不同非局部系數的薛定諤方程特征研究

周 熒,王 躍

(貴州大學數學與統計學院,貴州 貴陽 550025)

研究物質運動時,微小粒子的活動總容易被人們忽略,然而就是這種微乎其微的粒子運動,引起了物理數學家們的廣泛關注。研究表明,Schr?dinger方程可以用來刻畫微小粒子的這種特殊運動。正因如此,近年來Schr?dinger方程的研究受到國內外眾多學者青睞。事實上,自從1926年奧地利物理學家Schr?dinger提出了著名的Schr?dinger方程后,量子力學的發展上升到更高的平臺,這類方程的研究不僅僅在量子力學方面扮演重要角色,在航空航天和機工設計等一系列的精密專業理論和實踐中都為社會作出了大量貢獻,時至今日,科學家們已經在這方面取得了許多舉世矚目的成就。

Schr?dinger方程與混沌現象密切相關,盡管普遍的數學物理學家認為這種方程是Schr?dinger本人在不經過嚴格推導的情況下利用試探或者統計方法推測而得,但是在自由粒子的運動中,Schr?dinger方程能夠完全融洽地解釋單色平面波的波函數,在Schr?dinger方程的研究中往往會涉及到動能和勢能,人們通過尋找所對應的Hamilton方程間接求出抽象解。在雙縫干涉問題上,Schr?dinger方程還能解釋光的波動性和粒子性,大量的研究現象表明駐波狀態ψ(t,x)=u(x)ei?t的解能夠解釋諸如光子運動等許許多多的自然現象,因此在這種狀態下往往讓人們對定態Schr?dinger方程產生特定的興趣。例如在文獻[1]中,作者考慮了x∈2時的如下的Schr?dinger方程解的問題:

(1)

-Δψ+ωψ=h(ψ),x∈2

他們通過Nehari流形方法證明了問題(1)在Nehari流形上存在解,而當μ→0時也得到與文獻[1]類似的結果。進一步,作者假設了ω是連續非負的偶函數并且μ>0比較小時,問題(1)也存在解。

在文獻[5]中,作者考慮了帶有實值位勢函數的半線性自伴隨Schr?dinger方程,其中的反射系數差異的估計由相應的位勢函數差異和邊界條件中的參數給出,他們根據相應散射數據的差異給出了對電位差異的估計。在文獻[6]中,作者研究了Schr?dinger方程傳輸型特征值問題的部分逆問題,其結果表明:已知特征值的數量和給定電位勢的子區間長度時,如果先驗部分是已知位勢,則只有部分特征值才能唯一確定相應的位勢與密度之間的關系。文獻[7]中利用上下解方法獲得帶有同種類型非局部系數的Schr?dinger方程解的存在性。文獻[8-9]利用變量分離思想和代數分析方法構造出非局部問題的解,促進非局部問題的數值模擬。文獻[10]中利用(1/G)和(1/G′)展開方法得到時滯情形的二階三次Schr?dinger方程的雙曲函數解和有理函數解。而在文獻[11]中,作者在已有文獻的基礎上利用Mathematica軟件刻畫了時滯情形的二階三次Schr?dinger方程的四類解析解。

考慮到文獻[1-7]均涉及到復雜的假設條件和研究方法,所得到的結果也僅僅是解的存在性,并不知道解具有哪些特殊的性質。而文獻[10-11]在無邊界約束下的時滯問題上刻畫了解析解。因此,不同于他們的問題和結果,我們將在有界區域上利用文獻[8-9]的方法并結合文獻[12]中介紹的譜理論方法考慮帶有不同的組合非局部系數下的Schr?dinger方程(1)的如下特殊情形:

(2)

進一步,從a,b同時為零、同時非負、同時非正以及異號這幾種情況可以將定理細化描述為:

(ⅰ) 如果a=b=0,那么對任意的λ∈R,當存在i≥1使得λ=μi時方程(2)有無窮多對解;當對任意的n≥1都滿足λ≠μn時方程(2)只有平凡解。

(ⅱ) 如果a,b≥0且a+b>0,則對任意的λ∈R,方程(2)都有無窮多對解。

(ⅲ) 如果a<0且b≤0,那么λ≤μ1時方程(2)只有平凡解;而μn<λ≤μn+1時有n對非平凡解。

(ⅴ) 如果a<0且b>0,那么對任意的λ∈R,方程(2)都有無窮多對解。

2 主要結論的證明

(3)

這里的μn為特征值,φn為特征函數,并且對方程

(4)

(5)

是方程(4)存在解的唯一選擇情況。

(6)

于是

(7)

因此(6)式成立的條件轉換為代數方程(7)成為恒等式時的條件。

下面,從a,b同時為零、只有一個為零、都不為零這3種情況出發,分類討論方程(7)成立時λ的范圍。也就是說只有如下的2種情況:

立足于上述兩種情況,下面逐項證明主要結果:

情形(ⅰ)當a=b=0時,除非存在某個i使得λ=μi,此時對任意的t∈R來說,u(x)=tφi(x)都是方程(2)的解,見圖1至圖3;否則方程(2)只有平凡解。事實上,當a=b=0時方程(2)退化為特征值問題(4)的樣子。因此,式(5)是方程(4)存在解的唯一選擇情況,存在某個i的情況下只能取n=i。故在a=b=0的前提下對任意的n≥1都滿足λ≠μn時方程(2)只有平凡解。

圖1 在Ω=(0,1),a=0,b=0的前提下,當λ=μ1時的圖像

圖2 在Ω=(0,1),a=0,b=0的前提下,當λ=μ2時的圖像

圖3 在Ω=(0,1),a=0,b=0的前提下,當λ=μ3時的圖像

情形(ⅱ)如果a,b≥0且a+b>0,那么

于是,當λ<μ1時,對?n≥1,有

此時方程(2)有無窮多成對出現的解

若μj≤λ<μj+1對某個j成立,那么對所有的n≥j+1,tn總是實根,也就是說μj≤λ<μj+1時方程(2)有無窮多成對出現的解并且可以表示為

圖4和圖5直觀地描述了當λ處于不同范圍時解的曲線以及對應極值之間的關系。

解曲線所對應的幾何圖像如圖6中所示。

圖4 在Ω=(0,1),a,b≥0,a+b>0的前提下,當λ<μ1時的圖像

圖5 在Ω=(0,1),a,b≥0,a+b>0的前提下,當λ∈[μ5,μ6)時的圖像

圖6 在Ω=(0,1),a<0,b≤0的前提下,當λ∈(μ5,μ6]時的圖像

當μ1≤μj≤λ<μj+1≤μr+1時,此時只有n=j+1,…,r才使條件一的實數t存在,并且j=r時t=0,對考慮j

當λ<μ1時,對n=1,…,r來說滿足條件一的非零實數t都存在,此時方程(2)有r對非平凡解,此時的解可以表述為:

當μj<λ≤μj+1對某個j≥1成立時,此時對n=1,…,j,條件二總成立,也就是說滿足條件二的非零實數t總存在,此時方程(2)有j對非平凡解,此時的解可以表述為:

當λ≤μ1時,與條件二構成矛盾關系,滿足條件二的實數t不存在;

圖7 在Ω=(0,1),a=0,b<0的前提下,當λ∈(μ7,μ8]時的圖像

當λ≤μ1時,與μn<λ矛盾,從而滿足條件二的實數t不存在;

當μj≤λ<μj+1對某個j成立時對n=j+1,2,…,∞,n≠i,條件一都成立,方程(2)有無窮多解形如

當λ<μr時,對n=r+1,…,∞都滿足μn>λ,從而滿足條件二的實數t總存在,此時對任意的n=r+1,…,∞,n≠i,條件一都成立,方程(2)有無窮多解可以表示為

當μr≤μj≤λ<μj+1對某個j成立時,對n=j+1,…,∞都滿足μn>λ,從而滿足條件二的實數t總存在,此時對任意的n=j+1,…,∞,n≠i,條件一都成立,方程(2)有無窮多解可表示為

3 總結與分析

文中討論含有函數型積分,函數梯度型積分以及參數型三種混合系數下的Schr?dinger方程,利用代數分析技巧羅列方程的解并給出相應的數值圖像。事實上,從方程自身而言,可以分為三種:

(ⅰ) 當b=0時,如果a=0,則存在i使得λ=μi便保證了有無窮多解,任意i都滿足λ≠μi便找不出非平凡解;如果a<0,則根據μi序列無窮正的特征,得到了非平凡解只有有限個,甚至可能沒有;而a>0時也根據μi序列無窮正的特征,得到了非平凡解數量的無窮個。

對于文中羅列的解,已經是方程(2)的所有解,雖然這看起來不可思議,但只要利用反證法,如果方程(2)還存在不同于文中所提及的其他解u(x),那么解u(x)的給定便相應地決定了某個常數

結合譜理論立馬便知道Λ一定是某個特征值。這樣便得出矛盾。由于證明矛盾的過程僅僅是利用反證法將證明過程中的情形(ⅰ)至(ⅴ)重述了一遍,因此這里便不再贅述。