用問題引領 促規律探索
——《多邊形的內角和》教學設計與思考（一）

文|劉萍萍

【教學內容】

蘇教版四年級下冊第96、97 頁。

【教學過程】

一、基于經驗，提出問題

師：回憶一下，我們是怎樣得到三角形內角和的？

生：用量角器量出三個角的度數相加得到三角形的內角和是180°。

生：把三角形的三個角撕下來拼在一起，發現其內角和是180°。

師：知道了三角形的內角和是180°，你能想到什么問題呢？

生：四邊形、五邊形、六邊形的內角和是多少？多邊形的內角和有沒有什么規律？多邊形的內角和是怎樣計算的……

師：大家提出的問題都很有研究價值。今天我們一起研究“多邊形的內角和”。

【設計意圖：學生經歷過三角形內角和的探索過程，激活學生的舊知，在交流中啟發學生提出問題，用問題引導學生進行“多邊形的內角和”的規律探索活動。不僅明確了本課活動的目標，更激發了學生參與探索活動的積極性。】

二、嘗試研究，明確方法

1.探索任意四邊形的內角和

（1）自主探究

師：想先研究哪個多邊形？

生：四邊形，因為它的邊數少。

師：從簡單情況想起，很好。誰能大膽猜測一下四邊形的內角和？

生：四邊形的內角和是360°，因為長方形和正方形都是四邊形，它們的四個角都是直角，四個角的和是360°。

生：但長方形和正方形是特殊的四邊形，它們是360°，也不能說明所有的四邊形都是360°。

師：是啊，一般的四邊形是不是360°呢？大家可以根據研究要求自主研究。

（2）匯報交流

生1：我們組是用量一量的方法研究的。我們分別測出手中四邊形的四個角是30°、150°、30°、150°，加起來就是360°。

生2：我們組是用拼一拼的方法研究的。我們把四邊形的四個角全部剪下來，剛好能拼成一個周角，也就是360°。

生3：我們組是用分一分的方法研究的。我們把四邊形分成兩個三角形，因為每個三角形的內角和是180°，兩個180°就是360°，所以這個四邊形的內角和是360°。

師：聽明白了嗎？有什么疑問？

生：明明是兩個三角形的內角和，為什么又是四邊形的內角和？

師：問得真好！誰能在圖上描一描、畫一畫，回答這個問題呢？

生：大家看（出示圖1），∠1、∠2、∠3 是一個三角形的三個內角，∠4、∠5、∠6 是另一個三角形的三個內角，這六個角的和正好是四邊形的內角和。

圖1

師：你是怎么想到把四邊形分成兩個三角形的？

生：三角形的內角和為180°是我們學習過的知識，因此，我就想能不能將四邊形轉化成三角形來思考，于是就將四邊形分成了兩個三角形，沒想到真的可以。

【設計意圖：先讓學生獨立自主地進行方法探索，出現不同的方法都是“原生態”的思考。基于已有的知識經驗，在前面的學習中積累了求“三角形的內角和”的學習經驗，且多次進行過用三角形拼四邊形或把四邊形分成兩個三角形的活動。因此，在操作及交流啟發下學生想到測量角度、剪拼內角、分割為兩個三角形求和等計算四邊形的內角和的方法。再經過交流、比較，學生對多種方法的認識會提升一個臺階，發現不同方法的優劣，從而優化方法，并思考后續問題的解決，可以為后面的高效探索服務。】

2.探索任意五邊形的內角和

（1）遷移方法，展示研究

師：下面你們想研究哪個圖形的內角和？準備怎么研究？

生：研究五邊形的內角和，可以把它分成幾個三角形進行研究。

生1：從頂點開始（如圖2），把五邊形分成三個三角形，三個三角形的內角和就是五邊形的內角和。

圖2

生2：我從五邊形內找一點進行分割（如圖3），五邊形被分成五個三角形，要計算五邊形的內角和，還要把中間這個周角減掉。

圖3

師：為什么要把周角減掉？

生2：因為這個周角不是五邊形的內角。

生3：我從邊上找了一點分割（如圖4），把五邊形分成了四個三角形。這四個角組成的平角不是五邊形的內角，所以要減掉180°。

圖4

（2）比較方法，提升認知

師：剛剛同學們用不同的分法都探究出了五邊形的內角和，有什么相同的地方？

生：都是分成了三角形，通過三角形的內角和計算出五邊形的內角和，都是540°。

師：探究四邊形的內角和時，大家用了不同的方法，為什么現在大家不約而同地選擇用“分三角形”的方法？

生：測量法會有誤差，而且角越多誤差就越大；撕拼法比較費時間，也不太方便；把四邊形分割成三角形后計算，簡單又方便。

生：三角形的內角和我們已經知道了，所以只要通過分一分、算一算就能知道五邊形的內角和。

師：看來，我們要善于用好已經得出的規律去探索新的問題。那么，同樣是“分三角形”，這幾個作品又有什么不一樣呢？

生：分法不同，分成的三角形的個數也不同。

生：我喜歡第一種分法，分出的幾個三角形的內角和正好是五邊形的內角和。第二種、第三種分法分出的三角形的內角中，有的不是原來五邊形的內角，所以后面還要減去，有些麻煩。

生：從頂點出發分三角形不會出現多余的角，計算比較簡便。

【設計意圖：“分三角形”的方法是學生自我感悟而得，更真實。而把一個五邊形分成方便計算內角和的三角形，部分學生可能存在一定的困難。因此先讓學生自主探索，再組織交流，了解不同的分法。教學中給學生足夠的時間對自己的研究方法進行交流、討論，在對比中優化。這樣，全體學生參與活動，經歷了知識的發生發展的過程，體現了學習的主體性。同時，避免部分學生在探索過程中成為“看客”和“聽眾”。】

三、深入研究，發現規律

1.互相合作，填表整理

出示要求：

（1）選擇一個多邊形分一分，算一算。

（2）組內交流你的發現。

（3）匯總數據，填寫表格。

2.觀察表格，發現規律

我研究的多邊形邊數分成的三角形個數 多邊形內角和六邊形64180°×4=720°七邊形75180°×5=900°八邊形86180°×6=1080°……………………

師：觀察表格，你有什么發現？

生：我發現分成的三角形的個數越多，內角和也就越大。

生：我發現內角和就是分成的三角形的個數乘180°。

生：我發現分成的三角形的個數比多邊形的邊數少2。

師：為什么分成的三角形的個數比多邊形的邊數少“2”呢？請同學們觀察圖形想一想。

生：因為從多邊形的一點出發，它不能與自己相鄰的兩個點連線，所以分成的三角形個數比邊數少2。

3.歸納總結，建構模型

師：你能用一個式子表示多邊形內角和的計算方法嗎？

生：多邊形的內角和=180°×（邊數－2）。

生：多邊形的內角和=180°×（n－2）。

師：這里的n 表示什么？

生：多邊形的邊數。

【設計意圖：引導學生以小組合作的形式，把任意的多邊形分成幾個三角形，計算每個多邊形的內角和，并列表整理所獲得的數據，學生經歷了探索、發現規律的過程。接著啟發學生觀察表中的數據，發現規律。在交流中幫助學生理清思路，發現計算多邊形內角和的基本方法，獲得一般性的規律。發現規律后，啟發學生用一個式子把所發現的規律表示出來，幫助學生初步體驗數學表達的嚴謹性和簡潔性。】

四、回顧反思，溝通聯系

1.回顧總結，交流體會

師：在探索和發現規律的過程中，你有哪些經驗要分享？

生：把多邊形分成三角形，可以推算出它們的內角和。

生：從四邊形、五邊形、六邊形開始想起，多邊形的邊數越來越多，但規律是相同的。

生：n 邊形的內角和=180°×（n－2）。

2.立體切換，多維溝通

師：用乘法分配律將多邊形的內角和公式變一變，180°×（邊數－2）=180°×邊數-180°×2=180°×邊數-360°，你又有什么發現？

生：從多邊形中間任一點出發，幾邊形就可以分割成幾個三角形，但內角和多一個周角，所以減去360°才是原多邊形的內角和。

生：從多邊形邊上任意一點出發分割，分出的三角形比邊數少“1”，同時還多出了一個平角，所以原圖形的內角和是180°×（邊數-1）-180°=180°×邊數-360°=180°×（邊數-2）。

師：根據“多邊形內角和=180°×（邊數-2）”這個規律，你能提出什么問題考考伙伴呢？

生：二十邊形的內角和是多少？

生：有沒有內角和是1000°的多邊形？

【設計意圖：通過經驗分享讓學生主動回顧總結。在反思、交流中，幫助學生進一步整理在探索多邊形內角和計算方法過程中積累的經驗，感悟類比、歸納、轉化等思想方法，發展初步的問題意識、探索意識和創新意識。本環節沒有將目標局限在探究出多邊形內角和的通用公式，而是通過乘法分配律溝通多種分割方法之間的聯系，學生深刻體會到分割方法的多樣性和數學結論的一般性，提升觀察、比較、歸納等多項能力。】

【教學反思】

亞里士多德說“思維自疑問和驚奇開始”。數學過程是一個不斷發現問題、分析問題、解決問題的動態化過程。好的問題能誘發學生的學習動機、啟迪思維、激發求知欲和創造欲。

1.問題引領學習

課始，學生在回顧三角形內角和的學習過程的基礎上，教師以問題啟思考，激發學生產生探索多邊形內角和的學習需求，從而以飽滿的熱情投入到探索與研究之中。此外，在探索規律時，引導學生遵循一般的由簡入難的規律，從四邊形、五邊形到其他多邊形的探索，隨著數學思維的不斷進階，學生能夠持續保持探究興趣。

2.發展模型意識

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“模型意識”里指出：“數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑。”課堂中，首先探索四邊形的內角和時，學生經歷自主研究的過程，獨立研究出度量法、剪拼法、分割法等不同的方法，體會到了數學探究方法的多樣性，并在交流中將方法優化。接著，在探索五邊形內角和時，學生雖然都使用了分割法來進行研究，但是方法各不相同，教師尊重學生的個性化思維，適時引導學生加以理解。最后在總結環節，借助乘法分配律這一知識將學生的幾種不同分割方法進行有效串聯，更有效幫助學生認識數學方法間的內在聯系，有助于學生初步形成模型意識，提高學習數學的興趣和應用意識。