數形結合在高中數學解題中的應用

曹雪凝 馬萬

摘要：數形結合把相對獨立的“數”與“形”聯系起來，這種思想貫穿于整個數學體系.本文通過研究例題，闡述數形結合在高中數學解題的有效應用.

關鍵詞：數形結合；高中數學；解題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）15-0029-03

課程內容不僅包括數學的結果，也包括數學結果形成的過程和蘊涵的數學思想方法[1].數形結合就是其中的一個數學思想方法，數形結合即“數”與“形”是密不可分的，應把二者聯系起來解決數學問題.解決數學問題是學習數學的重中之重，而數形結合在一定程度上可以快速、簡便地解決數學問題.下面通過例題具體分析在解題過程中是否需要使用數形結合方法，以及數形結合方法在解題中的重要性.

1 數形結合在解答“集合”試題中的應用

“集合”是人教版數學教材第一章的知識，它是學生升入高中之后首先需要學習的數學知識.所以，集合是整個高中數學體系的基礎.在學習“集合”的過程中，學生會接觸到抽象程度較高的概念和運算，這對剛升入高一的學生而言是一個巨大的挑戰，這就要求在學習新知和做題時要用直觀的方式去啟迪思維，將抽象的知識轉化為具體的知識.

下面從一道具體的例題來分析數形結合方法在解決“集合”問題中的重要性.

例1某學校高一的一個班級中有40名學生自愿報名繪畫、書法、圍棋三個選修課，報名情況如下：

①40名學生每人至少選擇一個選修課；

②在沒有選擇繪畫選修課的學生中，選擇書法選修課的人數是圍棋選修課的2倍；

③僅選擇繪畫選修課的人數比剩余的學生選擇繪畫選修課的多一人；

④僅選擇一個選修課的學生中有一半沒有選擇繪畫選修課；

問：（1）僅選擇書法選修課的有多少人？（2）有多少人選擇了繪畫選修課？

分析本題的條件交錯復雜，若用一般的方法難以快速、準確理清思路，可以把選擇繪畫、書法、圍棋選修課的學生分別看成一個集合，并把集合和數據用維恩圖表示就可以快速找到數據與數據之間的關系.

解設集合A={選擇繪畫選修課的人}，集合B={選擇書法選修課的人}，集合C={選擇圍棋選修課的人}，其他部分如圖1所示

a+b+c+d+e+f+g=40b+f=2c+fa-1=d+e+ga=b+c

解得a=11，b=10，c=1，d+e+g=10，a+d+e+f=21

所以，僅選擇書法選修課的有10人，有21人選擇了繪畫選修課.

從例1的解答過程可以看出解決集合問題常常會用到維恩圖，即常用平面內的一條封閉曲線的內部表示一個集合，用這種圖形可以形象地表示出集合之間的關系[2].也就是說把題目中涉及到的數據都標注在維恩圖上，就可以清晰地看到數據和數據之間的關系，簡化題目要求，理清解題思路.若題目給出的條件是幾個區間，但是區間是無法用維恩圖來表示的，隨即可以嘗試用數軸表示區間，也就是說借助數軸的大小關系來研究幾個集合間的關系.

2 數形結合在函數與方程中的應用

有別于集合的知識，函數是高中數學的核心知識.教材把函數章節安排在集合章節的后面，希望學習研究集合的方法可以為學習函數做鋪墊，并且教材在內容設計上更加強調函數和圖象相結合的方法.初中對函數的定義是“變化說”，高中則為“對應說”.如果不借助圖形，“變化”還相對好理解一點，而“對應”則是難以解釋清楚，更不用說浩繁的函數變式題了.

下面從一道具體的例題來分析數形結合方法在解決函數與方程問題中的重要性.

例2求方程lgx-sinx=0的解的個數.

分析從代數角度直接求解方程，尋求解的個數，難度較大，不妨考慮先把方程作適當變形，再運用數形結合方法，即借助圖象降低思維難度，尋求解答過程.解因為lgx-sinx=0

所以變形可得lgx=sinx，即可看成兩個函數y=lgx與y=sinx相交

所以y=lgx與y=sinx的交點的個數就是原方程解的個數

因為-1≤sinx≤1x∈R，y=lgx在0，+∞上單調遞增，lg10=1，lgx<1x<10

由圖2所示，兩個函數y=lgx與y=sinx有三個交點，即原方程有三個解.

從例2的解答過程可以看出，當題目條件只給出一個方程、題目的問題與求解方程有關時，可以把方程做適當變形——借助等號把等號兩邊的函數看成兩條曲線，兩邊的函數在代數上相等與兩條曲線在圖象上相交等價，即借助圖象表示兩條曲線的相交關系，再接著考慮剩余的解題思路.不管題目中出現的是“=”“>”“<”三個符號中的哪一個，只要能把方程做適當變形后看成兩條曲線，就都可以用數形結合的方法尋找兩條曲線的交點.其中，“數”是方程，“形”是函數曲線，數形結合解決此類函數與方程問題.

人教版教材著重強調一元二次方程和函數圖象相對應的知識：如果題目中有方程可以把方程做恒等變形，變形后是兩個函數有相等關系或者不等關系，然后把兩個函數看成曲線的相交問題.也就是說把方程的根和函數圖象與x軸交點的橫坐標相對應，即當題目中出現“方程實根”，或“函數零點”，或“函數圖象和x軸交點”時，三者雖然表示形式不一致，但是求解方法是一致的，都可以借助圖象進行解題.3 解題方法對比

經過前面的分析，已經總結出數形結合的方法在解決集合、方程、立體幾何、圓錐曲線問題上的重要性.但是上述例題都是只使用數形結合的方法進行解題，并沒有與不使用數形結合的方法形成明確對比.

下面從一道具體的例題來對比分析數形結合方法的優劣之處.

例3求證a2+b2+c2+d2≥a-c2+b-d2（其中a與c、b與d不同時相等）

方法一（數形結合法）

證明：設O0，0，Aa，b，Bc，d

所以OA=a2+b2，OB=c2+d2，AB=a-c2-b-d2

當O，A，B三點不共線時，OA+OB>AB

當O，A，B三點共線，且A與B不在O同側或與O重合時，有OA+OB=AB

當O，A，B三點共線，且A與B在O同側時，OA+OB>AB

綜上所述，a2+b2+c2+d2≥a-c2+b-d2

方法二（代數法）

證明：

設m=a，b，n=c，d

所以m-n=a-c，b-d

因為向量模的性質有m+n≥m-n，且m=a2+b2，

所以a2+b2+c2+d2≥a-c2+b-d2.

根據例3的解答過程可以看出，解題時可以使用數形結合的方法，也可以不使用數形結合的方法.若不使用數形結合方法會加大思維難度，并且一但找不到題目的切入點可能會使學生束手無策.而且在解答的過程中有極大可能會涉及其他方面的知識，這道題是借助向量解題，其他的題目或許要借助別的知識.若使用數形結合方法可以從示意圖上找到解答思路，大大降低了解題的難度.但是做出的示意圖只是滿足已知條件的一種特殊情況，為了把情況考慮全面就需要在解答過程中分類討論.

數形結合思想就是使用具體的圖形來解決抽象的代數問題[3]，并在解決集合、函數與方程、圓錐曲線、立體幾何等方面的問題上有著廣泛應用，與此同時可以培養學生使用數形結合方法解決問題的能力.高中課本上的大部分知識都是非常抽象的，如果不借助圖象進行研究，則需要大量的時間梳理題目的已知條件.即使在耗時耗力的前提條件下理清頭緒，也有可能無法向他人解釋清楚，這說明雖然能做出題目，但是并沒有達到真正的理解. 如果采用數形結合的方法，借助圖形簡化抽象的知識，就可以降低題目的抽象程度、易于理解.

教師向學生講題目時可以給出兩種解題方法，即一種為使用數形結合的解法，另一種為不使用數形結合的解法，給學生一種直觀的對比，讓學生自己比較兩種解法的優缺點，自行選擇.這樣做可以使學生在獨立解題的時候能想到使用數形結合方法，即使找不到完整的解題思路，也可以使學生在思維上有所進步.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中課程標準實驗教科書[M].北京：人民教育出版社，2004.

［3］ 張同君.中學數學解題研究[M].長春：東北師范大學出版社，2002：228.

［責任編輯：李璟］