“以終為始，評價先行”的高中數學課堂教學改革實踐研究

李俊 張祖蘭

【摘要】本文論述構建“以終為始，評價先行”評價模式的背景，分析“以終為始，評價先行”的教學設計思路，并以圓的標準方程教學為例具體闡述“以終為始，評價先行”的高中數學課堂教學過程。

【關鍵詞】以終為始 評價先行 圓的標準方程 高中數學

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）11-0049-06

課堂評價能讓教師及時掌握學生的學習情況，是教師對后續教學做出調整的依據；課堂評價能幫助學生及時發現學習中存在的問題，為改進學習方法提供方向；課堂評價作為促進教與學的要素，應貫穿整個教學過程。基于這樣的認識，同時結合新高考改革的具體要求，筆者近年來開展了“以終為始，評價先行”高中數學課堂教學改革的實踐研究，取得了一定的成功經驗。

一、構建“以終為始，評價先行”評價模式的背景

過去，教師主要是依據教材和經驗設計教學，一般采用“教學目標→教學組織→教學評價”的教學模式，將落實課程標準既定的教學內容作為教學目標，評價往往是教學結束后的終結性檢測，有些教師甚至將課后的測驗或考試視為評價，致使評、教、學相割裂。這種做法存在兩個弊端：一是在教學活動開展前，教師并不清楚教學目標達成的標志是什么，也不清楚學生已有的學習經驗與教學目標之間的距離，無法充分發揮評價的診斷作用；二是在教學過程中，教師無從判斷教學效果和學生學習的情況，課堂成了教師傳授知識和完成教學任務的工具，忽視了學生的學習主體地位，違背了教學是為學生服務的本質。這樣的教學往往因為缺乏目標導向、評價反饋、教學改進而出現課堂教學低效甚至無效的情況。因此，必須改革過去教、學、評相分離的教學模式。

美國課程研究專家格蘭特·威金斯（Grant Wiggins），杰伊·麥克泰格（Jay Mctighe）在《追求理解的教學設計》（Understanding by Design）中提出了針對性的設計方法——逆向設計。這種設計是從教學結果逆向思考教學設計，具體流程如下：第一階段確定預期結果；第二階段確定預期結果達成的依據；第三階段設計學習體驗和教學活動。這種教學設計的特征是，教師在開展教學活動前，先要思考通過本單元學習要達成怎樣的目標或效果，哪些證據能夠表明學習目標已達成，由此把評價設計放在教學活動設計之前，將評價嵌入整個教學過程，使教學目標更加明確。教師通過評價活動診斷學生已有的學習經驗與教學目標之間的距離，再安排相應的教學活動，使教學成為發現證據、接近教學目標的過程，教學的指向性更明確。這樣設計教學，教師可以根據所發現的證據，判斷學生對知識的實際掌握情況，進而檢驗課堂教學效果，并根據實際情況做出調整；學生也能及時發現、反思學習中的問題，為下一步學習做出改進。在這一教學模式中，評價不再是終結性檢測，而是經歷“教學→評價→改進→教學”反復循環的過程性評價。

這種“以終為始，評價先行”的逆向教學設計，能讓一線教師基于課程標準，更明確學生“要到哪里去”、通過評價診斷學生目前“在哪里”、設計怎樣的教學活動才能讓學生“到那里”、通過評價證據判斷學生是否已經“到那里”，并在教學過程中不斷對預設與目標進行回望，促使教學活動有效開展。“以終為始，評價先行”的教學策略符合教育評價改革的時代要求和評價導向，有利于教師落實立德樹人的課程目標。

二、“以終為始，評價先行”教學設計的思路

如何在教學過程中落實“以終為始，評價先行”？如何基于教學評價精準設計教學？如何在教學中進行全面系統的教學評估？這是廣大一線教師關心的話題，也是教學設計的關鍵點。為此，筆者將在下文闡述“以終為始，評價先行”教學設計的思路。

教師的教、學生的學及對教與學的評價，都應基于一個明確的教學目標，三者之間具有緊密的關聯性。教師在課前應根據預設目標設計教學評價框架，然后基于“教—學—評”一致性理念設計教學，并圍繞目標開展精準教學，科學地進行教學評價，引導學生高效學習，這是“以終為始，評價先行”教學設計的基本思路。具體操作如下（如圖1所示）：首先預設課前評價，實施定位性評價，制訂教學目標，在此基礎上根據課程標準、教學內容和學情分析，確定教、學、評的基本思路，預設教學評價方案，利用評價引導教學、監測教學；其次在教學中實施過程性評價，通過課堂導入進行診斷性評價，明確學生的知識儲備情況，及時對學生的課堂表現進行評價，然后積極地利用評價結果調整教學環節，反饋教學成果與問題，并持續跟蹤；最后通過后測結果、評價反思和評價量表等多種形式，對“教—學—評”一致性達成度進行診斷。

三、“以終為始，評價先行”的教學實施過程

下面，筆者以圓的標準方程教學為例，探索并分析“以終為始，評價先行”的教學實施策略。

（一）制訂課程教學目標

圓的標準方程是高中數學選擇性必修第一冊第二單元的教學內容，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱數學課程標準）中對本課教學目標的設定為：學生能根據圓的定義確定圓的幾何要素，利用坐標法探索并推導出圓的標準方程；能根據圓的方程，研究圓的相關幾何性質；能借助曲線方程解決數學問題及生活問題。

通過課前學情調研可知，學生在初中階段已經學習過圓的概念與基本性質，知道了直線與圓有三種位置關系。在高中階段，學生需要運用數形結合思想，從解析幾何的角度繼續研究圓的方程及直線與圓的位置關系等問題。由此可見，兩個階段的研究方法發生了明顯改變，已從純粹的幾何角度變成了運用解析幾何思想進行探究。解析幾何就是將曲線圖形放入平面直角坐標系，運用有序數對刻畫曲線中的點，建立曲線方程，然后運用代數符號將曲線圖形中的空間元素及元素間的關系表達出來，運用曲線方程定量研究曲線的性質并對曲線進行運算。然而，解析幾何研究方法對高中生而言比較抽象，很少學生會用這種方法研究問題。根據數學學科核心素養發展水平和學業質量水平及上述分析，筆者設計了如下三個教學目標：①能夠類比直線方程的建立過程推導出圓的標準方程，能夠將圓的定義轉化成直角坐標系中圓上點的坐標應滿足的關系式，并化簡出圓的標準方程，培養學生的邏輯推理、數學建模等素養；②能夠靈活分析題意，能靈活地選用直接法、待定系數法、幾何法等方法求出圓的標準方程，發展學生的數學運算素養；③能利用圓的方程研究圓的幾何性質，提升學生用代數的方法解決幾何問題的能力，即學生能利用圓的標準方程研究點與圓的位置關系，并能借助圓的方程解決實際問題，發展學生的數學建模素養。

（二）確定教學與評價思路

通過對教材、課標及教學診斷進行分析，筆者確定了課時目標及評價依據，接著從目標出發，創設合適的學習情境，提出課時學習核心問題，發布課時關鍵任務，并通過一系列學習活動幫助學生解決問題，從而在實施中跟蹤檢測課時評價目標，并將檢測效果作用于教學環節，實現以終為始的良性教學循環。同時，關于本課的教學評價，筆者按照“導入→授課→總結”三大階段進行預設，在預設中根據學生的不同學習方式布置學習任務，并預設教師教學評價的時機，完善教師教學評價方法預設，努力做到評價先行。

（三）教學具體實施過程

1.創設情境，啟迪思維

數學課程標準提出：高中數學教學要以發展學生數學學科核心素養為導向，結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養，設計切合學生實際的情境和問題，啟發學生思考；圍繞數學學科重要、本質的概念、原理和解決問題的思維方式創設真實的教學情境，引導學生把握學習內容的本質。本課通過創設現實情境，激活學生的生活經驗與社會見識，使其在生活化素材的引導下主動學習，從而對所學內容產生濃厚的興趣，并嘗試從情境中發現并抽象出數學問題，進而提高解決實際問題的能力。

首先，筆者創設了如下情境：圓是中國人所喜愛的圖形，因為它象征著圓融智慧、包容和諧，象征著生活圓滿；圓與我們的生活息息相關，有一種中式美學叫“中國圓”，如蘇州園林的月洞門，“一步一景，移步換景”，巧思妙境，令人陶醉；北京天壇的皇穹宇也融入了眾多圓形因素，因而顯得宏偉大氣，非常壯觀；中國第一“圓樓”客家土樓花萼樓美得像一朵花。從這些建筑中我們都能發現圓的美。在日常生活中，圓的應用也十分廣泛，如每條通車隧道的隧道口，都會有一個限高的標志，這個限高的數據是如何得到的？我們如何從數學的角度給出合理的解釋？

其次，筆者設計了如下學習任務：如圖2，已知隧道的截面是半徑為5米的半圓，車輛只能在道路中間線的右側行駛。一輛寬為3米、高為4.3米的貨車能不能駛入這條隧道？根據學習任務，筆者提出如下教學問題：這一現實生活問題可以抽象出一個怎樣的數學問題？我們判斷貨車能否通過隧道的依據是什么？在這些任務的驅動下，學生需要完成如下兩個子任務：①從實際生活情境中抽象出數學模型；②用數學語言描述貨車通過隧道的依據。

學生為了解決上述問題進行小組合作探究，在已有知識和學習經驗的基礎上，歸納得到三種可能，并抽象出如下數學模型（如圖3所示），提出解決方案：構造直角三角形，利用勾股定理求出AC長度，發現AC長度比半徑大，因此貨車無法通過隧道。

在學生解決問題的過程中，筆者觀察全體學生能否順利完成數學建模任務，能否用已學知識解決情境中的問題，并對學生進行即時評價。對完成學習任務的學生即時給予肯定、表揚，對暫時沒有完成任務的學生給予啟發引導，幫助其完成任務，幫助學生樹立學習信心、保持學習動力，發揮即時評價的導學功能。

本課中，筆者設計的第一個問題是“為什么要學習圓的方程？”，目的是讓學生了解學習圓的方程的必要性，幫助學生培養大單元教學理念，圍繞解析幾何的核心“幾何問題代數化”，讓學生經歷解析幾何知識的發展、思想與方法的深化過程，激發學生深度參與學習活動，促進學生數學核心素養的發展。當學生找不到其他方法解決這一實際問題時，筆者通過啟發性問題引導學生思考：在前面直線方程的學習中，我們用方程表示直線，通過方程定量地研究直線的性質，如直線的位置關系、交點坐標以及距離等問題……類似的，圓是否也可以用方程來表示？貨車無法駛入隧道可以轉化成什么數學問題？

學生根據之前積累的基本活動經驗，運用類比的思想，感知可以通過圓的方程定量地研究點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系等問題，從而意識到學習圓的方程的必要性，自然過渡到本課將要學習的內容，解決了“為何學”的問題。通過這一環節的學習，學生學會了用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界，從而提升了自身的數學建模、數學抽象等素養。

2.問題引領，探索新知

筆者設計了如下學習任務：類比直線方程的建立過程，建立圓的方程。在這一學習任務的驅動下，學生需要完成如下三個子任務：①厘清建立圓的方程的研究思路；②推導出圓的標準方程；③理解“曲線的方程和方程的曲線”這一概念的內涵。

問題驅動教學方法是新課改所倡導的教學方式，這對增強學生的學習興趣、提升數學課堂的教學有效性等具有重要的價值和作用。在本教學環節中，筆者采用問題驅動方法，設計適切的問題串，讓學生在問題的引領下，發現學習數學的樂趣，進而促使學生主動地開展學習和探究。筆者設計了如下問題串：①直線方程是如何建立的？②我們是如何通過直線的幾何要素構建代數方程的？③如何類比直線方程的建立過程建立圓的方程？④確定一個圓的幾何要素是什么？⑤若圓心為A（a，b），半徑為r，則圓上任意一點M（x，y）的坐標滿足怎樣的關系式？

在解決上述問題的過程中，學生通過回憶直線方程的推導過程，類比推導圓的方程，然后根據圓的定義“平面內到定點的距離等于定長的點的集合”，可知確定一個圓的幾何要素有兩個：圓心和半徑。在問題的引導下，學生能夠明確建立圓的方程的研究思路，從而推導出以點A（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標準方程是（x-a）2+（y-b）2=r2［以下簡稱方程（1）］。

在此基礎上，筆者進一步設計如下問題：方程（1）是否為圓的方程？筆者發現，學生對這一問題感到困惑，認為既然是根據圓的定義推導出的方程必定是圓的方程，因此無法理解這個問題的意義所在。存在這樣的困惑，究其原因是學生不理解數量關系與空間形式一一對應關系的內在含義。

“曲線的方程與方程的曲線”這個概念比較抽象，學生不易理解，教師通過師生互動交流、提問、追問等方式了解學生存在的困惑，及時調整教學進度和內容，引導學生發現若點M（x，y）在圓上，則說明點[M]的坐標滿足圓的方程；反之，若點[M]的坐標（x，y）滿足圓的方程，就說明點[M]與圓心的距離為r，即點M在圓上。因此，我們把方程（1）稱為以A（a，b）為圓心、r為半徑的圓的標準方程。通過對這一系列問題的思考與分析，學生明白了解析幾何中圓與圓的方程一一對應的關系，理解了正因為空間形式與數量關系的一一對應，我們可以利用方程表示曲線，對曲線進行運算，并建立方程的幾何直觀表達，把方程形象化。

在本環節中，學生能夠遷移直線方程的學習經驗，類比推導圓的標準方程，這說明學生已經找到用已有知識解決解析幾何問題的路徑，符合這一階段的認知發展要求。教學中，教師要留足時間讓學生獨立推導圓的標準方程，鼓勵學生上臺分享展示，并在旁觀察指導，診斷學生學習狀態，幫助學生解決困難；要關注學生將文字語言轉化成數學語言的過程，診斷學生是否能調動學習經驗進行類比探究，是否了解用坐標法研究解析幾何問題的基本步驟，在學習過程中是否順利發展了數學抽象、邏輯推理的核心素養，從而幫助學生獲得“四基”、提高“四能”。

3.解決問題，應用鞏固

筆者設計了如下學習任務：明確圓的標準方程的結構特征，并進行求解運算。在這一學習任務的驅動下，學生需要完成如下四個子任務：①根據圓的方程寫出圓心坐標及半徑；②根據具體條件選擇適當方法求圓的標準方程；③利用圓的方程研究圓的性質，如點與圓的位置關系；④利用所學知識解決新課引入中的實際問題。

為了有效引導學生完成如上學習任務，筆者主要通過如下四道練習題引導學生展開學習：①根據下列圓的標準方程，寫出圓心和半徑［（x-3）[2]+（y-4）[2]=4，（x+3）[2]+（y-1）[2]=2，（3x-2）[2]+（3y-6）[2]=27］；②求滿足下列條件的圓的標準方程［1.圓心為A（2，-3），半徑為5；2.圓心為A（2，-3），且過點（1，-1）］；③求過點A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）的圓的標準方程。

在解決練習①和練習②的過程中，學生都能快速準確地回答。但由于變式中的圓的方程為非標準形式，部分學生判斷圓心和半徑存在一定困難，對練習③有部分學生能熟練運用待定系數法求圓的標準方程，對三元二次方程組的求解則感到困難，較少學生想到用幾何法求圓的標準方程。對判斷特殊點是否在圓上，絕大部分學生都明白若點的坐標滿足圓的方程，則說明該點在圓上，否則就不在圓上，或者通過計算點到圓心的距離是否等于半徑來判斷點是否在圓上。

教學過程中，筆者充分發揮評價的診斷功能，通過課堂提問和投影學生的解答過程，診斷學生是否掌握圓的標準方程的代數結構并能根據方程快速判斷圓心和半徑，是否能已知圓心和半徑熟練求出圓的標準方程。通過評價筆者發現學生對練習①、練習②這種類型的問題掌握情況良好，但練習③存在較大問題，主要表現在學生運用待定系數法求解圓的標準方程時，解三元二次方程普遍存在困難。這與原教學計劃不太吻合，此時筆者調整教學策略，詳細板書運算過程，幫助學生突破運算難點，掌握運算方法，提升數學運算素養。同時，筆者通過學生之間的展示分享、交流互評，為學生提供了多種解題思路，讓學生體會不同解法的優缺點，積累基本活動經驗，進而達到鞏固提高的效果。

為了有效解決學生存在的學習問題，筆者進一步設計了“根據特殊到一般的思想，研究點與圓的位置關系”這一學習任務，以及“如何判定點P（x[0]，y[0]）與圓C：（x-a）2+（y-b）2=r[2]的位置關系？”這一小組探究問題。根據前面探究具體的點與圓的位置關系，學生很自然地將這一知識遷移用于解決平面內任意一點與已知圓的位置關系問題，歸納總結出點與圓的三種位置關系：點在圓外、點在圓上、點在圓內。而且，學生能運用數學符號語言準確表達幾何條件，并轉化為相應的代數形式，思維能力得到了提升。

數學課程標準指出，教師要充分挖掘教材中蘊含的數學思想方法，加強思想方法的教學。“從特殊到一般”是重要的數學思想方法之一，學生學會通過特殊化、具體化的問題，從而總結出一般性的結論，并用已有的理論知識去驗證一般性的結論。這一思想方法在認識活動中被反復運用，對學生數學思維的發展具有重大意義。因此，在這一學習任務中，筆者通過讓學生判斷特殊點與圓的位置關系，檢驗學生能否歸納出判斷點與圓的位置關系的一般方法，觀測學生是否會運用“從特殊到一般”的思想進行數學研究。這樣不僅能提高學生對數學思想方法的認識、理解和運用，還讓學生學會從解決數學問題的過程中提煉數學觀點，認識數學本質。

接著，筆者進一步設計了“學以致用，解決新課引入中的實際問題”這一學習任務。根據前面的鋪墊，學生已經認識這一現實問題的本質是點與圓的位置關系，并能夠將幾何問題代數化，能夠基于圖形的對稱性建立直角坐標系，得到圓的標準方程與點的坐標，然后運用代數比較大小而解決問題。全班大部分學生能夠準確書寫解決過程，正確率高，情況良好。具體過程如下：如圖4所示，半圓所在圓的標準方程為[x2+y2=25]，將點C（3，4.3）代入圓的方程等號左側可得32+4.32=27.49>25，因此，點C在圓外，故貨車無法駛入隧道。

通過本環節的學習，學生學會運用數學的眼光觀察世界，建立了圓的模型，并能夠運用代數運算解決幾何問題，體會了解析幾何的魅力，發展了自身直觀想象、數學抽象等核心素養。

4.總結提升，評價反思

筆者設計了“歸納小結，完成知識系統建構與方法提煉”這一學習任務，同時提出“本課你學到了哪些知識？收獲了哪些方法？”的思考問題。學生通過3—5分鐘的課堂回顧，理解新概念，整理研究解析幾何問題的思路，歸納在不同的條件背景下如何研究圓的標準方程的方法。筆者在旁進行輔助梳理，全班學生共同總結出如下學習心得：一是知識層面，學習了圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=r[2]，圓心為（a，b），半徑為r（r>0）；二是方法層面，歸納了直接法、待定系數法、幾何法等求圓的標準方程的常見方法，以及學會了運用幾何法與代數法等判斷點與圓的位置關系的方法；三是思想層面，了解了研究解析幾何問題的基本思想方法——坐標法，研究了解析幾何問題的核心是“幾何問題代數化”。在此過程中，筆者通過學生的歸納總結、對話交流，檢查課堂教學是否已經達到預期目標，以及學生是否已經掌握了本課的基本知識、基本技能、基本方法，是否積累了基本活動經驗，是否學會了知識的遷移應用，學生得到了哪些發展、提升了哪些核心素養。

接著，筆者設計最后兩道練習題，以此提升學生的運算求解素養，檢驗本課的教學效果，并將這一步驟的檢驗結果作為下一課時學習的起點，“以終為始”開展新的教學設計。練習題如下：①求以C（2，-3）為圓心，且過點B（5，-1）的圓的方程；②求經過點P（1，1）和坐標原點，并且圓心在直線2x+3y+1=0上的圓的方程。

在本課教學中，筆者嘗試了“以終為始，評價先行”的教學思路：首先在課前基于目標預設評價方案，以學習任務為抓手、以評價任務為主線，進行教學實踐和評價；其次觀察學生在每一個教學環節中的真實表現，及時評價、點撥、糾正，以問題串驅動學生不斷思考、回應，并將評價貫穿整個教學過程，突出了評價的診斷功能，同時也充分發揮了它的激勵功能，符合新課改關于評價方式要多樣化、評價主體要多元化的理念和要求。而且在每個教學環節中，筆者都對學生的表現進行了即時評價，讓學生不僅能夠得到肯定和鼓勵，還能及時糾正不足，這對教學目標的達成起到了積極的作用，體現了“素養為本，科學評價”的理念。通過長期的實踐研究，筆者認為“以終為始，評價先行”的教學改革對教師的專業發展、學生持續學習能力的培養、教學質量的提高都具有十分重要的意義。

參考文獻

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［4］葉海龍.逆向教學設計簡論［J］.當代教育科學，2011（4）.

注：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2021年度廣西高考綜合改革專項課題“基于中學數學教師核心素養發展的教師新教材實施的實踐能力培養研究”（2021ZJY1755）的研究成果。

作者簡介：李俊（1973— ），湖南郴州人，高級教師，主要研究方向為基礎教育數學教學。

（責編 蒙秀溪）