《圓柱與圓錐》素養進階習題設計

文|黃招杰

一、素養專項展評

1.柱體體積的聯系（巧用知識關）

（1）計算下面圖形的體積。（單位cm）

（2）這幾個圖形在體積的計算方法上有什么相同點？

（3）猜測：下面哪些圖形的體積也可以運用這種方法來計算。（）（填序號）

（4）你選中的圖形和題目中的三個圖形，從圖形的運動角度觀察，都可以經平面圖形的（ ）（填平移或旋轉）得到。

【參考答案】

（1）20×10×15=3000（cm3）

10×10×10=1000（cm3）

3.14×42×12=602.88（cm3）

（2）底面積×高

（3）①④⑥

（4）平移

【設計意圖：通過柱體體積的計算，尋找體積計算的共性，根據立體圖形特征的整體把握，遷移共性，達到圖形特征與度量的整體融合。本題考查空間觀念和幾何直觀。】

2.從生活走向數學（問題解決關）

（1）李伯伯既是一位木匠，又是一位書匠。這是他鋸下的一個木樁，他利用這個木樁給他的學生提了一些問題，如下圖所示。你知道每個問題求的是什么嗎？請在（）內填上正確的序號。

①給這個木樁打一道鐵箍，需要多長的鐵絲？（ ）

②把這個木樁放倒，在地上滾一周，所形成的面積是多少？（ ）

③把木樁放在地上，它的占地面積是多少？（ ）

④在木樁外面涂油漆，油漆面的大小是多少？（ ）

⑤計算這個木樁所占空間的大小？（ ）

A.底面積 B.底面周長

C.側面積 D.表面積

E.側面積+底面積 F.體積

（2）你可以用什么方法把這個圓柱體木樁變成另外的物體呢？老師這里提供了幾種方法，請你任選一種，自編一道能用以上數據就可以解決的數學問題。

A.鋸一鋸 B.挖一挖

C.削一削

我選（ ）：問題：我選（ ）：問題：

（3）李伯伯計劃將這個木樁改造成一個木桶，如圖所示。現要知道這個木桶最多能裝多少的水，需要測量哪些數據？我的選擇是（）。（填序號）

A.外直徑

B.內直徑

C.桶口距底面最小高度

D.桶口距底面最大高度

【參考答案】

（1）B、C、A、D、F

（2）略（開放式題目，比如①沿著直徑，往下鋸，表面積多了多少？②挖一個直徑為10cm 的最大的圓柱，剩下的體積是多少？③削成一個最大的圓錐，圓錐體積是多少？）

（3）BC

【設計意圖：利用生活中的問題，豐富學生的“實踐經驗”。第（2）題的開放設計讓不同的學生達到不同的高度。培養學生分析問題、尋找信息的能力。本題考查應用意識和創新意識。】

二、素養綜合展現

3.用數學的思維想問題（探索奧秘關）

在這個單元學完后，小明和小佳兩人就一個問題展開了研究，題目是這樣的：下面四個圖形的面積都是36。分別以長和寬為軸旋轉一周，各得到兩個圓柱體。哪個圓柱的體積最小？哪個圓柱的體積最大？你有什么發現？

（1）先從簡單開始，研究一個圖形。

繞長旋轉：長方形的長是圓柱的（），寬是圓柱的（）。

繞寬旋轉：長方形的長是圓柱的（），寬是圓柱的（）。

（2）計算體積。

小明是這樣算的：

繞長旋轉：

V=sh=3.14×22×18=226.06

繞寬旋轉：

V=sh=3.14×182×2=2034.72

小佳是這樣算的：

繞長旋轉：

V=sh=3.14×2×2×18

繞寬旋轉：

V=sh=3.14×18×18×2

小明說：“你沒有算出得數，不能比較體積的大小。”

小佳說：“我從算式中就可以看出來哪個大、哪個小，不用計算出結果。”

你同意誰的說法？能說說你的理由嗎？

（3）要根據不同的情況選擇不同的策略來解決問題。

現在我們的研究結論是：繞寬旋轉的圓柱體積（ ）繞長旋轉的圓柱體積。然后我們還發現在比體積哪個大、哪個小的時候，就是在比兩個圓柱的（ ），（ ）越長，體積越大。

（4）猜測：①號圖形的結論可以應用到②號、③號嗎？能說說你的想法嗎？

（5）結論：我們會發現每個圖形都是繞（ ）旋轉的時候，圓柱體積比較大。在這四個圓柱里面，哪個體積是最大的呢？

猜測：（ ）越長，體積越大。

（6）驗證：小明也這樣進行比較：請你在算式中，將決定體積大小的數圈出來。

V1=18×18×2×π

V2=12×12×3×π

V3=9×9×4×π

V4=6×6×6×π

（7）結論：我發現了：（ ）號長方形繞（ ）旋轉體積最大。同樣可以類推：（ ）號長方形繞（ ）旋轉體積最小。注意：結論的成立，前提是長方形的面積都得相同。當我們要研究一個比較復雜的問題時，通常需要從簡單的問題入手，經歷猜測、驗證、再猜測、再驗證的過程。

【參考答案】

（1）高，半徑；半徑，高

（2）同意小佳：都有3.14×2×18，18＞12，所以繞寬旋轉體積大。

（3）＞，半徑，半徑

（4）可以

（5）寬，半徑

（7）①寬；①長

【設計意圖：學會將復雜問題化成若干個簡單問題，經歷猜測、驗證、再猜測、再驗證的反復過程，注重合情推理和演繹推理的融合，掌握數學研究的一般方法，得到正確的結論。本題考查空間觀念、推理意識和創新意識。】