二次函數應用一題一課

姚胡冰

在數學教學中，引導學生靈活運用數形結合，可以達到做一題，會一類，通一片的效果，使學生對知識的運用產生遷移，進而培養學生解決問題的能力。同時合理的變式教學，可以通過問題驅動，把教與學引向深處，訓練思維，最終實現深度學習。

1 背景介紹

1.1 教材分析

初中代數的內容包括“數、代數式、方程、不等式、函數”五大板塊，其中函數圖像是連接方程和不等式的重要紐帶。本節二次函數應用教學，要努力培養學生數形結合的數學思想和數學建模的思想，幫助學生構建一元二次方程，二次函數之間關系圖。

1.2 教學目標

經歷將實際問題抽象為函數關系的過程，體會“問題-數學-問題”的建模思想。探究兩個函數圖像交點的個數和聯立后方程解的個數的關系，并會用圖像解釋，培養學生的逆向思維。

2 教學實施

2.1 問題呈現

浙教版九年級上冊1.4《二次函數的應用》第三課時課本作業題4：

某農場擬建兩間矩形種牛飼養室，飼養室的一面靠現有墻（墻長a＞50m），中間用一道圍墻隔開（如圖），已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50m，設兩間飼養室合計長x（m），總占地面積為y（m?）。

（1）求y關于x的函數表達式和自變量的取值范圍。

（2）畫出函數的圖像。

（3）利用函數圖像判斷：若要使兩間飼養室占地總面積達到200m?，則各道墻的長度為多少？占地總面積有可能達到210m?嗎？

2.2 過程設計

（1）變化自變量，體會設元選擇的重要性

師：請大家仔細審題，找出等量關系。

生1：矩形的面積＝長×寬

師：長和寬知道嗎？如何表示？

生2：根據矩形的面積＝長×寬，長為x 由題意：

寬為

則 y＝·x，

根據墻對飼養室的長的限制，容易得出0＜x＜50

師：若設飼養室寬為x（m）呢？試求y關于x的函數表達式，自變量的取值范圍。

生：若寬為x ，由題意：長為50-3x，

則y=（50-3x）x

我發現設寬為x（m），更容易列出函數關系式

師：很棒，那你能幫老師求出x的范圍嗎？

生：

師：對比兩種求設元法求x的范圍時，你更喜歡哪一種？

生：第一種，因為第二種要求解一元一次不等式組的解，容易計算錯誤，二是限定條件容易漏掉。

設計意圖

通過這一問題，一是讓基礎差的學生學會用一個未知量表示另一個未知量，并列出函數關系式，培養他們學習數學的信心；二是讓基礎好的學生能夠通過對比發現不同設元法對題目求解的影響，培養他們設元時選擇最優解。

（2）動手畫草圖，體會函數圖像在實際應用題中的異同

師：如何能快速地畫出? ? ? ? ? ?函數圖像

生1：利用頂點坐標、函數與坐標軸的交點做出草圖，

生2：配方得：

做出草圖

師：大家觀察這個函數圖像是否恰當地刻畫了本題中x，y的變化趨勢

生：這里是實際問題，所以自變量有范圍，不能是全體實數

師：點評，大家平時做題目時，要養成自變量優先考慮的良好習慣，否則很容易因小失大，全題皆輸。為了提高解題的正確率，結合自變量的限定條件并描出對解題有用的函數圖像。

設計意圖

強調自變量的限定對函數圖像的影響，培養良好的做題習慣。

（3）利用圖像解方程，體會數形結合的優越性

師：若要使兩間飼養室占地總面積達到200m?

即y=200，請問它的的函數圖像是什么，會的同學在剛才的坐標系中畫出它的圖像。

生：無論x取什么值，y的值都是200，所以它的圖像是一條過點（0，200）且平行于x軸的直線。

師：由圖像，大家觀察飼養室的面積是否可以達到200？

生：有兩個交點，所以x有兩個值使得y=200

師：求此時x的值并思考兩個函數圖像的交點和聯立求方程的解之間的關系

生1：我發現函數圖像交點的個數就是聯立后方程的解的個數。

這兩個函數圖像有兩個交點，所以對應聯立后的方程有兩個不相等的解。

師：如果兩個函數圖像有一個交點，聯立后方程的解的情況下誰可以說一下？

生1：因為兩個函數圖像只有一個交點，所以聯立后對應方程只有一個解。

生2：不對，對應的方程是一元二次方程，所以應該是優良的相等的解。

師：如果兩個函數圖像沒有交點，聯立后方程的解的情況呢？

全體：聯立后對應方程無解

師：小結兩個函數圖像交點的個數和聯立后方程解的情況的關系。

當y=200時：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解得x=20或x=30

答：當飼養室的墻長為20時，墻寬為10；當飼養室的墻長為30時，墻寬為? ? ；

師：請思考這里x=20或x=30和函數交點之間有怎么樣的關系？

生：x=20或x=30是兩個函數圖像交點的橫坐標的值。

師：小結：兩個函數圖像交點的個數可以反映聯立后對應方程解的情況；

反之，方程的解是兩個函數圖像交點的橫坐標的值。

師：請大家獨立完成y=210的題目解答（課件展示）

設計意圖

體會利用函數交點的個數判斷對應方程解的個數并理解而這之間的關系，靈活運用數形結合，為利用函數圖像解不等式打好基礎。

（4）利用變式教學，強化應用

師：變式一（課件展示）

變式一：若飼養室的一面靠現有墻（墻長a為24米），兩間飼養室占地總面積可以達到200m?嗎？若可以，求出各道墻的長度。

生：（解答投影）

設計意圖

通過這一問題，一是讓學生體會到實際應用題做完后檢驗的重要性。x=30在這一問中是要舍去的，因為飼養室的長30m大于現有墻的長24m，此時引導學生獨立思考，飼養室新的建造方案，起到承上啟下的作用。

（5）開啟思維大門，構造飼養室新搭法

師：變式二（課件展示）

變式二：若農場留有有一塊足夠大的空地，墻長a為14米，若要利用可建圍墻總長為50m的建筑材料建造一個兩間長合為30m的飼養室，有可能建造嗎？若可能，請先畫出

示意圖。

生1：方案中飼養室的長AD大于墻長a，用建筑材料在現有圍墻邊搭建一部分如下圖，

生2：

設計意圖

引導學生獨立思考，培養學生的逆向思維的良好習慣。

師：我們以第一個同學的示意圖為例，請大家幫農場主計算一下，具體應該怎么搭建？

生：1：

生2：老師若從生活實際出發，應該在現有墻的一邊補上16m的墻，根據有實際操作性，所以我覺得第二個同學的設計方案更貼合實際。

師：作為農場主，他一定想利用現有的材料建造面積最大的飼養室，以此賺取更多的利潤。既然可以通過彌補現有墻的方法建造飼養室，那請大家幫他算一下以下兩種建造方法中哪種方法建造飼養室的面積更大？

（6）利用變式教學，推陳出新

師：變式三（課件展示）

變式三：若飼養室的一面靠現有墻（墻長a為14米），中間用一道圍墻隔開，若要利用可建圍墻總長為50m的建筑材料按圖甲，乙的方案，能圍成的矩形飼養室的最大面積各是多少？

生1：設飼養室的長為x米

方案甲：

根據拋物線的函數圖像：在時，S的值隨x的增大而增大，

當

生2：方案乙：

根據拋物線的函數圖像：∵在14≤x＜16時，S的值隨x的增大而增大，在16≤x＜32時，S的值隨x的增大而減小，

當

設計意圖

通過這一環節，一是讓學生熟練掌握給定范圍的二次函數求最值。假設學生沒有考慮范圍的話，會得出第一種方法建造的飼養室的面積最大，再一次強調了自變量優先考慮的重要性。二是引導學生學會數形結合。三是通過計算發現，當墻長為14米時，圖乙這樣建造的飼養室的面積大于圖甲建造的飼養室的面積，讓學生感受數學和生活的密切聯系。

（7）利用變式教學，促進高階數學思維的發展

變式四：若飼養室的一面靠現有墻（墻長米），中間用一道圍墻隔開，按圖甲，乙的方案，哪種方案能圍成面積最大的矩形飼養室？請說明理由。

設飼養室的長為x米

生1：方案甲：

∵在0＜x＜a時，S的值隨x的增大而增大，

∴當x＝a時，S的值最大，；

生2：

為了比較哪一種方案的面積最大，所以運用作差法

答：方案乙圍成面積最大的矩形飼養室的面積最大。

設計意圖

這里現有的墻長a由定值14變為米的范圍，引入了參數a，將求給定范圍的二次函數求最值問題升華為求給定范圍的含參變量的二次函數求最值問題，通過這一環節，促進學生高階數學思維發展。

（8）歸納小結

3 教學思考

讓學生經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程。打破學生固有的思維模式拋出問題引起質疑，培養學生的逆向思維能力。隨著改變已知條件的情況下，飼養室建造問題的層層深入，學生在不知不覺中學到了新知識，使低層次的經驗向高層次的數學思維升華，同時也讓學生逐步學會用數學的眼光觀察，思考現實世界。

（作者單位：東陽市橫店鎮第二初級中學）