知，第二階段的水平距離與高和底邊長無關；根據式（18）可知，第三階段的水平距離都隨高或底邊右半部分的長度增大而增大。

3 特殊三角形空洞成像規律

3.1 等腰三角形空洞雷達掃描曲線分析

當地下三角形空洞為等腰三角形時，則三角形上部頂點豎直方向為界的左部底邊長a等于右部底邊長b。此時，掃描曲線是以三角形空洞上部頂點豎直方向為對稱軸的軸對稱圖像，且第三階段與第一階段的曲線對稱分布，第二階段曲線不變。等腰三角形空洞掃描曲線階段劃分如圖11所示。

圖11 地質雷達等腰三角形空洞掃描曲線階段劃分

根據式（2），則可得等腰三角形第一、三階段的曲線方程：

在雷達掃描圖所處坐標系中，斜率與截距分別為

根據式（14）可得，等腰三角形空洞掃描曲線的水平距離最大范圍為

根據式（14）可得，等腰三角形空洞掃描曲線第一、三階段的水平距離均為

根據式（18）、（19）、（20）和（21）可知，對于等腰三角形空洞，在雷達掃描圖所處坐標系中，雷達的第一、三階段掃描圖像的斜率絕對值相同、截距相同。全掃描曲線為以三角形空洞上部頂點豎直方向為對稱軸的軸對稱圖像，曲線的最大水平距離隨底邊長的增大而增大。

3.2 直角三角形空洞雷達掃描曲線分析

當地下三角形空洞為直角三角形時，即取三角形上部頂點豎直方向為界的底邊的左半部分邊長a等于0，右半部分邊長不變。此時，雷達的第一階段掃描曲線發生變化，第二、三階段的掃描曲線不變，直角三角形空洞掃描曲線階段劃分如圖12所示。

圖12 地質雷達直角三角形空洞掃描曲線階段劃分

根據式（1），則可得直角三角形第一階段的曲線方程：

在雷達掃描圖所處坐標系中，其斜率與截距分別為

根據式（25）可知，直角三角形空洞第一階段掃描曲線為一般直線方程。

根據式（14）可得，直角三角形空洞掃描曲線的水平距離最大范圍為

根據式（14）可得，等腰三角形空洞掃描曲線第一階段的水平距離為

根據式（24）、（25）、（26）和（27）可知，對于直角三角形空洞，在雷達掃描圖所處坐標系中，雷達的第一階段掃描圖像為單調遞減直線，且直線的斜率和第一階段水平距離均與埋深無關。

4 探測實例

地質雷達探測工程位于西安市區某工地區域，為避免地下空洞對周圍環境和施工安全造成不良影響，根據任務要求及工程特點，本次地下空洞現場實際探測工作采用GSSI 美國勞雷地質雷達，使用了其3207A 型探測天線，天線的頻率采用100 MHz。

以下是測區范圍內經過GSSI美國勞雷地質雷達在現場探測的不同三角形空洞的雷達掃描圖，結合上文提到的掃描圖像分析原理與方法，對不同三角形空洞進行對比分析。

在同一測區下，對不同埋深下的相同三角形空洞進行探測分析，雷達實測掃描圖如圖13、圖14、圖15所示，雷達理論掃描圖如圖16所示。

圖13 1號三角形空洞地質雷達實測掃描圖

圖14 2號三角形空洞地質雷達實測掃描圖

圖15 3號三角形空洞地質雷達實測掃描圖

圖16 三角形空洞地質雷達理論掃描圖

圖13、圖14和圖15分別為測區中埋深依次增大的3 個相同三角形空洞的實測掃描圖像，圖16為理論掃描圖像。由于3 個三角形空洞處于相同的均勻黃土介質中，波速v相同，而1號三角形空洞掃描曲線頂點處于5 ns 處，2 號三角形空洞掃描曲線頂點處于16 ns 處，3 號三角形空洞掃描曲線頂點處于28 ns 處，所以3 個三角形空洞的埋深逐漸增大。對比分析可知，相同大小的三角形空洞隨著埋深增大，第二階段掃描曲線彎曲程度逐漸變小，曲線圖像趨于緩和，水平方向距離逐漸增大，而一、三階段曲線無明顯變化。實際情況吻合理論及檢測結果。

在同一測區下，對同一埋深下、不同高和底邊長的三角形空洞進行探測分析，雷達實測掃描圖如圖17、圖18、圖19所示，雷達理論掃描圖如圖20所示。

圖17 1號三角形空洞地質雷達實測掃描圖

圖18 2號三角形空洞地質雷達實測掃描圖

圖19 3號三角形空洞地質雷達實測掃描圖

圖20 三角形空洞地質雷達理論掃描圖

圖17、圖18和圖19分別為測區中高和底邊依次增大的3 個三角形空洞的實測掃描圖像，圖20為理論掃描圖像。由于三角形空洞處于相同的黃土介質中，而且掃描曲線頂點都處于16 ns處，所以3 個三角形空洞的埋深相同。對比分析可知，相同埋深的三角形空洞隨著高和底邊的增大，三角形空洞掃描曲線第一階段斜率增大，第三階段斜率減小，且一、三階段水平距離增大。第二階段曲線無變化。實際情況基本吻合理論及檢測結果。

5 結束語

本文基于地質雷達波的傳播規律研究地下三角形空洞的成像機理。建立以水平移動方向為橫軸、回波延時為縱軸的坐標系，將雷達掃描圖像劃分為3 個階段，對不同埋深、不同形狀的三角形空洞成像規律進行了分析與歸納。具體結論如下：

1）在一般三角形空洞中，雷達掃描圖像在第一階段為單調遞減的直線，第二階段為關于三角形空洞上部頂點豎直方向對稱的雙曲線，第三階段為單調遞增的直線。

2）在一般三角形空洞中，第一階段的直線斜率隨高和底邊左部長的增大而減小，截距隨高和底邊左部長的增大而增大；第二階段的曲線與三角形空洞的高和底邊無關；第三階段的直線斜率和截距均隨高和底邊左部長或右部長的增大而增大。一、三階段的斜率與埋深無關，截距隨埋深的增大而增大；第二階段曲線的曲率隨埋深的增大而減小。

3）在一般三角形空洞中，掃描曲線的最大水平距離隨三角形空洞的高和底邊長以及埋深的增大而增大。其中，第一、三階段水平距離隨高和底邊左部長或右部長的增大而增大，與埋深無關；第二階段水平距離隨埋深的增大而增大，與高和底邊長無關。

4）在等腰三角形空洞中，雷達掃描圖像為對稱圖形，且成像規律與一般三角形空洞結論一致。

在直角三角形空洞中，雷達掃描圖像的第一階段仍為單調遞減的直線，但此時直線斜率與高和底邊以及埋深無關，二、三階段成像規律與一般三角形空洞一致。