基于壓縮感知的無重構時頻差提取技術

李一銘,蔡曉霞,雷迎科

(國防科技大學電子對抗學院,安徽 合肥 232007)

時頻差已經成為信號處理領域的基本問題。離散網格方法是解決該問題的主要方法,通常采用預設的多重時頻差假設,并通過互相關方法對其進行驗證。其應用涵蓋無源定位[1-2]和GPS系統[3]等許多領域。此外,為了降低時頻差提取的計算復雜度,壓縮感測(CS)理論[4]利用觀測矩陣以低于奈奎斯特速率的采樣率獲取信號。通常,壓縮感知技術由信號壓縮和信號重構[5]組成,但信號重構步驟可以簡化,基于特定構造的觀測矩陣所獲取的信號壓縮樣本可直接進行時頻差提取。

在針對實際信號的應用場景中,時頻差提取中涉及的時差和頻差參數具有一定的耦合度,需要同時考慮時差與頻差提取,但在設計時頻差提取方法的過程中,往往優先考慮時差提取。首先,對于時差提取來說,觀測矩陣的構造對于時差提取精度具有重要影響。從觀測矩陣自身構造的角度來看,可以將其分類為:(1)傅立葉基矩陣,(2)隨機矩陣,(3)Toeplitz循環矩陣。第一類觀測矩陣能夠保證其結果在理論上與Nyquist樣本估計的結果相符,但其觀測矩陣構造苛刻,需要滿足正交性和乘積可交換性[6]。第二類觀測矩陣,包括高斯型、伯努利型和三元型等,具有更好的構造靈活性[7],但是,此類觀測矩陣的隨機性過高,導致其時差提取過程中的平均正確率較低[8-9],并且每次提取時需生成高維度的隨機矩陣,整體算法運算量較高。與隨機矩陣相比,第三類隨機循環矩陣具有較低的隨機性,降低了生成時所需的計算量[10],并且其具有和第一類觀測矩陣接近的時差提取精度[11-13]。其次,對于頻差提取來說,在經典互相關[14]和互模糊函數[15]的時頻差聯合估計中,通常需要信號觀測樣本與預設頻差參數的連續序列做內積。

針對傳統方法時頻差提取耗時的問題,本文提出一種基于壓縮感知的無重構時頻差提取方法,設計了一種改進型循環矩陣作為壓縮感知的觀測矩陣,該改進型循環矩陣是融入了預設頻差參數的循環矩陣,基于此類矩陣的壓縮時頻差參數提取算法不再需要信號重構,降低了運算時間。之后,我們證明了該壓縮時頻差提取算法的時頻差可恢復性。

1 時頻差提取方法

1.1 時頻差信號模型

首先,對于兩路純凈的具有時頻差參數的信號,可以表示如下:

S(τ,Δ?)=S(t-τ)·ej[Δ?(t-τ)]

(1)

上式中,第一路純凈信號為S,第二路純凈信號為S(τ,Δ?),τ代表第二路信號具有的時延,Δ?代表第二路信號具有的頻差。

通常來說,時頻差提取至少需要由地理位置不同的兩路接收機對同一信號進行接收,其兩路接收信號的模型可表示如下:

(2)

其中,“。”代表哈德蒙積,接收機1、2接收到的信號分別為x1、x2,其中A1與A2分別代表了兩路信號的幅值,n1和n2分別代表了兩路信號的接收噪聲。

1.2 壓縮采樣處理

壓縮感知技術包括壓縮觀測和信號重構。首先,壓縮觀測可以極大地降低信號接收端對于模數轉換的性能要求,由于傳統的Nyquist定律所要求的信號重構必須滿足信號采樣速率是其理想低通帶寬的兩倍以上,而壓縮感知技術被證明可以在遠低于Nyquist速率的情況下進行采樣,那么使用壓縮觀測即可大幅降低觀測樣本維度,使得傳感器網絡或者信號接收機可以采用成本較低并且較為輕便的設備取代傳統設備。若使用壓縮感知技術,有如下信號觀測模型:

y=Φx

(3)

其中Φ代表了壓縮觀測矩陣,y代表了壓縮觀測樣本。

首先選取循環矩陣Φ0作為時差估計的基本觀測矩陣:

(4)

上式中,Φ0矩陣大小為m×n,其中的每一行標記為Φi,i=1,2,…m,φi,i=1,2,…n代表了矩陣中具有n個獨立元素,相較于傳統的高斯矩陣需要初始化m×n個隨機元素,循環矩陣初始化只需要初始化n個隨機元素。循環矩陣還具有較好的時差可恢復性,除第一行之外,每一行相較于上一行都具有循環移位,相當于信號與每一行作乘積,較上一行乘積而言,信號在采樣時序上延遲了一位,因此循環矩陣的形式可以為時差恢復提供保證。

對于頻差提取來說,一般會做如下互模糊函數:

(5)

上式中,對于離散信號而言,e-jΔ?t可看作一串預設頻差參數的連續序列f與信號樣本作內積進行頻差測量,f的具體形式為:

fΔ?=[e-jΔ?,e-2jΔ?,…e-njΔ?]

(6)

上式中,Δ?為頻差預設量。基于以上的循環矩陣和連續序列,本文提出一種改進型循環矩陣Φ作為壓縮感知觀測陣,形式如下:

Φ=[(Φ1。f0Δ?)T,(Φ2。f0Δ?)T,…

(Φm。f0Δ?)T,…

(Φ1。fpΔ?)T,(Φ2。fpΔ?)T,…(Φm。fpΔ?)T]T=

(7)

即將原先的循環矩陣Φ0作行數擴展,再對不同的其中,Φ為pm×n大小的矩陣。

1.3 無重構時頻差提取方式

時頻差提取方法一般需要足夠高采樣速率下獲得的信號樣本,以獲得高精度的參數提取效果。然而在壓縮感知技術中,若考慮對先前壓縮觀測的信號進行重構后處理,那么后端設備的時頻差提取時效性會大幅度下降,這會嚴重影響到時頻差估計的應用效果,比如在高速目標的無源定位中,如果目標的速度為1 km/s,那么時頻差提取算法的累積時長每增加0.1 s,定位誤差都會增加100 m,這對于實際應用來說,一般是無法接受的。于是我們考慮直接從壓縮觀測的樣本中提取時頻差,跳過壓縮感知技術中的信號重構步驟,從根本上提升時頻差參數提取算法的運算速度。

依據此觀測矩陣Φ的行列數目,可以給出壓縮觀測得到的樣本y的一般形式:

y=[y1,y2,…ypm]T

(8)

(9)

圖1 時頻差提取算法具體操作方式Fig.1 Detailed implementation of the proposed time-frequency difference extraction method

H1=[Iq|0(pm-q)×q]

H2=[0(pm-q)×q|Iq]

(10)

則無重構時頻差提取的模糊函數可寫作如式(11):

A(τ,Δ?)=

(11)

圖2 時頻差提取中的哈德蒙積作法Fig.2 Paradigm of Hadamard product in time-frequency difference extraction implementation

2 實驗過程和結果

本節實驗主要是為了驗證本文所提算法的可行性以及快速性,本文主要采用了10 MHz帶寬的BPSK信號進行時頻差提取驗證。首先作出了基于壓縮感知的無重構時頻差提取的模糊函數圖,之后,與傳統時頻差提取方法-互模糊函數法(Cross Ambiguation Function,CAF)進行快速性對比,最后,在不同信噪比的條件下與高斯隨機矩陣對比了時頻差提取精確度。

首先對10 MHz帶寬的BPSK信號進行時頻差提取,依照本文所提方法做出互模糊函數二維圖譜,對所提方法的可行性進行驗證,如圖3所示。

觀察上圖可知,本文所提方法相較于經典方法的互模糊函數有一定的精度犧牲。將本文所提方法與傳統的互模糊函數計算方法進行計算時長比較,在matlab R2018b的運行環境下,調用軟件自帶的互模糊函數,可得結果如表1所示。

之后,將本文觀測矩陣與高斯隨機矩陣進行了時頻差提取正確率比較,如圖4所示,藍色為本文所提方法,紅色為高斯隨機陣的測試結果,可以明顯看到,本文所提方法較高斯隨機陣具有更加穩定的時頻差提取正確率,特別是在信噪比大于0 dB后,本文方法的優勢相較于高斯隨機陣凸顯。

圖3 本文方法互模糊函數圖譜Fig.3 The spectrum of the cross-ambiguity function in the proposed method.

表1 時頻差提取計算時間比較Tab.1 Comparison of computing time cost between different time-frequency difference extraction methods

SNR/dB圖4 不同觀測陣的時頻差提取正確率比較Fig.4 Comparison of the accuracy of time-frequency difference extraction between different observance matrices

3 結論

針對傳統時頻差提取算法耗時較長,而基于壓縮感知的時頻差提取算法需要信號重構、耗時也較長的問題,本文提出一種基于壓縮感知的無重構時頻差提取算法,設計了一種新的改進型循環矩陣作為壓縮感知的觀測矩陣,依照本文壓縮方式觀測得到的壓縮信號樣本可以直接進行時頻差提取,無需進行信號重構。本文方法相較于傳統方法能夠有效降低運算量,減少運算時長。