模型建構明本質 組塊教學促思維

文|章威維 陳楚楚

一、習題展評

●習題一

1.習題內容

積的末尾有（ ）個連續的0？

你是怎么想的：___________

2.能力指向

利用2×5=10 這個組塊，可以知道1 個2 和1 個5 的乘積末尾有一個0，促使學生能根據乘法結合律，把2022 個2 和2022 個5進行結合，是乘法結合律的拓展應用。

3.學情分析

對鄉鎮小學42 名學生進行了后測，發現集中分為了兩個水平層次：第一個水平層次是把2022 個2 和2022 個5 相乘理解為相加，得出算式是（2022×2）×（2022×5），積的末尾有1 個連續的0，占比為52.4%。第二個水平層次就是完全看懂題意，能根據2×5=10 這個組塊，知道一個2 和5 相乘得到1 個10，所以2022 個2 相乘與2022 個5 相乘得到的積的末尾有2022 個0，占比是42.9%。

●習題二

1.習題內容

定義運算※為a※b＝a×b－（a＋b），求（8※2）※4 和8※（2※4）。

觀察上面算式，說一說，這個運算“※”有結合律嗎？

2.能力指向

對新運算中結合律的判定，學生能根據新運算理解字母表示的意義，培養學生的符號意識，并且能根據新運算進行計算，根據結果判斷是否有結合律。

3.學情分析

測評統計顯示，66.7%的學生處于直觀感知階段，即從這個算式的形式上觀察，（8※2）※4和8※（2※4）的結構符合乘法結合律的結構就覺得有結合律，而沒有從結果是否相等去考慮，缺乏對運算律本質的理解。19%的學生覺得沒有結合律，但說不出具體的理由，原因是對這個新運算的理解存在困難，也是憑感覺得出這樣的算式沒有結合律。只有12%的學生能根據這個運算算出結果，進而判斷這個算式沒有結合律。

●習題三

1.習題內容

兩個或幾個數相乘，結果是整十、整百或結果比較簡單的，我們就把這些數進行組塊。如25×4=100，25 和4 就是一組組塊；125×8=1000，125 和8 組成組塊；7×11×13=1001，7、11 和13 三個數也組成組塊。利用數組塊，根據乘法交換律和結合律，可以使計算更加簡便。下面計算，先找找數組塊，再進行簡便計算。

23×125×4×8 77×13×5

143×49

2.能力指向

靈活利用數組塊，進行簡便計算。考查學生的數感和運算能力，能對特殊數進行組塊或拆分，從而使計算更加簡便。

3.學情分析

根據學生解答的具體表現，劃分為四個水平層次，如下表1。

表1

測試班級學生的水平大多集中于水平1 和水平2。87.5%的學生都能解答第一道計算題，主要是125×8=1000 這個組塊在平時的教學中比較常用，這也說明大部分學生了解組塊搭檔能便于計算。而55%的學生處于水平2 和水平3，能接受新組塊的計算運用，但當這個組塊是存在于結合的數字中，需要分解出來時，提高難度的數字如143，學生就不易發現，所以只有14.3%的學生三題全對，說明對數中所隱含的組塊不敏感，數感缺失。

二、教學建議

1.經歷“猜—證—用”教學過程，模型建構明本質

對乘法交換律和結合律模型思想的建立，有前期加法交換律和結合律的認知正遷移，可以讓學生自覺經歷“猜想——驗證——應用”的活動過程，發展學生的推理意識。在運算律的驗證環節中，學生容易出現沒驗證而出結論的現象。如直接感覺18＋67＋34＝18＋（67＋34），并沒有進行結果的計算。應讓學生經歷左邊算式的計算與右邊算式的計算，因為結果相等，所以這兩個算式才可以用“＝”連接。通過這樣的不完全歸納法的推理過程，逐漸建立乘法交換律和結合律的模型，明晰運算律的本質。然后在驗證新運算是否具有交換律的過程中，學生就會自覺地通過形式和結果兩個方面的對比來進行判斷，增強推理意識。

2.采用“認—拓—創”練習活動，組塊教學促思維

運用運算律，使計算簡便，組塊教學更能體現學生的數感和運算能力。采用“認識——拓展——自創”的練習活動過程把浮于表層的知識進行內化鞏固，建立規律型數學知識的完整知識網絡。如乘法結合律中的簡便運算需要一些數字組塊的儲蓄，常用的有“125×8”“25×4”“25×8”等組塊，利用這些組塊，可以使計算更加簡便。但長久的應激性練習，也容易使學生的思維固化，以為只有這些組塊可以簡便計算，需要進行數組塊的拓展。如新的組塊“7×11×13=1001”在對77、91、143 這些數的感覺中，復現7、11、13 這些數的拆解和組合，并在計算中感知組塊的真正作用。拓展之后便是讓學生自主創造組塊鞏固內化，自創中加強學生知識遷移能力，發展學生的思維，增強數感，提高運算能力。