培養(yǎng)模型意識(shí) 發(fā)展數(shù)學(xué)思維

劉小慧

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)模型作為溝通數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用的橋梁，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生產(chǎn)生活中有著重要的應(yīng)用. 研究者采用“情境—探究—交流—反饋”的方法帶領(lǐng)學(xué)生參與一次函數(shù)概念形成和一次函數(shù)模型建立的過(guò)程，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的模型意識(shí)，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

筆者在教學(xué)“一次函數(shù)（1）”時(shí)，從學(xué)生的具體學(xué)情出發(fā)，運(yùn)用建模思想引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)、理解函數(shù)、應(yīng)用函數(shù)，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的模型意識(shí)，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 現(xiàn)將教學(xué)過(guò)程呈現(xiàn)給大家，僅供參考，若有不足，請(qǐng)指正.

教學(xué)分析

1. 學(xué)情分析

學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)具備了一些分析量與量之間關(guān)系的能力，這就為進(jìn)一步分析情境中量與量之間的關(guān)系、理解和建構(gòu)一次函數(shù)模型奠定了基礎(chǔ). 此外，初中生還具有一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，所以他們參與課堂的積極性比較高，這有助于生本課堂的展開(kāi).

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）借助具體情境抽象出一次函數(shù)概念，建構(gòu)一次函數(shù)模型.

（2）理解正比例函數(shù)的概念.

（3）借助實(shí)際背景，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、抽象能力，積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn).

（4）感受建模思想、從特殊到一般思想、分類(lèi)思想等數(shù)學(xué)思想方法，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 教學(xué)重、難點(diǎn)

（1）理解一次函數(shù)的概念、特點(diǎn)和意義.

（2）建立一次函數(shù)模型.

教學(xué)實(shí)錄

1. 借助情境，引入新課

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，對(duì)其圖象也有了一定的認(rèn)識(shí)，今天我們就開(kāi)始研究一類(lèi)具體的函數(shù). 下面我們來(lái)看一下幾個(gè)具體的問(wèn)題. （教師用PPT出示問(wèn)題）

問(wèn)題1? 已知注水管的注水速度為25 L/min.

（1）若注水前水箱里沒(méi)有水，則水箱里的水量y（L）與注水時(shí)間x（min）之間的函數(shù)表達(dá)式是______.

（2）若注水前水箱里有6 L水，則水箱里的水量y（L）與注水時(shí)間x（min）之間的函數(shù)表達(dá)式是______.

問(wèn)題2? 若身高x（cm）減去常數(shù)105所得的差為成人的標(biāo)準(zhǔn)體重y（kg），則標(biāo)準(zhǔn)體重y（kg）與身高x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式是______.

問(wèn)題3? 一個(gè)長(zhǎng)10 cm、寬5 cm的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少x cm，寬不變，則長(zhǎng)方形的面積y（cm2）與x之間的函數(shù)關(guān)系式是______.

設(shè)計(jì)意圖? 從學(xué)生已有知識(shí)出發(fā)，借助具體情境引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出一次函數(shù)表達(dá)式，為抽象的一次函數(shù)模型做鋪墊.

教學(xué)反思：以上問(wèn)題情境是教師結(jié)合學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)及教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)的，如上述函數(shù)表達(dá)式中的k值有正有負(fù)，b值有正、有負(fù)、有0，這能為后面研究一次函數(shù)表達(dá)式中“k，b的限制條件”做鋪墊. 另外，從學(xué)生熟悉的情境出發(fā)，可以拉近學(xué)生與新知的距離，有助于激發(fā)學(xué)生的探究欲.

2. 互動(dòng)交流，建構(gòu)模型

師：對(duì)于上述幾個(gè)問(wèn)題，你們的答案是——

生1：?jiǎn)栴}1中第（1）（2）問(wèn)的答案分別為y=25x，y=25x+6.

生2：?jiǎn)栴}2的答案為y=x－105.

生3：?jiǎn)栴}3的答案為y=－5x+50（0<x<10）.

師：答案正確！生3還給出了x的取值范圍，非常好.

師：仔細(xì)觀察上面幾個(gè)表達(dá)式，思考一下它們有什么共同點(diǎn). （教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生自由交流）

生4：都有x和y兩個(gè)變量，y是x的函數(shù)，x是自變量，y是因變量.

生5：都是“y=…”的形式.

生6：右邊為一個(gè)數(shù)與x的積，再加上或者減去一個(gè)常數(shù).

師：加上或者減去一個(gè)常數(shù)是否可以都用加來(lái)表示呢？

生6：可以，減去一個(gè)正數(shù)相當(dāng)于加上一個(gè)負(fù)數(shù).

師：如果把與x相乘的數(shù)用字母k表示，常數(shù)用字母b表示，你能寫(xiě)出它們的一般形式嗎？

生7：y=kx+b.

師：很好，結(jié)合以上表達(dá)式，說(shuō)一說(shuō)k，b的取值有什么限制.

生8：b只要是常數(shù)即可；k為常數(shù)，且k≠0. 也就是k，b均為常數(shù)，且k≠0.

師：很好！那自變量x的次數(shù)有什么特點(diǎn)呢？

生（齊）：次數(shù)都為1.

師：是的，次數(shù)都是1. 如果想給這樣的函數(shù)命名，應(yīng)該叫什么呢？

生（齊）：一次函數(shù).

經(jīng)歷以上過(guò)程，學(xué)生總結(jié)和歸納一次函數(shù)的概念水到渠成.

師：對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b，其中k≠0，那b是否可以為0呢？

生9：可以，比如表達(dá)式y(tǒng)=25x，這里的b就等于0.

師：很好，當(dāng)b=0時(shí)，y=kx（k為常數(shù)，且k≠0），y叫x的正比例函數(shù).

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考一下，對(duì)于正比例函數(shù)和一次函數(shù)，兩者有何關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖? 以上教學(xué)環(huán)節(jié)，教師以生為主，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和歸納出了一次函數(shù)的概念、一般形式，從中建立了一次函數(shù)模型，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力和數(shù)學(xué)抽象能力. 教學(xué)中，由具體情境抽象一次函數(shù)模型，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想. 此外，還對(duì)比了一次函數(shù)和正比例函數(shù)，借助區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的思辨能力.

教學(xué)反思：學(xué)生對(duì)研究函數(shù)、變量的變化規(guī)律等問(wèn)題還比較陌生，加上學(xué)生的抽象概括能力較弱，因此教師應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生去觀察、去分析、去探索、去交流，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助具體模型中的共性特征逐漸抽象出一般模型，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究方法，從而更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué).

3. 借助練習(xí)，鞏固認(rèn)知

師：剛剛我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，并建立了一次函數(shù)模型，現(xiàn)在請(qǐng)大家說(shuō)一說(shuō)下面的函數(shù)哪些是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù).

（1）y=5x2+6；（2）y=－5x；（3）y= －；（4）y=－0.5x－1.

以上形成概念及建立模型的過(guò)程都是學(xué)生共同參與的，學(xué)生已形成深刻的印象，因此學(xué)生可以輕松地給出正確答案. 接下來(lái)教師設(shè)計(jì)了如下練習(xí).

練習(xí)1? 已知函數(shù)y=（m+1）x+m2－1.

（1）當(dāng)m_______時(shí)，y是x的一次函數(shù)；

（2）當(dāng)m_______時(shí)，y是x的正比例函數(shù).

練習(xí)2? 若y=（m2－1）x2+（m－1）x－3（m為常數(shù)）是關(guān)于x的一次函數(shù)，則m的值為_(kāi)___.

設(shè)計(jì)意圖? 通過(guò)“練”進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)一次函數(shù)概念的理解，強(qiáng)化他們對(duì)一次函數(shù)表達(dá)式中k，b的值的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)一次函數(shù)圖象及性質(zhì)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

教學(xué)反思：練習(xí)的設(shè)計(jì)既要符合學(xué)生的具體學(xué)情，又要呈現(xiàn)知識(shí)的方方面面，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的有序性和全面性.

4. 借助應(yīng)用，強(qiáng)化認(rèn)識(shí)

師：接下來(lái)我們?cè)倏磶讉€(gè)具體應(yīng)用，看看變量y是不是變量x的一次函數(shù)，是不是變量x的正比例函數(shù).

（1）正方形的面積y與邊長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）正方形的周長(zhǎng)y與邊長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系；

（3）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為常數(shù)a，面積y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系；

（4）A，B兩地相距200 km，小汽車(chē)以100 km/h的速度從A地駛向B地，求小汽車(chē)離B地的距離y（km）與行駛時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖? 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，讓他們感悟函數(shù)與實(shí)際生活之間的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣. 另外，借助具體問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自變量的取值范圍，為后續(xù)函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)奠基.

教學(xué)反思：數(shù)學(xué)模型在解決實(shí)際問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用模型解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

5. 課堂小結(jié)，升華認(rèn)知

在實(shí)際教學(xué)中，不同的學(xué)生會(huì)有不同的收獲，因此教師有必要預(yù)留一些時(shí)間組織學(xué)生交流心得、體會(huì)，這樣既有助于豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力. 在此環(huán)節(jié)，教師應(yīng)以生為主，鼓勵(lì)學(xué)生積極交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的熱情，當(dāng)然對(duì)于學(xué)生理解不深、含糊不清、表述不當(dāng)?shù)牡胤剑處熞o予適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充和強(qiáng)化，從而幫助學(xué)生形成完善的認(rèn)知.

教學(xué)反思

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容、核心內(nèi)容，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn). 從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，部分學(xué)生對(duì)一次函數(shù)概念的理解往往存在不足，究其原因，與傳統(tǒng)的教學(xué)模式息息相關(guān). 在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生獲得函數(shù)概念的主要方式來(lái)自教師的講授，雖然學(xué)生能夠熟背概念，但是因?yàn)槿鄙俜治觥⑺伎肌⑻剿鳌⒏爬ǖ倪^(guò)程，學(xué)生對(duì)概念并未形成深刻的認(rèn)識(shí). 另外，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)只是為了解題，并沒(méi)有真切地體會(huì)到函數(shù)與生活之間的密切聯(lián)系，因此影響了學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)的積極性，限制了他們學(xué)習(xí)能力的提升. 其實(shí)，對(duì)初中生來(lái)講，他們已經(jīng)具備了一定的文字信息和圖形信息加工能力，所以教學(xué)中教師要放權(quán)給學(xué)生，讓學(xué)生參與到一次函數(shù)概念的形成和一次函數(shù)模型建立的過(guò)程中來(lái)，使學(xué)生的思維在參與的過(guò)程中發(fā)生質(zhì)的飛躍.

本節(jié)教學(xué)以生為主，從具體情境出發(fā)，讓學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中感悟和理解一次函數(shù)概念及一次函數(shù)與生活實(shí)際之間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的模型意識(shí). 在實(shí)際教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了一次函數(shù)概念形成、發(fā)展和應(yīng)用的全過(guò)程，讓學(xué)生對(duì)一次函數(shù)的概念及模型形成了深刻的認(rèn)識(shí). 另外，借助“用”，學(xué)生體會(huì)到了函數(shù)學(xué)習(xí)的真正價(jià)值，激發(fā)了他們的函數(shù)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，增強(qiáng)了他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)了他們勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神.

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要發(fā)揮初中生參與意識(shí)強(qiáng)、思維活躍的優(yōu)勢(shì)，放手讓學(xué)生去探索、去發(fā)現(xiàn)、去抽象，通過(guò)抽象思想、模型思想等思想方法的滲透，讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.