除法新算理，讓數學課堂更精彩

彭銀航

算理和算法的關系，正如哲學中理論與實踐的關系一樣，算理是計算過程中的道理，側重解決“為什么這樣算”的問題；算法是計算的具體操作方法，其實也是簡化了的推理過程，其基本特點就是簡捷化、程式化，側重解決“怎樣算”的問題。對于學生而言，明白為什么更加重要，因為他們正處在這樣的年齡，對未知充滿了好奇。

新算理的背景

小學階段的數學老師在計算教學中要想提高學生的計算能力，重點就應該引導學生弄清楚算理，才能幫助學生更加合理地應用計算法則進行計算。各版本教材在闡述除數是小數的除法算理時，使用的是商不變規律。雖然容易理解，但是也存在一些問題：一是算式本身含義的理解只注重了倍數關系而忽略了小數的特征；二是預判商和被除數的大小關系時只注重了讓學生用發現的規律解決問題而忽略了本質的原因，因此我們有必要探究新的算理。在2022版新課標中，倡導培養學生的核心素養，我們更應該引導學生關注計算背后的算理，讓學生多思考算式背后的深層含義，這對于培養學生的數學素養是非常重要的。

新算理的探究

從整數除法的兩個基本算理出發。整數除法是學生學習除法的開始，整數除法的算理自然就成為學生理解除法最基本的算理。雖然教材中沒有明確出現“等分除”“包含除”，但是教師教學用書中還是出現了相應的說明。學生課本中的練習題也出現了相應的題目，篇幅也不小，這就說明教材編委在整數除法算理這塊還是很重視“等分除”和“包含除”這兩個最基本的算理的。我們以6÷2=3為例，進行理解。

“等分除”的重新理解。在“等分除”的背景下，6÷2=3表示把6平均分給2個1，商表示每個1獲得3。通俗地講，6表示6個蘋果，2表示有兩個大盤子，1就相當于1個大盤子，那么商就表示每1個大盤子獲得3個蘋果，如圖一。

由于每個盤子的3個蘋果來自于6個蘋果，那么商就來自于被除數，所以在“等分除”的前提下，我們可以說商表示除數是1時所應該獲得的被除數。這種對商的理解在這里顯得沒有什么，可是它在小數除法以及分數除法的理解下將發揮重大作用。

“包含除”的重新理解。在“包含除”的背景下，6÷2=3表示以2為一份，6里面包含了3個2，如圖二。

所以在這里商表示被除數里所包含的除數的個數，但是為了后面對小數除法的更好理解，我們有必要在解讀得深一點，“6÷2”中的6和2都是以1為計數單位的，也就是說被除數和除數的計數單位要相同。用學生熟悉的整數除法算理理解小數除法，本身就很有意義，這一理解對小數除法算理的重新理解非常重要。

用“等分除”理解除數是小數的除法算理。為了便于說明，我們以2÷0.4為例來探究。相較于整數除法，在“等分除”的背景下，除數很容易看成幾個幾，這也是除數是小數時用“等分除”解釋的困難所在。如果我們用小數的眼光看除數，那么0.4就可以看成4個0.1。這樣一來，2÷0.4就可以理解為把2平均分成4份，每份是0.5，只不過這里的0.5是一個0.1獲得的，如圖三所示。

通俗地講，0.4就相當于4個小盤子，0.1就是1個小盤子，10個小盤子才相當于原來的一個大盤子，那么2÷0.4的商就應該是0.5的10倍，所以2÷0.4=2÷4×10。在這里也就更加理解了商表示除數是1時所應該獲得的被除數的含義。同理72÷0.36=72÷36×100，4.2÷0.021=4.2÷21×1000等。這種算理的關鍵在于要把除數巧妙地看成幾個零點幾、零點零幾、零點零零幾等，然后要確定幾個這樣的小份是1。

用“包含除”理解除數是小數的除法算理。為了對比“等分除”的解釋，我們用“包含除”解釋時仍然以2÷0.4為例。包含除的核心是被除數里包含了幾個除數，由于直接看2里包含了幾個0.4不方便，因為2表示2個1，0.4表示4個0.1，它們的計數單位不同。所以借鑒上面的經驗，我們用小數的眼光看被除數和除數，0.4表示4個0.1，2表示20個0.1。為了形象理解，可以這樣想，每一個0.1就相當于一個蘋果，每4個0.1裝一個小袋將相當于4個蘋果裝一小袋，那么20個0.1就相當于20個蘋果，所以問2里包含了幾個0.4就相當于問20里面包含了幾個4。為了直觀，我們用圖四展示“包含除”的理解。所以“包含除”在小數除法的算理重構上主要體現在被除數和除數的計數單位統一上。

新算理的兩個應用優勢

通過我的大量教學實踐和反思，新算理有兩大優勢：一是有利于培養學生的估算能力。例如7.09÷0.52的估算，如果用“等分除”思考，可以這樣想，0.52獲得了7.09，而1里大約有兩個0.52，所以商大約是14。如果用“包含除”思考，可以這樣想，7.09大約有7個1，而每個1里大約包含2個0.52，所以7.09里大約包含14個0.52。二是有利于提高學生判斷商與被除數的大小關系時的準確率。尤其是用“等分除”中提煉的商的含義去理解會更方便，例如判斷1.97÷0.89與1.97的大小時，可以這樣思考，0.89獲得了1.97，而1比0.89大，那么1獲得的一定比0.89獲得的大，所以商大于被除數。再例如判斷1.97÷1.09與1.97的大小，可以這樣思考，1.09獲得了1.97，而1比1.09小，那么1獲得的一定比1.09獲得的小，所以商小于被除數。課本在給學生展示判斷商與被除數大小關系時，用的是讓學生從幾組算式中發現規律，然后記住規律，再應用規律。從心理學和教育學的角度看，通常隨著時間的推移，學生容易遺忘，因為這是無意記憶。從“等分除”和“包含除”的角度思考，就不會出現類似的問題，因為這是整數除法算理的延伸。

新舊算理的聯系和區別

新算理注重的是從整數除法的“等分除”和“包含除”的視角出發，通過從小數的視角把小數看成幾個幾，從而順利打通小數除法和整數除法的阻隔。教材上的算理用的是商不變規律，注重的是轉化思想的滲透。二者的聯系和區別主要有二：其一，包含除和商不變規律都是要把除數變為整數，雖然路徑不同，但是效果相同。包含除更加入微，更加叩問知識本真。在解答為什要把除數化成整數時，商不變規律顯得浮于表面，而“包含除”就顯得直擊要害，因為要便于思考把幾個幾當做一份，然后才能看出被除數里有這樣幾份。其二，“等分除”雖然與商不變規律的解釋大相徑庭，但是稍作計算上的改變，最終的形式還是可以統一的。

由此看來，新舊算理不但互相補充，又具有歸一原則。在今后的教學中，如果能用學生熟悉的知識實施教學，多一些知識間的串聯、并聯和混聯，我們的教學必將豐富多彩，也會使數學素養的理念得到真正落實，在“雙減”背景下也容易做到提質增效。

專家點評

結合教學實踐，本文作者在原有的除法教學算理的基礎上，探究出新的算理，從而豐富了學生的課堂學習。正如文中所講到的，如果教師在教學時能夠把學生熟悉的知識進行遷移，多一些“新算理”的探究和實踐，那么不管是什么課堂，一定是豐富多彩的，學生也一定興趣高漲。在新的時代背景下，希望能看到更多這樣的實踐，這樣的課堂。