以『思維』為養料讓學生自由生長
———以《探索與發現：三角形內角和》為例

文|咼楚嬌

《探索與發現：三角形內角和》一課選自北師大版四年級下冊第三單元，其學習目標為探索三角形的內角和等于180°，讓學生在探索發現的過程中體驗數學思考和探究的樂趣。根據學情分析，大部分學生已然知曉三角形內角和是180°。在這樣的情況下，作為教師我們到底要教給學生什么？筆者將以《探索與發現：三角形內角和》這一課前后兩次導入和探究過程的教學設計來談談對“教什么”“怎么教”這兩個問題的理解和設計。

一、教知識還教思維

數學到底教什么？數學教育有三個層面：第一層是把數學當作知識來教，第二層是把數學當作思維來教，最高境界是把數學當作文化來教。

1.（第一次導入設計）動畫激趣，導入課題

播放動畫：在三角形家族中似乎遇到了什么問題：“我的個頭最大，我的內角和一定是最大的。”“我最胖，我的內角和才是最大的。”“爺爺，真的像它們說的那樣，我的內角和是最小的嗎？”“這可是三角形家族的秘密！”

師：你知道三角形家族的這個秘密嗎？

生：它們的內角和是一樣的，都是180°。

師：你們都同意他的想法嗎？那在研究這個問題之前老師想先問問大家，什么是三角形的內角？什么是三角形的內角和？

生：三角形里面的角叫作三角形的內角。

師：你能上來指一指嗎？（學生上臺指出教師手上三角形的三個內角）

師：那什么是內角和呢？

生：三角形三個角加起來的度數就是內角和。

師：剛剛大家都認為三角形的內角和是180°，那我們就一起來看看它到底是不是180°。

2.（第二次導入設計）現實表演，探究爭論

課件出示：“我比你大！”“你錯了！你沒有比我大！”“看起來就是我大！不信我們比比！”“比就比！”

師：這兩個三角形情緒這么激動，它們在比什么？

生1：它們在比誰的面積大。

生2：它們在比誰的周長長。

師：你們覺得呢？

生：周長和面積一眼就能比出來大小，所以不是比這些。

師：那它們在比什么呢？

生：它們可能在比角的大小。

師：比單個角的大小也很容易比，那還有什么要爭的呢？

生：比三個角度數的和誰更大。

師：那到底誰的角度之和更大呢？為了方便大家的表達和比較，我們一起給這6 個角標上數字吧。像這樣∠1 加∠2 加∠3 的角度之和就是這個三角形的內角和。

【對比分析】

第一次設計的動畫導入，雖然畫面色彩豐富，三角形的形象生動活潑、繪聲繪色，但離學生的實際生活經驗較遠，無法引起學生的共鳴和認知沖突。站在學習科學認知負荷的角度上分析，色彩過于豐富、元素使用較多的畫面更容易增加學生的外在認知負荷，使學生無法全心全意聚焦在討論的問題里。而第二次的導入設計，只有兩個最簡單的三角形實物教具，為學生減少了非必要的認知負荷，再通過教師的生動表演，更能將學生的思維聚焦到三角形爭論的內容上。

另外，從學生的學習心理出發，一二年級學生需要生動有趣色彩豐富的導入引起注意；三四年級學生則需要“有用”的導入，即與實際生活聯系緊密，源于生活且能用于生活的情境；而五六年級學生則更喜歡具有挑戰性，或者能夠激發勝負欲、求知欲和探究興趣的問題導入。本節課屬于四年級下冊的內容，學生的思維和學習心理已經在向五年級過渡和遷移，所以在導入情境的選擇上要偏向于有挑戰性，且能夠激發他們探究欲望的問題和情境。對比第一次三角形內角和大小的爭論后，引出“你知道三角形家族的這個秘密嗎”的問題導入，第二次“它們到底在比什么”的開放性問題導入更能激發學生的好奇心和學習興趣，特別是在“比周長、比面積”這兩次回答被否定的情況下，學生的勝負欲立刻被激發，探究興趣和求知欲望會更加強烈，從而全身心投入到本節課的探究中。

最后，回到“教什么”的問題。從學科本質來看，教師到底是教知識？還是教思維？還是教文化？如果是教知識，那么教師只需用講授法將知識灌輸給學生，讓學生記住概念和方法。如果是教思維，那么教師需要通過提問題、探究活動、師生互動和生生互動去啟發學生的思維，讓學生經歷自主思考和探究的過程，明白是什么、為什么和怎么用。當然，還有最高層次的教文化，這需要教師在教學中將跨學科跨文化的知識融合到極致，能用數學的眼光看任何事情，然后將其與數學知識概念勾連起來，提煉出其中的數學思想，最后再用數學語言將其表達出來，對學生進行數學思維文化上的熏陶。

二、是石頭還是種子

在李政濤教授的《教育常識》一書里提到了“正確地做教育”則需要正確的“教育觀念”，就是正確“看教育”之后形成的見解。而“看教育”中最重要的是“看學生”，教師如何看待學生，就會采用對應的教育教學方法。到底是將學生看作是罐子、石頭或者是種子？兩次探究設計中，筆者的學生觀發生了明顯的改變。

1.（第一次探究設計）動手操作，探究問題

（1）猜測。

師：現在請大家拿出學具，按照《學習單》上的內容和小組合作要求一起看看三角形的內角和到底是不是180°吧！

四人小組合作：

①四人為一個小組，每人拿一個不同的三角形。

②同伴間合作量一量、算一算，一人記錄并完成表格。

③組內交流：你發現了什么？

姓名三角形的形狀∠1 的度數∠2 的度數∠3 的度數三個內角的和/度

師：觀察每個小組的內角和，你發現了什么？

生1：每個三角形的內角和都不一樣。

生2：量出來的三角形內角和都不是180°。

師：為什么會這樣呢？難道剛剛那個同學說的“三角形內角和都是180°”這個結論是錯的嗎？為什么有些三角形的內角和不是180°呢？

生：因為我們的測量會造成誤差，所以算出來的結果基本都不是180°。

師：那三角形的內角和究竟是不是180°呢？

（2）驗證。

師：在剛剛的活動中，我們發現盡管測量有誤差，但是結果都接近于180°，那你有更加精確的方法證明三角形內角和一定是180°嗎？

師：180°是什么角呢？

生：平角。

師：怎樣讓三角形上的三個角變成平角呢？

生：我們可以把三角形的三個角都撕下來，然后拼在一起，就能得到一個平角，所以它的內角和就是180°。

同桌兩人合作探究，通過撕一撕、拼一拼、折一折，驗證三角形內角和等于180°。

2.（第二次探究設計）小組合作，探究三角形內角度數之和

師：如何判斷誰的內角和大呢？

生：可以先量出每個角度的度數，再計算出內角和比較大小。

同桌合作：

（1）從學具袋中拿出大小三角形，一人選擇一個三角形，測量出每個內角的角度，記錄在《學習單》的表格上。

（2）選幾組同學上臺輸入測量結果（電腦自動求和）。

?

探究結果：從數據得到的三角形內角和有178°、179°、180°、181°……

師：為什么會出現這樣的情況？

生：測量時會出現誤差，有的時候量得不準確。

師：既然用量的方法無法準確判斷出哪個三角形的內角和比較大，你們還有其他的方法嗎？

四人小組合作：

利用學具袋中的大小三角形和直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形各兩個，小組內想辦法探究三角形內角和是不是180°。

小組合作匯報：

生1：將直角三角形的兩個銳角撕下來，可以拼成一個直角，兩個直角加起來就是180°。

生2：將兩個一模一樣的直角三角形拼成一個長方形，因為長方形的四個角都是直角，內角和等于360°，那一個三角形的內角和就是180°。

師：直角三角形是相對特殊的三角形，那怎么驗證銳角三角形和鈍角三角形的內角和是多少呢？

生3：將三角形的三個角撕下來，借助直尺發現三個角拼起來剛好可以拼成一個平角，從而得到三角形的內角和是180°。

生4：將三個角對折，發現三個角剛好可以拼在一起，拼湊成一個平角，從而得到三角形的內角和是180°。

小結：三角形的內角和都是180°，所以這兩個大小三角形的內角和是一樣大的。

【對比分析】

本節課是一節典型的探究學習型課，在教學過程中要注重引導學生參與探究活動，經歷發現問題、解決問題和建構知識、運用知識的過程，讓認識基于實踐，通過實踐得到提升。

通過試教，不難發現第一次的探究設計探究性不夠，提出的問題開放性和思考性都較低，并不能真正激發學生的探究欲望。而第二次探究設計以兩個問題為教學主線“如何判斷誰的內角和大呢？”“有什么方法可以驗證你們的想法呢？”以問題驅動學生的學習興趣和自主探究欲望，給足學生自主思考探究和實踐的空間，讓學生充分表達自己的觀點，發揮想象力，積極主動地參與探究活動，提升學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，體會到自主探究的樂趣和挑戰性，使學生人人有發展，人人有收獲，最終使學生的數學核心素養得到發展。

作為教師，應該“怎么教”，其實這取決于怎么看待學生。如果將學生看作罐子，那我們只需要用最簡單的方式往里面倒知識，填鴨式地將其灌滿即可；如果將學生看作石頭，我們會對其精雕細琢，把其雕刻成我們想要的樣子，但他們沒有自己的想法和思維，被動接受我們的方法和思想；但如果我們將學生看成種子，我們要做的是給其提供一片合適的土壤，施以水和肥料，然后靜待其自由生長，最終靠其自己的力量長成想要的樣子。在第一次探究設計中，因為低估了學生的探究能力，不斷地將自己的思路和方法強加給學生，不僅提供了“平角”的腳手架，還將其思維限制在“撕一撕、拼一拼、折一折”的思維框架中，現在回憶起來，就是把學生看成了一塊石頭，努力將其雕刻成筆者想要的樣子。而第二次的探究設計，學生這顆種子在筆者提供的這塊寬闊而無限制的土地上，通過平等的師生、生生交流和多維的互動，對“如何證明三角形內角和是180°”這個問題進行深入探究討論，在討論和匯報展示中努力吸取養分，最終積累了向上生長的力量。

三、課后總結

教學是促進學生生長的過程，而不是最終的結果，我們在教學中應該更加注重給學生養分，讓其靠自己的力量找到學習的價值和意義，而不是單純地將三角形內角和等于180°這個結論告訴他們。所以在開放性問題的驅動下，學生自發地去尋找解決問題的方案，主動參與到教學活動中，積極探究，從而促進學生核心素養的發展，培養學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界的能力。

其實教學相長，教學不但促進了學生的發展，也促進了教師的成長。本節課筆者經歷“思考——設計——反思——再設計”的教學設計過程，在過程中深刻地體會到一節課的設計不能局限于數學知識本身，應該跳出數學學科的框架，從多個角度來分析一節課中的所有環節，樹立起正確的學科觀和教學觀，最終做到“授之以魚，不如授之以漁”。