紅細胞超彈性變形特性的有限元分析

王穎 桑建兵 馬鈺 付博偉

摘要 人類健康的紅細胞具有較強的變形能力，對其力學性能進行研究并揭示其變形機理是生物力學領域重點關注的課題之一。論文采用SolidWorks軟件建立了雙凹形紅細胞的三維有限元模型，并對其光鑷拉伸過程和原子力顯微鏡納米壓痕過程進行了有限元仿真，分別得到了紅細胞整體和局部的變形特征與應力分布規(guī)律。細胞膜的本構模型采用neo-Hooken超彈性材料，基于神經(jīng)網(wǎng)絡對細胞膜的本構參數(shù)進行了預測，得到了能夠準確描述細胞膜變形行為的材料參數(shù)。研究結果可以用來對紅細胞的變形能力進行評估，所搭建的神經(jīng)網(wǎng)絡模型能夠較好地為生物力學的實時多尺度預測提供技術上的支持。

關 鍵 詞 紅細胞；超彈性；有限元模擬；神經(jīng)網(wǎng)絡；力學性能

中圖分類號 Q27? ? ?文獻標志碼 A

Finite element analysis of hyperelastic deformability of

red blood cell

WANG Ying， SANG Jianbing， MA Yu， FU Bowei

（School of Mechanical Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin 300401， China）

Abstract Human healthy red blood cells have strong deformability. It is one of the key topics in the field of biomechanics to study their mechanical properties and reveal their deformation mechanism. In this paper， the three-dimensional finite element model of double concave red blood cells is established with SolidWorks software， and the finite element simulation of the stretching process of optical tweezers and AFM indentation process are carried out， and the whole and part of deformation characteristics and stress distribution law of red blood cells are obtained respectively. The constitutive model of cell membrane uses neo-Hooken hyperelastic material. Based on neural network， the constitutive parameters of cell membrane are predicted， and the material parameters that can accurately describe the deformation behavior of cell membrane are obtained. The results can be used to evaluate the deformability of red blood cells. The neural network model can provide technical support for real-time multi-scale prediction of biomechanics.

Key words red blood cell; hyperelastic; finite element analysis; neural network; mechanical properties

0 引言

人類紅細胞是通過血管輸送氧氣的主要工具，通過清除血液中的廢物而起到免疫系統(tǒng)的作用[1]。平均直徑約為8 μm的正常紅細胞呈兩面中間凹的雙凹形，使其能最大限度地吸收周圍的氧氣。在人體內(nèi)循環(huán)時的典型壽命為3個月[2]，期間不斷通過直徑小于其一半的狹窄血管[3]，這就要求紅細胞具有足夠的柔韌性。細胞膜由磷脂雙層、細胞骨架和跨膜蛋白組成，細胞膜的結構和性質對紅細胞的變形能力有很大的影響，這取決于細胞骨架的抗拉伸和抗剪切能力以及雙層的抗彎曲能力[4]。許多與血液相關的疾病與紅細胞的幾何結構和膜特性的變化有關，影響紅細胞的變形能力。因此，研究紅細胞的彈性和變形性能具有重要意義，這是研究紅細胞微觀力學性能的基礎。考慮到神經(jīng)網(wǎng)絡在生物力學中材料參數(shù)預測上的廣泛性，本研究將神經(jīng)網(wǎng)絡算法用于對紅細胞膜材料參數(shù)的預測上。1972年，Evans等[5]估計了懸浮在不同滲透壓溶液中紅細胞的平均橫截面形狀，并給出了紅細胞的平均雙凹形狀函數(shù)。2003年，Dao等[2]在三維有限元分析框架內(nèi)，通過對彈性和粘彈性行為的幾種不同本構關系，分析了細胞在加載和釋放光力時的力學響應，以提取細胞膜的彈性特性，將實驗和計算分析的結果與其他獨立實驗技術獲得的有關紅細胞機械響應的信息進行了比較。2017年，Barns等[6]用AFM壓痕法和粗粒法研究了紅細胞的力學性能。2018年，Liu等[7]使用機器學習方法估計主動脈壁的體內(nèi)本構參數(shù)，利用有限元仿真的數(shù)據(jù)集，建立了兩個加載形狀與本構參數(shù)之間的非線性關系。本文用有限元法對紅細胞受光鑷拉伸及AFM壓痕進行有限元仿真，并結合神經(jīng)網(wǎng)絡算法研究雙凹形紅細胞基本變形能力。

1 紅細胞有限元模型的建立

1.1 用于光鑷拉伸的紅細胞模型

1972年Evans和Fung從實驗觀察中總結歸納了有關紅細胞形狀的幾何數(shù)據(jù)，歸納出人類紅細胞的雙凹形形狀函數(shù)[5]：

該函數(shù)有4個可調參數(shù)（R0，a0，a1，a2）， R0是細胞的平均半徑，其他3個參數(shù)的具體值取決于紅細胞的狀態(tài)[5]。本模塊選取a0，a1，a2值分別為0.207 161、2.002 558和-1.122 762的正常雙凹形紅細胞進行研究。

基于紅細胞幾何形狀和加載條件的對稱性，將計算模型簡化為半。不可壓縮的固體殼單元被用于創(chuàng)建膜的截面特性并生成了11 900個網(wǎng)格單元。利用基準面切割出代表細胞與硅微珠接觸的橢圓區(qū)域。由于接觸面積的特殊性，在其上設置了密度較大的網(wǎng)格，如圖2所示。雖然實驗中用計算機軟件可以很容易地控制光鑷的強度和位置，但在有限元模擬中建立位移邊界條件很難使結果收斂。因此，在光鑷拉伸過程中，通過在建立的與橢圓區(qū)域耦合的參考點上施加位移邊界條件，來模擬紅細胞受徑向拉伸的動態(tài)特性。在之前的研究中，細胞質流體被建模為牛頓不可壓縮流體，由不可壓縮Navier–Stokes方程描述[8]。本研究利用ABAQUS中流體腔的函數(shù)模型來實現(xiàn)紅細胞膜和細胞質之間的液固耦合模擬。假設腔體完全由具有相同性質和狀態(tài)的流體填充，考慮到流體（細胞質）和結構（細胞膜）之間的相互作用和耦合，空腔中的流體行為可以基于液壓或氣動模型。由于水力模型可以模擬幾乎不可壓縮的流體行為，因此選擇類型為流體腔的相互作用來模擬細胞質，并參考人體血液密度將腔內(nèi)流體密度設置為1 g/cm3。

1.2 用于AFM壓痕的紅細胞模型

為了探索紅細胞在局部區(qū)域的變形能力，提出了一種檢測紅細胞局部變形能力的實驗方法，即原子力顯微鏡（AFM）壓痕法。與光鑷拉伸法研究紅細胞的整體變形能力相比，AFM壓痕法可以進一步了解膜性能是如何控制紅細胞的物理行為的。AFM壓痕技術是一種相對較新的技術，它包括一個懸臂探針，用于向試樣施加位移，利用懸臂梁的剛度特性可以測量引起試樣變形的力。為了對細胞進行有效的壓痕，細胞必須粘附在基底上，以防止它們從探針下方滑出。當細胞粘附于基底時，紅細胞的表面出現(xiàn)圓頂形[6]。AFM壓痕是一種相對較新的技術，它包含了在測量位移的同時將力施加到樣本上的懸臂式探針。傳感器能夠測量從懸臂反射的激光束的偏轉，以此檢測出探針的位置。利用懸臂的剛度特性可以對引起樣本變形的力進行測量。為了進行壓痕，細胞必須粘附在基底上，以防止它們從探針下方滑出。一旦粘附，紅細胞表面可呈現(xiàn)穹頂形狀或雙凹形狀[9]。AFM壓痕研究的另一個主要考慮因素是探針形狀的選擇，在以往的研究中，錐形[10]，金字塔形[11，13]和球形尖端[9，14]的探針用于研究紅細胞的力學性能。探針的尺寸也有很大的變化，錐形和金字塔形探針尖端的半徑在10～50 nm[11]之間，球形探針的直徑在6～15 μm[9]之間。錐形和金字塔形探針能夠精準地靶向細胞膜的特定區(qū)域，然而，它們尖銳的頂端將集中力作用于細胞膜上，使膜超出生理極限，導致滲透和破裂，球形探針可以克服這些風險，因為其表面光滑[10]，因此本次有限元建模中選用球形探頭直接加力到細胞膜上。為了驗證有限元模擬結果的正確性，有必要與實驗結果進行比較。Barns等[6]用AFM壓痕和粗粒度法研究了紅細胞的力學性能，本研究在ABAQUS中對紅細胞的AFM壓痕進行有限元模擬，并與Barns等人用粗粒度法研究的結果有較好的吻合。Barns等[6]的研究報告中紅細胞粘附時的共聚焦圖像（圖3）顯示，當紅細胞粘附在基質上時，與基質的接觸直徑約為8 μm，此時紅細胞的高度約為2 μm，細胞頂部呈穹頂狀。本研究在ABAQUS中建立了相同大小和形狀的用于AFM壓痕的紅細胞的有限元模型（圖4）。為了與Barns的實驗結果對比從而對本文建立的模型以及有限元結果的正確性進行驗證，本次模擬中使用與Barns的實驗中相同直徑（5 μm）的球形探針，考慮到在壓痕過程中，只有探針的頂部與紅細胞有接觸，因此只取探針頂部的球形區(qū)域進行建模。如圖4所示，在紅細胞模型上生成了16 248個不可壓縮的實體殼單元。

2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡紅細胞本構參數(shù)的預測

復雜的非線性映射人工神經(jīng)網(wǎng)絡是由大量神經(jīng)元連接而成的網(wǎng)絡，通過對人腦的抽象、簡化和模擬，反映人腦的基本特征。神經(jīng)網(wǎng)絡是基于網(wǎng)絡結構的機器學習方法的一個分支，其動機是建立和模擬人腦的神經(jīng)網(wǎng)絡進行分析和學習。它已經(jīng)成功地應用于各個領域，包括語音或圖像識別[12-13]、新藥設計醫(yī)學[14]、多模態(tài)數(shù)據(jù)融合[15] 和計算機視覺[16]。深度學習的本質是通過構造隱含層多、訓練數(shù)據(jù)量大的機器學習模型來學習更多有用的特征，最終提高分類或預測的精度。復雜的非線性關系往往難以用傳統(tǒng)的數(shù)理方法描述，輸入和輸出數(shù)據(jù)之間的映射規(guī)則可以在學習階段自動抽取并分布存儲在網(wǎng)絡的所有連接中，這使得設計合理的神經(jīng)網(wǎng)絡能夠以任意精度逼近。

本研究中完整的利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡的預測過程主要包括以下步驟。

1）收集訓練集：由于細胞膜的超彈性是決定紅細胞變形能力的一個重要因素，在以往的許多對紅細胞力學性能的研究中，均采用應變能密度函數(shù)來刻畫細胞膜的非線性彈性，并將其視為新胡克超彈性材料。根據(jù)ABAQUS分析用戶指南，新胡克應變能勢的形式為

式中：U是應變勢能；C10和D1是材料參數(shù)，Jel是彈性體積比；I1為材料中的扭曲度量。在不考慮溫度的情況下，ABAQUS中只需要設置2個參數(shù)（C10和D1）。考慮到材料的不可壓縮性，D1的值被設置為零。通過將有限元模擬結果與M.DAO等實驗數(shù)據(jù)的初步擬合[2]，得到了C10的初始值為75 Pa。因此，將作為網(wǎng)絡輸入的材料參數(shù)C10的取值范圍設定為65～85 Pa之間，步長為0.1。將上述范圍內(nèi)的201個C10逐個輸入到ABAQUS中并通過計算得到201組能反映紅細胞變形的拉伸力，作為網(wǎng)絡的輸出。在TensorFlow中利用神經(jīng)網(wǎng)絡探索材料參數(shù)C10與拉伸力之間的映射關系，當輸入Dao等人實驗曲線上正確的一組拉伸力時，便可得到與其對應的材料參數(shù)。

2）網(wǎng)絡結構的設計：確定網(wǎng)絡的層數(shù)和每一個隱藏層的節(jié)點數(shù)以及激活函數(shù)，和輸出層的激活函數(shù)與損失函數(shù)。在網(wǎng)絡設計過程中，確定隱藏層中的單元數(shù)是非常重要的。隱藏層中單元過多會增加網(wǎng)絡計算量，導致過擬合問題。如果單元數(shù)量太少，網(wǎng)絡性能會受到影響，無法達到預期效果。網(wǎng)絡中隱藏層單元的數(shù)量直接關系到實際問題的復雜性、輸入輸出層單元的數(shù)量以及預期誤差的設置。目前還沒有明確的隱層單元數(shù)計算公式，只有一些經(jīng)驗公式。本文采用以下經(jīng)驗公式選取了隱層單元數(shù)。

式中：n和m分別是輸入層和輸出層中的單位數(shù)；a是介于1和10之間的常數(shù)。通過上述方程的計算，隱層1和隱層2的單元數(shù)分別為10和8。

3）本文采用多輸入單輸出包含2個隱層的4層BP神經(jīng)網(wǎng)絡建立了預測模型。本研究中使用的神經(jīng)網(wǎng)絡的結構如圖5所示。

由于21個力值相差較大，為了使數(shù)據(jù)具有可比性，首先將數(shù)據(jù)進行預處理，將其歸一化，避免大數(shù)值區(qū)間的屬性過分支配了小數(shù)值區(qū)間的屬性，保證程序運行時收斂加快。選用前150組數(shù)據(jù)作為訓練集，后50組數(shù)據(jù)作為測試集用來評估模型。訓練前運行初始化代碼來初始化所有的變量，將模型訓練100 000次，輸出測試和訓練的損失值，并預測出C10的值為68.1 Pa。從圖6可以看出，隨著訓練次數(shù)越來越大，訓練的損失值逐漸減小并趨近于0，表明神經(jīng)網(wǎng)絡模型有較好的訓練結果。

3 對紅細胞受變形的有限元模擬

3.1 紅細胞受光鑷拉伸的有限元模擬

在后處理過程中，紅細胞的一半模型被鏡像為整體模型以便更直觀地表達其變形情況。

從圖7的Mises應力云圖可以看出，在距離與硅微珠接觸越近的部位應力越大。圖8b）將有限元模擬的結果與Dao的實驗結果放在一起進行對比，可以看出模擬的結果與實驗結果較為吻合，證明了所預測的本構參數(shù)C10的正確性。

考慮到細胞質對紅細胞受光鑷拉伸，表1給出了當拉伸位移為4 μm時，有無細胞質的紅細胞形態(tài)上的變化。從圖8b）中可以看出，無論細胞內(nèi)是否含有細胞質，紅細胞在拉伸過程中軸向直徑上的變化沒有明顯差異。然而，由于細胞質的支撐力，在相同拉伸力下，不含細胞質的細胞在橫向上的直徑略有收縮。

3.2 紅細胞受AFM壓痕的有限元模擬

紅細胞膜的本構模型和本構參數(shù)與用于拉伸有限元模擬中的紅細胞模型一致，采用新胡克超彈性材料，材料參數(shù)C10設置為68.101 19 Pa，D1設置為0。考慮到圓形探針的剛度和硬度遠大于細胞膜的剛度和硬度，設置其為一個不可變形的剛體。由于在實驗中紅細胞粘附在基質上，有限元模擬中，在設置邊界條件時，將紅細胞與基質接觸的底部完全固定，并在球形探針上施加200 nm垂直向下的位移，探討紅細胞在AFM壓痕下的局部變形機制。

如圖10a）所示，在ABAQUS中模擬紅細胞受壓痕與Barns的粗粒度法進行對比，曲線重合度較高，模擬的結果較為接近，進一步驗證了所建立的紅細胞本構模型和本構參數(shù)的正確性，在此基礎上采用不同直徑探針對紅細胞進行壓痕實驗的有限元模擬，以探索探針直徑對紅細胞壓痕的影響。使用直徑在1～8 μm之間變化的球形探針對頂部出現(xiàn)穹頂形的紅細胞進行壓痕實驗的有限元模擬，壓痕力-壓痕深度曲線如圖10b）所示。從圖10b）中可以看出，在小壓痕深度處（約100 nm），當探頭尺寸改變時，所施加的壓痕力變化可以忽略不計。然而，當壓痕深度超過100 nm時，施加的力有明顯的變化，較大的探針需要更多的力量來使細胞變形。這一趨勢只有在較大的壓痕深度時才會發(fā)生顯著的變化，是由于細胞和探針之間的接觸面積逐漸變大，此時凹面逐步形成，細胞膜開始形成探針的形狀（見圖10b）），更大直徑的探針通過這一階段出現(xiàn)更大的接觸面積，這意味著需要施加更大的力來使細胞變形。

4 結論

紅細胞承擔著對人體運輸氧氣和養(yǎng)分的功能，紅細胞變形能力的下降會增加其通過極細的毛細血管的難度，對整個血液循環(huán)的流暢性造成威脅。因此本研究以紅細胞為研究對象，對人類正常雙凹形紅細胞的力學性能進行研究和分析。為了研究紅細胞的變形機理，分別建立用于光鑷拉伸和AFM壓痕的有限元模型，根據(jù)紅細胞的變形特征和機理，引入能夠準確反映其變形特征的neo-Hooken本構模型，并結合神經(jīng)網(wǎng)絡算法，捕捉有限元算法所確定的底層映射，對本構參數(shù)C10進行預測。神經(jīng)網(wǎng)絡訓練的損失值接近于0，C10的預測值為68.1 Pa。在此基礎上探索紅細胞的整體和局部變形能力，得到了紅細胞在全局和局部水平的變形機理。研究每種抗變形機制有助于理解它們在紅細胞物理行為中的作用和重要性，反饋到用于防止變形能力損失的策略中，對血液病的臨床診斷具有重要意義。

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