高中數學建模教學中的問題及解決途徑

摘 要：高中數學建模教學能夠有效鍛煉學生學以致用的能力，而調查研究發現高中數學建模教學中存在一些問題，導致學生不能有效地建立正確的數學模型。為改變這一現狀，高中數學教師應做好對以往數學建模教學過程的反思以及對經驗教訓的總結，以尋找有針對性的解決途徑。

關鍵詞：高中數學；建模教學；問題；解決途徑

中圖分類號：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2097-1737（2023）12-0032-03

引 ?言

眾所周知，數學建模是從數學視角出發，運用數學語言表征現實事物邏輯關系的一種思維活動[1]。為保證數學建模活動的順利開展，教師不僅需要儲備相關的數學知識，還需要掌握數學建模的相關理論。在高中數學教學實踐中，教師應充分認識到數學建模的重要性，做好數學建模教學規劃，并結合具體教學內容制訂實施細則，為建模教學活動的開展奠定堅實基礎。

一、高中數學建模教學中的問題

（一）數學建模知識講解不夠系統

部分高中數學教師將數學建模和應用題解答混為一談，將教學的重點放在如何運用數學知識解決相關的應用題上，在實踐中，要么不講解數學建模知識，要么講解的數學建模知識不夠深入。多數教師只是按照課本中的內容簡單介紹數學建模，導致學生掌握的數學建模知識不夠系統，應用時常常感覺力不從心，或者因忽略某一環節而得出錯誤結果[2]。例如，制訂一個“課下時間段學生體育鍛煉考核”的評分制，需要構建每天得分y和每天鍛煉時間x（分鐘）的模型。要求如下：（1）在區間（0，90）上為增函數；（2）每天參加運動時間為0，得分為0；（3）每天運動達標時間為30分鐘，得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分。

部分學生構建模型時只是單純地從數學角度進行思考，未結合實際情況進行驗證，結果構建了錯誤的數學模型。根據實際情況可知，隨著學生鍛煉時間的增加，其得分的增長是逐漸放緩的，因此，構建對數類型的模型才更加符合題意。

（二）學生數學建模存在認知障礙

高中數學建模涉及的情境與人們的生活密切相關，其中一些情境會涉及一些術語[3]。大多數學生因缺乏對社會時事的關注，對題目中的一些術語感到陌生，不理解其含義，進而無法判斷需要構建的模型類型。例如當面對這樣的題目：“王先生購買的股票A連續四個跌停，則至少需要幾個漲停才能不虧損？（其中，跌停、漲停分別表示比前一天收市價下跌、上漲10%）”大部分學生缺乏股票知識，即便題干中給出“跌停”和“漲停”的概念，仍不能充分理解其含義，更不知道如何運用數學語言進行表達，導致無法構建出正確模型。

（三）學生無法找到參數邏輯關系

數學建模對學生提煉有用知識及分析問題的能力要求較高[4]。部分學生會因問題情境的文字描述較多或對內容較為陌生，而不能迅速從中提煉出有用信息，無法找到參數之間的邏輯關系，無法構建對應的數學模型。例如：“某環線公交車內外線同時運行，內、外環線長均為30 km，不考慮兩線的長度差異，要求內環線和外環線公交車平均速度分別為20 km/h，30 km/h。

現內、外環線共有18輛公交車全部投入運營。不考慮公交車進站、出站，要使內外環線乘客的最長候車時間之差在1分鐘以內，問內、外環線需各投入幾輛公交車運行？當兩線乘客候車最長時間之和最小時呢？”該情境雖然文字描述不多，但是一些學生對“內外環線”并不了解，而且題干中參數之間的邏輯關系并不明顯，所以學生讀完題目后一頭霧水，既無法判斷模型類型，又不知道如何切入。

（四）學生不注重數學建模方法總結

高中數學中需要通過構建模型解決問題的情境類型較多。學生提高數學建模水平，做好不同情境類型以及數學建模技巧的總結尤為重要。然而部分學生并未認識到總結的重要性，而是將時間放在做更多的題上，構建出數學模型并得出正確結果后便將習題放在一邊，不進行總結，導致數學建模水平提升緩慢。

二、高中數學建模教學問題解決途徑

（一）做好建模理論知識的系統講解

為了給學生數學建模活動的順利開展奠定堅實的基礎，教師在教學實踐中應正確處理建模知識與數學知識傳授之間的關系，將數學建模理論知識講解融入教學活動，給學生帶來無形的影響。

首先，做好教學規劃，制訂教學目標。教師在教學中應認真分析教學內容與數學建模知識之間的契合點，結合自身教學經驗做好系統的教學規劃。同時，結合教學進度制訂教學目標，并將教學目標細化到每一個課時上，保證教學目標的順利達成。

其次，注重課堂互動，嚴把教學質量。部分數學建模理論知識需要學生理解與記憶。在實踐中為了防止學生產生枯燥感，進一步增強學生的學習體驗，幫助學生更好地把握數學建模注意事項，教師要注重在課堂上圍繞問題與學生積極互動，進一步加深學生對數學建模理論知識的印象，促使學生自覺地將理論知識作為數學建模的重要依據。

最后，給予學生引導，做好知識整理。教師在教學中要創設學生感興趣的問題情境，引導學生參與數學建模的過程，總結數學建模的步驟，同時，預留時間讓學生應用思維導圖做好數學建模理論知識的歸納。

例如，“建立函數模型解決實際問題”的教學實踐活動，要求學生首先自主完成課本內容的閱讀與學習。學生通過學習不難得出數學建模需要在觀察實際情景的基礎上完成如下步驟：發現和提出問題—收集數據—分析數據—建立模型—檢驗模型—求解問題。之后，學生認真回顧所學數學模型，運用思維導圖做好對不同數學模型特點的總結，以及呈現數學建模應注意的細節等，在頭腦中形成系統的知識網絡，為順利構建數學模型，解決實際問題提供保障。

（二）注重培養學生的語言理解能力

在高中數學建模教學中，為幫助學生克服認知障礙，教師應注重培養學生的語言理解能力，這里的“語言”主要是數學語言。在實踐中，教師應注重以下內容的認真落實。

其一，高中數學中的很多問題情境都來源于生活，在教學實踐中要引導學生養成多關注生活、善于閱讀的良好習慣。其中，學生關注生活時應具備從數學視角分析問題的意識，鍛煉學以致用的能力；開展閱讀活動時應做好數學相關術語的積累，通過查閱資料搞清楚其含義，防止因對術語不熟悉而不能順利建立數學模型。

其二，在數學建模活動中，熟練掌握數學語言是基礎。因此，在實踐中，教師應要求學生建立文字與數學語言之間的對應關系，以更好地尋找數學建模的切入點。如題目要求“制訂的方案最合理”，往往就需要學生將其與數學中的最值問題對應起來，包括“利潤最大值”“成本最小值”“最節省材料”等概念。

例如：圖1中，l是海岸線，點P為海中的一座觀光小島。旅游公司在海岸線選擇兩點M、N設置游客接待處。其中P、M、N中任意兩點間的距離相等，均為20 km。同時，在M、N點之間設置游客集中處點Q，

游客在該點乘坐游輪前往觀光小島。統計得知，將每批游客從M、N向Q點集中時分別需要發車2輛和4輛。每輛汽車每千米消耗的費用為20元，每艘游輪每千米消耗的費用為120元。設∠PQM=α。

該題目需要學生在閱讀中建立其與所學數學知識之間的聯系，提出合理的問題后構建相關模型。通過閱讀可知，其是以三角形知識為背景的費用問題，可提出問題：點M、Q的距離為多遠時，運輸每批游客的總成本最低？在此基礎上借助正弦定理不難構建出對應模型：設運輸每批游客的總成本為f（α），則根據題意，在△MPQ中，∠PMQ=，∠PQM=α，則∠MPQ=

-α，由正弦定理易得PQ=，MQ=，

QN=20-。構建的函數模型為：f（α）=

40MQ+80QN+120PQ=400（+），a∈（，

）。借助導數知識不難求出當sinα=時f（α）的值最小，此時，MQ=10+。

（三）加強學生數學建模思維訓練

構建數學模型的關鍵在于通過讀題明確參數之間的內在邏輯關系。教學實踐中，為使學生能夠找到構建數學模型的關鍵，教師應加強對學生數學建模思維的訓練，避免學生在建模過程中走彎路。一方面，教師要結合自身教學經驗做好數學建模經典例題的篩選，尤其在講解例題過程中多給學生預留思考的時間，引導其尋找構建模型的思路，參與到數學建模的過程，進一步加深印象。另一方面，教師要結合學生的現有知識儲備，積極組織其開展數學建模訓練活動，使其有效積累數學建模的相關思路，養成良好的數學建模習慣，樹立數學建模的自信心。

以上述“公交車在內外環線運行”的題目為例。部分學生之所以無法構建相關數學模型，主要是對公交車在環線運行的情境不熟悉。教師可以在課堂上設計以下問題幫助學生尋找數學建模思路：（1）若內外環線均只有一輛公交車，怎樣表示對應線上乘客等車的最長時間？（2）怎樣表示內外環線乘客等車時間之差與和？（3）構建模型時該怎樣確定自變量范圍？

學生通過畫輔助草圖，經過思考，就能夠找到上述問題的答案：（1）若內外環線上均只有一輛公交車，則內外環線上乘客候車時間最長分別為×60=90、×60=60；在題目中設內環線上投入的公交車為x輛，則內外環線上乘客候車時間最長分別為t1=×60=、

t2=×60=；（2）乘客候車時間之差與和分別表示為|t1-t2|、t1+t2；（3）考慮到內環線上不能沒有公交車運行，則對應的自變量范圍為1≤x≤17且x∈N*。最終，學生構建以下兩個函數模型：

f（x）=|t1-t2|=|-|≤1，（1≤x≤17且x∈N*）···（1）

u（x）=t1+t2=+=，（1≤x≤17且x∈N*）···（2）

模型（1）屬于含有絕對值的不等式模型，通過整理不難得到，通過解不等式組確定幾何自變量取值要求可得x=11，即內外環線上運行的公交車數量分別為11輛和7輛。模型（2）需拼湊成對勾函數模型，借助對勾函數性質可知，當x=10時其和最小，此時內外環線上運行的公交車數量分別為10輛、8輛。

（四）引導學生做好數學建模總結

在高中數學建模教學中，為更好地提升學生的建模能力，并使其充分認識到建模總結的重要性，教師應給予學生有針對性的引導，使其認真開展數學建模總結活動。在具體教學實踐中，教師可采用以下思路對學生進行引導。其一，根據數學建模教學計劃，可預留一節課的時間，通過提問學生有關數學建模理論知識的問題，驅使學生主動回顧與歸納所學。同時，要求學生結合自身回答問題的情況，分析其中暴露出的數學建模知識漏洞，并及時查漏補缺，尤其要求學生圍繞“數學建模”畫出相關思維導圖，清晰而條理地整理理論知識。其二，要求學生積極開展數學建模心得交流活動，鼓勵其相互分享數學建模經驗，總結不同數學模型對應的情境特點，進而在以后的解題中根據題干中的關鍵詞迅速判斷對應的數學模型類型，并基于對情境邏輯關系的分析完成數學模型的構建。

以數列模型為例，高中數學中的數列模型包含等差數列模型、等比數列模型，在實踐中要求學生總結數列模型的特點。通過總結我們不難發現，當問題情境中含有“多”“少”等字眼時，通常需要構建等差數列模型；當問題情境中含有“倍”、百分數時，通常需要構建等比數列模型。當確定模型類型后，學生找到首項、公差或公比，便能順利地構建對應的數列模型。

結 ?語

在高中數學建模教學中，為保證教學目標的順利達成，教師不能滿足現狀，應做好自身教學經驗的總結，分析教學過程中存在的問題，找到癥結所在并做出相應的改善；同時，針對存在的問題及時查閱資料，

向經驗豐富的教師請教，積極與同事溝通交流，尋找解決途徑，做好細節上的優化。

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作者簡介：林中獎（1981.3-），男，福建莆田人，

任教于福建省莆田第二中學，一級教師，本科學歷。