淺談如何激活初中生的數形結合意識

楊敏

［摘? 要］ 數形結合是數學學科最重要的特征之一，也是數學學科最重要的思想體現. 在初中數學教學中，教師要想方設法地激活學生的數形結合意識，讓學生在數形結合的過程中將形象思維與抽象思維的作用發揮到最大，這樣不僅可以為學生的數學知識學習與運用提供內在動力，還可以為數學學科核心素養的發展提供驅動力.

［關鍵詞］ 初中數學；數形結合；意識

數形結合是數學學科最重要的特征之一，也是數學學科最重要的思想體現. 對初中生來說，在數學學習的過程中理解數形結合的內涵，在數形結合的幫助之下進一步促進數學知識的建構，可以說是數學學習最重要的目標之一. 在傳統的教學中，教師常常將數形結合當作教學內容來施教，這在一定程度上窄化了數形結合的內涵，也忽視了學生的認知基礎. 實際上，對學生而言，數形結合更多的是一種本能. 在學生成長的過程中，他們的思維方式從形象思維走向抽象思維，形象思維是學生與生俱來的思維方式，很多知識在學生的頭腦當中都是以圖形的形式存在的，學生思維加工圖形的順利程度遠超其他抽象符號. 當人們強調數學是研究數與形的學科時，應當認識到數對應著抽象思維，而形對應著形象思維（當然數學知識體系當中也存在著抽象的形，但對于相應階段的學生而言，這些形所反映出來的數學知識及其關系依然比數所反映出來的關系形象得多），所以數形結合從思維的角度來看，就是抽象思維與形象思維的結合. 如果說學生在生活當中遇到抽象事物的時候總會嘗試借助形去理解，那么在初中數學教學中進行數形結合教學時，教師就應當想方設法地激活學生已有的數形結合意識. 可以肯定的是，只要學生的數形結合意識被激活，數形結合教學就會順利得多，學生自身產生的學習內驅力也可以讓數形結合思維過程更加高效.

確定這樣的教學思路，是站在學生角度做出的教學判斷. 相對于將數形結合當作教學內容而言，通過激活學生數形結合意識的方式來實施教學，是站在學生的角度激活學生的內在動力，是讓學生在生活當中形成的認知習慣有效地遷移到數學學習過程中，從而為數學學習提供驅動力. 下面結合蘇科版初中數學教材的使用，談談筆者關于這一話題的思考與實踐.

學生天然具有數形結合意識

上面已經提到，學生在認識這個世界的時候，原本就具有從形象思維走向抽象思維、形象思維與抽象思維相結合的特點，這就意味著從數學教學的角度看初中生的學習，可以得出一個基本結論，那就是學生天然具有數形結合意識.

這一點很容易被數學教師所忽視. 可能部分同行會提出不同的觀點，因為從學術意義角度來看，數學教師對數學結合的認識通常是這樣的：數形結合是數學教學中常見的教學方法，它能通過圖形和內容等多種方式展現解題思路，從而引導學生更好地掌握復雜的數學知識. 這一認識本身沒有問題，但這一認識是純粹從概念的角度進行闡述的，如果將視野放得更廣一點，將教學研究的出發點遷移到學生身上，就可以發現，數形結合不僅僅是一種數學思想方法，也不僅僅作為教學方法而存在，它原本就是人認識世界的一種方法.

上面已經初步提及人認識世界的基本方式就是形象思維和抽象思維. 進一步講，如果兒童更擅長形象思維方式，那成人在遇到復雜問題的時候，其實也傾向于運用形象思維來理解并解決. 本文重點闡述初中數學教學，那不妨站在初中生的角度來看數學學習. 此時會發現，數學學習過程大致為：首先，從已有的數學知識基礎及生活事物當中提取出符合初中數學學習的素材，然后在問題的驅動之下加工這些素材. 在這一過程中不難發現，數學抽象與邏輯推理會自然出現. 所謂數學抽象，就是將形象的事物轉化為抽象的數學研究對象（其實就是數與形）. 而學生在面對形象事物的時候，運用的一定是形象思維；學生在面對數學學習時，一定會運用抽象思維，但只要在學生的“最近發展區”內，學生的形象思維與抽象思維就都有可能自然出現，這并不會超越學生的認知能力.

也就是說，學生其實天然具有數形結合意識. 天然具有的形象思維，加上認知世界過程中所形成的抽象思維，是植根于學生思維世界的兩種思維方式，它們也是與數形結合相對應的思維方式.

既然數形結合意識是學生天然具有的，那么為什么數學教學還要特別強調要重視數形結合思想方法呢？根本原因在于，學生的形象思維與抽象思維很難自然出現，而其中一個更深層次的原因是傳統的數學教學往往并不特別關注這兩種思維方式的激活，因此到了初中，學生的這些思維方式往往處于被抑制的狀態. 正因如此，初中數學學習才強調教師要激活學生天然具有的數形結合意識.

數形結合意識激活的有效途徑

要激活學生的數形結合意識，并沒有想象中簡單. 因為并不是給學生提供數與形同時存在的學習對象，學生的形象思維與抽象思維就能自然被激活. 事實上，學生數形結合意識的激活具有挑戰性，只有梳理其中存在的問題，才能找到數形結合被激活的有效途徑. 下面結合具體教學實例進行說明.

蘇科版數學八年級上冊編排了“勾股定理”這一內容，這是初中數學知識體系中的重要知識點，也是教學難點之一. 站在學生的角度看這一知識的學習，首要的挑戰就是勾股定理的證明. 當然，有教師認為只要借助面積關系來證明，學生還是能聽懂的，這一判斷筆者并不否認，但問題是，如果從數學探究的角度來實施本內容的教學，如何才能讓學生想到運用面積關系來證明勾股定理呢？這才是本節課教學的難點之一. 而數形結合可以幫助學生突破這一難點.

實際上，勾股定理本身就是數形結合的重要產物. 當著名數學家畢達哥拉斯觀看朋友家的地磚形狀和圖案時，他大腦里所加工的對象是“形”，但最終得出的結論是勾股定理，這是以等量關系來表征的，是典型的“數”的形式. 對畢達哥拉斯來說，看到讓自己感興趣的圖案，并最終用數量關系來描述，這是一個自然而然的數形結合的產物. 所以，要讓學生探究出勾股定理，教師就要走數形結合的探究道路，而其前提就是激活學生的數形結合意識.

如果教師不加以干預，會發現學生在探究的時候，數形結合意識很難被自主激活. 比如教學中經常出現下面這種現象：當教師將教材中所設計的內容創設成相應的情境提供給學生時，學生的反應并不符合教師的期待.

教材是這樣設計的：

1955年，希臘發行了一枚紀念郵票，郵票上的圖案是根據一個著名的數學定理設計的.

觀察郵票上的圖案（如圖1所示），數一數圖案中三個正方形內小方格的個數，你有哪些發現？

細心的教師可能會發現，這樣一段簡簡單單的文字是通過兩段內容來說明的. 就筆者的判斷，第一段闡述一個事實，第二段則將學生的注意力引向數學. 教材編寫者設計第二段內容時，巧妙地給定了探究方向——數三個正方形中小方格的個數. 這實際上是將學生的思維從“形”引向“數”. 最后還問了一個問題：你有哪些發現？

筆者教學過這一內容多次，發現如果教師不給予任何提示，學生的發現多種多樣. 其中不乏有學生意識到兩個小正方形方格的個數加起來等于大正方形方格的個數，但除此之外其他與課題無關的“發現”還有很多. 而且，即使學生發現了小正方形方格個數之間的等量關系，依然無法將自己的思維引向勾股定理的表達形式. 這就說明，學生的數形結合意識不會自動成為學習的助力. 那遇到這種情況教師應當怎么辦呢？教師應注意引導與激活.

筆者在課堂上是這樣做的：

首先，引導學生關注郵票上的三個正方形，讓學生思考這三個正方形首尾相接的三條邊所構成的三角形最接近哪種三角形. 此時學生可以基于幾何直觀（對應著形象思維）猜想這個三角形是直角三角形. 接著，筆者讓學生探究猜想中的直角三角形三條邊的長度關系. 學生很容易通過數數的方法得到三條邊的長分別是3，4，5——這一步是數形結合的起始環節，意味著學生對圖形的關注已經將思維的觸角伸到數上了. 當然，此時學生并沒有數形結合意識，教師可以適當引導，告訴學生我們不僅要關注圖形的形狀，還要從數量關系角度去研究圖形的規律.

接下來，筆者引導學生的思維進一步深入. 此時擺在學生面前的問題實際上有兩個：一是這個三角形確實是直角三角形，二是研究直角三角形三條邊之間的數量關系. 這兩個問題的解決依然要依靠數形結合思想. 要想在此處激活學生的數形結合意識，可以通過讓學生做的方法，也就是通過數學實驗來完成. 當然，這里并不是真正地讓學生去做實驗，而是讓學生畫圖，因為學生動手的過程并不是加工實際物體的過程，而是畫圖的過程. 那讓學生畫什么呢？讓學生在方格紙上畫長度分別為3和4，且相互垂直的兩條邊——把它們作為直角三角形的兩條直角邊，再連斜邊. 此時學生思維加工的對象就是這個圖形，且已經確認直角三角形兩條直角邊的長，而下一步就是確認斜邊的長了. 確認斜邊的長時，學生受郵票上圖案的啟發，會自發地畫出分別以兩條直角邊為邊長的正方形——這是數形結合的另一個突破口，而且這個時候學生不需要教師的啟發，能夠自發地畫出來，這說明學生的數形結合意識此時已被激活. 這一觀點通過學生后續的學習也能證實. 接下來，學生會將以斜邊為邊長的正方形畫出來，然后數這個大正方形中小方格的個數. 當學生通過拼湊的方法得出大正方形中小方格的個數之后，再與兩個小正方形中小方格的個數進行對比，勾股定理也就呼之欲出了……

數形結合是核心素養培育的? ? 基礎

從上面的教學案例可以發現，當學生的數形結合意識被激活之后，他們的數學探究過程會變得很順利，這就意味著數學知識的建構過程會變得更加高效.

數學教師已經認識到數學是一門研究空間形式與數量關系的科學，能夠培養學生良好的邏輯思維能力［1］. 那么，數形結合作為數學學科最基本的特征之一，又能在核心素養背景下初中數學教學中發揮怎樣的作用呢？對于這個問題，筆者的回答是：數形結合是核心素養培育的基礎. 上述內容強調了一個觀點——形象思維與抽象思維是人們在生活當中就可以形成的思維方式，這兩種思維方式可以在數學課堂上得到強化與提升，最終又反哺于生活. 數形結合對應著這兩種思維方式，因此數形結合既是學生學習數學知識的基礎，又是數學學科核心素養培育的基礎.

在初中數學教學中，教師要想方設法地激活學生的數形結合意識，讓學生在數形結合的過程中將形象思維與抽象思維的作用發揮到最大，這樣不僅可以為學生的數學知識學習與運用提供內在動力，還可以為數學學科核心素養的發展提供驅動力. 學生在數形結合的基礎上能夠真正做到擁有數學的眼光、數學的思維，就能靈活運用數學的語言，去觀察現實世界、思考現實世界，并表達現實世界.

參考文獻：

［1］高愛紅. 數形結合思想在初中數學教學中的應用研究［J］. 數學教學通訊，2016（02）：37-38+62.