從“邊界突破”到“無中生有”
——小學數學創新意識培養的路徑思考

文|蔣守成（特級教師）

創新人才的培養是新時代的教育責任和使命，而創新人才的培養不獨指少數天才學生的培養，更指向培養每一位學生的創新意識、創新思維和創新能力的教育實踐，數學作為基礎學科對支撐引領創新驅動發展的源頭供給能力有重要意義。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）將“創新意識”列為數學課程要培養的重要核心素養之一，那么如何理解數學創新意識？我們的數學課程如何培養學生的創新意識？筆者進行了以下思考。

一、數學創新意識的內涵分析

2022年版課標在前版課標的基礎上對創新意識的內涵有了更科學完整的表述，主要表現在三個方面：一是主動嘗試從日常生活、自然現象或科學情境中發現和提出有意義的數學問題。學生有如饑似渴的求知欲，能主動提出有價值的新問題，這是創新的基礎。二是初步學會通過具體的實例，運用歸納和類比發現數學關系和規律，提出數學命題和猜想，并加以驗證。學生有與眾不同的思維力，能發現新關系，提出新思路，這是創新的核心。三是勇于探索一些開放性的、非常規的實際問題和數學問題。學生有別具一格的創造力，直面新挑戰、獲得新見解，這是創新的能力。創新意識的培養可以促進學生形成獨立思考、敢于質疑的科學態度和理性精神。

數學創新意識的培養就是要讓學生發現以前從未意識到的數學與數學之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的新關系，通過數學構建出以前從未有過的新想法、新事物，提供看待、思考和表達世界的新視角、新工具。這些新關系、新想法、新事物、新視角、新工具，擴展、深化、改變學生對數學世界和自我的理解，不斷地突破邊界，發現更大的數學世界，從而發現更大的世界。

二、創新意識培養的路徑思考

創新意識產生在解決問題的過程中，這個過程極為特別又具有創造性。想得到最后的答案，必須通過循序漸進的理解和思索，其過程如同知識產生和發展的過程，不能強求而得，是一個“邊界突破”的過程，是一個“無中生有”的過程，也是一個造就創新思考的快樂過程，每一個靈光乍現都像一次完美的演出，每一個問題的成功解決都是從大腦皮質“綻放的煙火”。

（一）邊界突破，發現以前從未意識到的新關系

1.突破路徑依賴，發現數學知識間的新關系

路徑信賴就像物理學中的慣性，一旦進入某一路徑（無論好壞），形成經驗，就可能對這種路徑產生依賴。這種慣性的力量，總是讓學生選擇一條不斷自我強化且輕易不愿走出去的路。如何突破？我們通過主題活動、創新實踐等方式讓學生的認知改變在不經意間出現。例如，人教版六年級下冊教學完“圓柱體的體積”后，教材安排了這樣一個問題（如圖1）：

圖1

下面4 個圖形的面積都是36dm2。用這些圖形分別卷成圓柱，哪個圓柱的體積最小？哪個圓柱的體積最大？你有什么發現？（單位：dm）

我們發現學生遇到有挑戰性的問題，大多是根據已有的解決問題路徑，先通過具體的數據計算得出結論：以長為底面周長時卷成的體積大，但是還沒有發現內在的本質結論。這時學生產生了新問題，通過計算來判斷太麻煩了，能不能不計算就發現怎么圍哪個圓柱體積最大？四個長方形的面積都相等，也就是圍成的圓柱體的側面積都相等，側面積和體積有什么關系？如何促進學生敢于跳出經驗的路徑，避免經驗依賴，借助經驗生成多維思維，向著創新的目標前行，我們以學生的問題為研究主題開展了“圓柱體體積再研究”主題學習活動，促進學生在對圓柱體有更系統的認識的基礎上發現內在的新關系，找到解決問題的新路徑。

首先，構建計算圓柱體體積方法的新系統。圓柱體的體積是由長方體的體積轉化而來的，因為長方體有三個不同的面，所以體積計算有三種不同的表達形式，由此推斷圓柱體的體積計算應該也有三種不同的表達形式，讓學生構建計算體積方法的新模型，探尋圓柱體各部分的新關系，獲得解決問題的新路徑。如果將拼成的長方體翻轉，即原來圓柱側面積的一半作底，就可以得到新的方法，側面積的一半乘底面半徑（如圖2）。

圖2

學生運用這種方法來解釋為什么以長邊為周長卷出來的圓柱的體積大。同樣會有本質的發現：側面積相等（都是36 平方分米）的情況下，半徑越大，體積越大。所以不用計算，在四個圖形圍成的7 種不同的圓柱中，第一個圖形長邊18 分米為底面周長時體積最大，也是第一個圖形短邊2 分米為底面周長時體積最小。同樣道理，將長方形分別以長和寬為半徑旋轉形成的圓柱體哪個大？（如圖3）通過推斷得到新的計算體積的方法，軸截面積的一半乘底面周長的一半，因為軸截面積相同，所以底面周長越長，體積就越大，這樣推斷出結論既方便又理性。

圖3

通過教材中的這個問題，讓學生了解到圓柱和長方體的體積之間還有如此豐富的內在聯系，打破了學生已有的路徑依賴。

承德市營子區濱河路小學位于鷹手營子礦區東北部，坐落在柳河之濱。建校六年來，學校始終抓住培養學生創新精神和實踐能力這條主線，以太空種子種植為龍頭，以機器人教育創新活動為平臺，打造科技創新示范校，取得了驕人的成績。

又如，我們在五年級設計了“畫正方形”主題學習活動，要求學生在5×5 的方格圖上（每個小方格的邊長為1 厘米）畫一個正方形，并且畫出的正方形的頂點都在格點上。學生根據已有的經驗和思維慣性很快畫出了五個邊長分別是1 到5 厘米的正方形，學生說太簡單了，沒有挑戰性。這時教師提出：要求不變，再畫一個和剛才畫出的正方形都不一樣的正方形。學生的創新意識立刻被激發出來，發現除了可以正著畫還可以斜著畫，畫出了面積為2 平方厘米、5 平方厘米等大小不同的正方形（如圖4），引發了學生的進一步探索，學生利用平移、旋轉等方式證明這個正方形面積為2 平方厘米的同時發現它的邊長在1.4 厘米至1.5 厘米之間，其實這就是無理數，數學歷史上無理數的發現還引發了數學界的“第一次危機”。面積為5 平方厘米的正方形就是古代數學家趙爽的弦圖，用這個圖還可以證明勾股定理。按熟悉的路徑解決問題是一般的方法，是穩定的解決方案，但缺乏創意和創新，需要學生打破固有的思維定式，不斷發現形與形之間、數與數之間、數與形之間的新聯系和新關系。

圖4

2.突破固有認知，發現跨學科知識間的新關系

喬布斯曾經說過，創新就是把不同的事物聯系起來。數學家皮埃爾·德利涅更是強調：“在數學中，當你發現兩個看似沒有共同之處的東西事實上相互關聯是一種樂趣，而在兩個問題之間建立一個支點則是一個強大的工具。”可見，數學學習中如果能突破固有認知，把不同領域的知識、方法和思想關聯融合，讓學生探索跨領域、跨學科知識間的內在聯系，不僅可以提升學生解決真實問題的能力，還能培養學生的創新意識和創新能力。

例如，我們在六年級開展了“你的書包超重了嗎？”項目化學習活動，學生關于“超重”的概念并不陌生，從“人的超重”到“物體的超重”無不意味著某個平衡標準被打破。例如人超重則比較肥胖、電梯超重則不能正常運轉、卡車超重則會被罰款，經驗告訴學生“超重現象”一般是超過了某個固定重量，而不是相對重量。“你的書包超重了嗎？”項目化學習活動突破了學生的固有認知，學生主動提出并解決了三個問題：“自己的書包是否超重？”“書包超重的標準是什么？”和“書包超重了，該怎么辦？”學生經過獨立思考、小組合作，商議并制定初步方案，在實驗探究中結合變量“書包重量”“脊柱彎曲度”從兩個維度分析問題，發現了書包超重的標準不是固定的，它與人體的體重有關，超過人體重量的10%～15%即為超重。如果書包超重了，該怎么辦？學生的方法主要可以分為兩類：一類是減輕書包的重量，另一類是增強自己的力量，并提醒自己要懂得整理規劃，保持良好的學習習慣，還督促自己要勤于鍛煉，增強體魄。實驗探究不僅保持理性本質，還融入了健康生活、體育鍛煉的積極因素。

以“書包超重”為主題組織跨學科項目化學習活動，深度鏈接“數學”“體育與健康”和“心理健康”等不同學科，在挑戰復雜問題的過程中獲得新體驗，提出新問題，形成新聯系。

（二）無中生有，構建出以前從未有過的新想法、新事物

老子說：“反者道之動，弱者道之用。天下萬物生于有，有生于無”，即萬物都是從“無”中產生的。無中生有，是整個人類歷史發展的一個過程，也是很多創新能夠完成的基礎。無中生有并不完全是從虛無當中來，而是在個體或組織已有思考的基礎構建出來以前從未有過的新想法、新事物。

1.無中生有，新想法提供思考問題的新視角

無中生有，就是要促進學生像數學家那樣去思考，創造性地去思考問題、探索規律，產生新思路，獲得新見解，用新思路、新見解來觀察和思考現實世界。

例如，在學校六年級質量調研中呈現了這樣一個問題：“二戰”期間，為了加強對戰機的防護，英美軍方調查了作戰后幸存飛機上彈痕的分布（如圖5），決定哪里彈痕多就加強哪里。然而統計學家沃德力排眾議，指出更應該注意彈痕少的部位，事實證明，沃德是正確的。請同學們寫出統計學家沃德正確的理由。學生像統計學家沃德一樣去思考，認為幸存飛機上彈痕少的部位，就是受到重創不能返航的戰機上彈痕多的部位，所以要加固幸存飛機上彈痕少的部位。這樣從看不見的數據中發現看得見的真相。

圖5

又如，在研究數學游戲學家杜德尼發現的“省刻度尺”（如圖6）時，學生發現一把5 厘米長的直尺省了兩個刻度（1 和3）照樣可以量出1 到5 厘米所有的刻度，覺得很神奇，發現“少”可以表示“多”，“省”是一門學問，也是一種創新。由此學生帶著這樣的新想法去思考，為什么公頃和平方米之間要省掉一個計量單位公畝？為什么人民幣有1 元、5 元的幣值，而沒有3 元和4 元呢？為什么有了厘米和米，還要學生活中很少用到的分米呢？引發學生產生更多的問題，進行持續的研究。

圖6

2.有中生優，新事物提供解決問題的新工具

有中生優，就是要求每位學生在問題解決的過程中從有方法，到方法多，再到方法優的過程；就是不把“之一”當“唯一”，精益求精，不斷創新，探尋解決問題的新路徑，發現解決問題的新工具、新方法，從而發現新關系、新規律，形成新觀念，甚至創造出新事物。

例如，蘇教版六年級下冊“綜合與實踐”——大樹有多高的教學。經過學習，學生掌握了通過影長算出大樹高度的一般方法。“工業4.0 時代”帶來了新技術，為創新提供了新工具，用手機軟件按一定的操作要求拍下大樹照片，就能自動算出大樹的高度，新工具超越了每個人的想象。新工具孕育新思路，即便學生不能熟練運用這項技術，拍下一張簡單的“合影”，根據自己的身高，運用比例的知識也能算出大樹的高度，助推思維層面的創新。讓“稚嫩”的創想茁壯成長，從“創想”到“創作”經歷創造的全過程，在和合發展、開放自由的環境里發展學生的創新意識。在前期問卷調查中，不少學生提出先將風箏放到和大樹一般高，再根據風箏線的長度推算大樹的高度的想法，創意無限，學生總能給我們帶來意料之外的驚喜。然而很快便有學生提出質疑，認為這項方法由于風箏角度的偏差會導致誤差較大。反向追問，那么角度對測量大樹高度有幫助嗎？答案是肯定的，不妨基于相同時間樹高和影長成正比例的原理教會學生用大拇指測量高度，乃至自制簡易的“測量工具”，讓誤差成為創新進一步生長的土壤。

又如，六年級學生開展“樹葉的面積有多大？”數學主題活動時，學生經歷了借助方格圖估算樹葉的面積（如圖7），還經歷了借助綠豆轉化成長方形來求面積（如圖8）。但這兩種方法得到的面積都不精確，有什么辦法可以求出樹葉精確的面積？通過實驗學生發現任意兩塊材質相同、厚度相同的木塊，它們的面積和重量成正比例，也就是說第一塊木塊的重量是第二塊木塊的幾倍，那么第一塊木塊的面積就是第二塊木塊的幾倍，由此發現了“稱重法”求樹葉的面積，將求樹葉的面積轉化成稱重量（如圖9）。

圖7

圖8

圖9

“稱重法”將數學和物理聯系了起來，實現了思維的跨界，這種方法的價值不僅是方法上的創新，解決了精確求出不規則物體面積的方法，更是思維方式的創新，引發了學生持續創新的熱情。學生從數學閱讀中還知道了一種蒙特卡羅法：考慮平面上一個邊長為1 的正方形及其內部的一個形狀不規則的“圖形”，如何求出這個“圖形”的面積呢？蒙特卡羅法是這樣一種“隨機化”的方法：向該正方形“隨機地”投擲a 個點，有b 個點落入這個不規則圖形中，則該圖形的面積近似為，學生還在網上查找了相關資料和研究，嘗試用統計的方式來求樹葉的面積，引發了學生對用“統計與概率”解決“圖形與幾何”等其他問題的思考，為什么可以這樣做？背后的原理是什么？

哲學家叔本華說：“世界上最大的監獄，是人的思維意識。”不得不承認，有時候限制住創新意識和創新思維的正是自己的思維，這就需要我們讓學生直面復雜問題的真實情境，跨越固有認知障礙，進行跨界聯結，實現“邊界突破”，達成“無中生有”，能夠提出新問題，生成多維思維，開辟新思路，達到新境界，向著創新的目標不斷前行。