提高工件表面缺陷提取魯棒性的改進低秩矩陣恢復算法

張晶 劉麗冰 黃智坤 袁軍 楊澤青

摘要 針對傳統的工件缺陷提取方法存在魯棒性差的問題，提出一種基于同態濾波的改進低秩矩陣恢復算法。首先使用同態濾波方法增強光照分量、抑制工件反射分量，減小光照不均和工件強反光產生偽缺陷的影響；然后應用魯棒主成分分析模型將工件表面缺陷提取問題轉換為低秩背景矩陣和稀疏缺陷矩陣分離的低秩矩陣恢復問題；最后使用非精確拉格朗日乘子法對由魯棒主成分分析模型轉化的凸優化模型進行求解。以帶有凹坑、劃痕缺陷的軸類工件為樣本，通過計算F-measure值完成方法驗證，實驗結果表明：在不同光照強度的實驗條件下，離散傅里葉算法提取凹坑缺陷和劃痕缺陷的平均F值分別為0.435 7和0.381 9；本文提出算法提取凹坑缺陷和劃痕缺陷的平均F值分別為0.726 0和 0.716 9，結果驗證了所提算法的有效性和較高魯棒性。

關 鍵 詞 缺陷提取；低秩矩陣恢復；同態濾波；非精確拉格朗日乘子法；魯棒性

中圖分類號 TH164? ? ?文獻標志碼 A

Improved low-rank matrix restoration algorithm for improving the robustness of workpiece surface defect extraction

ZHANG Jing， LIU Libing， HUANG Zhikun， YUAN Jun， YANG Zeqing

（School of Mechanical Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin 300401， China ）

Abstract An improved low rank matrix recovery algorithm based on homomorphic filtering was proposed to solve the problem of poor robustness in the traditional methods of extracting workpiece defects. Firstly， the homomorphic filtering method was used to enhance the illumination component and suppress the reflection component of the workpiece to reduce the influence of illumination unevenness and strong reflection of the workpiece to produce false defects. Then the robust principal component analysis model was used to transform the surface defect extraction problem into the low-rank matrix recovery problem separated from the low-rank background matrix and the sparse defect matrix. Finally， an imprecise Lagrangian multiplier method was used to solve the convex optimization model transformed from the robust principal component analysis model. With indentation， scratch defects such as axial workpiece as sample， by calculating the F-measure values completion methods validation， the experimental results show that under the condition of different light intensity experiment， the average F value of pit defect and scratch defect extracted by Discrete fourier transform is 0.435 7 and 0.381 9; in this paper， the average F value of pit defect and scratch defect extracted by the algorithm is 0.726 0 and 0.716 9， the results show that the proposed algorithm is efficient and robust.

Key words defect extraction; low rank matrix recovery; homomorphic filtering; imprecise lagrangian multiplier method; robustness

0 引言

工件表面缺陷檢測是工業生產中的一個重要環節，對減少資源浪費、保證后續加工和使用的安全性、提高產品合格率具有極大價值[1-3]。工件表面缺陷提取是缺陷檢測的基礎，去除背景紋理、減小噪聲和光照不均等因素的影響，恢復缺陷的真實信息是十分重要的。

目前缺陷提取算法主要分為基于空間域提取和基于頻域提取兩類。1）空間域提取算法主要包括閾值分割、邊緣檢測和模糊聚類等方法，利用缺陷區域的灰度、邊緣、紋理等特征信息，實現缺陷的提取。張靜等[4]針對金屬工件表面存在光照不均的問題，提出局部二元模式與局部圖像方差強度結合的方法，處理后的缺陷圖像仍存在較多噪聲點。任盛偉等[5]提出一種魯棒實時的鋼軌表面擦傷檢測算法，實現圖像的增強，車輛過彎檢測效果不佳。陳順等[6]針對含噪齒輪圖像邊緣檢測存在噪聲的問題，提出Canny算子和數學形態學融合算法去噪，但是圖像的部分真實邊緣未被檢測出來。2）頻域提取算法主要包括離散傅立葉變換、小波變換等方法，將圖像變換到頻域，根據缺陷與背景區域的頻率差使用濾波器濾除背景，再通過逆變換實現缺陷提取。Ang Wu等[7]針對薄膜晶體管表面的微缺陷檢測的問題，應用離散傅里葉變換去除背景紋理，小波變換消除光照不均影響。由以上分析可知，傳統的缺陷提取方法受噪聲、光照不均的影響較大，工件材料自身的反光或曲面特性，使獲得的圖像表面光強度不一致，經常將中心亮區的邊界誤認為缺陷[8]；缺陷目標在整個圖像中所占的像元很少，且信噪比低 [2]等問題，使得工件表面缺陷提取的魯棒性不高。

近年來，低秩矩陣恢復算法被廣泛應用在圖像處理、信號處理、計算機視覺、高維數據分析等各個領域。應用低秩矩陣恢復算法實現微裂紋[9]、織物疵點[10]、TFT-LCD表面缺陷[11]、紅外圖像小目標[12]、人臉圖像[13]、太陽能電池片[14]的檢測或識別，具有較好的噪聲抑制效果。本文首次提出將低秩矩陣恢復算法應用到工件表面缺陷提取，考慮金屬工件存在的光照不均問題，提出改進的低秩矩陣恢復算法。首先應用同態濾波算法平衡光照，然后應用低秩矩陣恢復算法進行背景紋理和缺陷的分離，實現工件表面缺陷提取魯棒性的提高。

1 工件表面缺陷提取算法及其魯棒性分析

目前工件缺陷提取研究大多是在特定的光照環境下采集工件表面圖像，但是在實際的生產加工中，環境變化對圖像采集質量的影響難以忽略，光照變化會使得傳統的缺陷提取算法的準確率和魯棒性下降，造成缺陷的誤檢和漏檢，因此需要研究一種可以在不同光照條件下都有較高魯棒性的缺陷提取算法，提高復雜環境下缺陷提取的準確率。本文提出算法流程如圖1。

低秩矩陣恢復算法可以在矩陣中某些元素被破壞時，自動識別出被破壞的元素并且恢復出原矩陣，因此被廣泛應用在缺陷檢測、人臉識別和圖像重建中，應用低秩矩陣恢復算法進行工件表面缺陷提取時，可將有缺陷的圖像分為無缺陷背景紋理區和缺陷前景區2部分，分別用低秩矩陣和稀疏矩陣表示，同時考慮光照變化的影響，本文將同態濾波算法與低秩矩陣恢復算法相結合，研究了一種具有較高魯棒性的工件缺陷提取算法。

2 改進的低秩矩陣恢復算法研究

現今，減小光照對工件表面缺陷提取的影響，根據應用的算法技術的不同，主要可以分為基于二維圖像光照預處理方法和基于三維模型方法，三維模型方法是將光照作為獨立變量來建立模型，生成任意光照下的工件表面圖像，來達到消除光照變化的影響，但是基于三維模型的方法需要大量不同光照下的訓練樣本，難以滿足現今工件表面缺陷提取的實時性，所以本文主要討論基于二維圖像的光照處理上。光照預處理解決工件表面光強不均勻問題，常用的解決方法有：全局直方圖均衡、梯度增強法、基于離散小波變換的同態濾波、多尺度Retinex、動態均質補償等，考慮運算速度、資源節約和對高光、反光區域的處理效果等方面，應用基于照明-反射模型的同態濾波算法進行光照處理。

2.1 同態濾波算法

由于工件的自身材質和形狀影響，金屬工件表面光滑、階梯軸類工件的階梯處容易出現反光，采集到的圖像存在著強反光的問題。

在照明-反射光照模型中，可看作由照射分量與反射分量所組成，即原始圖像[I（x，y）]可以表示為光的照射分量[m（x，y）]和工件的反射分量[n（x，y）]的乘積[15]，如式（1）所示：

式中：由于光照是漸變的，照射分量[m（x，y）]頻譜集中在低頻段；由于工件表面的光照反射是非漸變的，反射分量[n（x，y）]頻譜集中在高頻段。

基于照明-反射模型的同態濾波的處理過程如下。

輸入 [I（x，y）] ，輸出 [Ip（x，y）] 。

步驟1：[Ix，y=mx，y?nx，y]兩邊取對數，然后做傅里葉變換得到線性組合的頻域形式：

步驟2：應用傳遞函數[H（x，y）]對數據進行濾波處理，然后做傅里葉逆變換和數據的指數變換，得到處理后的圖像為[IPx，y]。

同態濾波算法是通過傳遞函數來處理照射分量和反射分量的，傳遞函數的選擇是獲得高質量圖像的關鍵，同態濾波傳遞函數是基于高通濾波器函數修改得到，常用的高通濾波器有高斯濾波器和巴特沃斯高通濾波器。

基于高斯濾波器的同態濾波傳遞函數如式（3）：

基于巴特沃思高通濾波器的同態濾波傳遞函數如式（4）：

式中：[D0]為截止半徑；[rH]為高頻增加倍數；[rL]為低頻縮小倍數；常數[c>0]，用于調節函數形狀；[n]為濾波器階數。

基于照明-反射模型的同態濾波是在高通濾波器的截止半徑[D0]的基礎上放大[rH，rL]倍，高頻增加[rH]倍[rH>1]，低頻縮小[rL]倍[rL<1]，通過增強光照的高頻分量、抑制工件反射的低頻分量，達到增加圖像對比度、減小強反光影響的目的。因此可以較好地保留圖像細節，提高缺陷提取的光照魯棒性，減少光照不均產生的偽缺陷，降低缺陷誤檢率。

2.2 低秩矩陣恢復算法

低秩矩陣恢復又稱為魯棒主成分分析（Robust Principal Component Analysis，RPCA）或低秩稀疏分解。低秩矩陣恢復主要由魯棒主成分分析、矩陣補全和低秩表示等3類模型組成[16]，當矩陣中的所有元素都能觀測到，則適用與魯棒主成分分析模型。RPCA原理可以從PCA（Principal Component Analysis）的角度看。PCA作為對高維數據有效降維的方法之一，將高維數據在低維線性子空間上投影，即可以保留原有特征的主要信息，又可以減小特征的個數，可以表示為式（5）：

通過上述約束優化尋找最近的線性子空間的投影。當高斯噪聲[E]較小時，PCA可以通過一次奇異值分解準確找到最優原始數據矩陣[A]，當[E]較大時，[A]的估計往往不準確。由于其不適用于稀疏的大噪聲矩陣，當面對較大噪聲干擾時不能很好的完成降維任務，所以Wight等[17]提出RPCA模型，將原始數據矩陣[D]定義為由低秩部分[A]和稀疏噪聲部分[E]組成，可以用式（6）表示：

式中：目標函數是低秩矩陣[A]的秩和稀疏矩陣[E]的零范數；[λ]表示噪聲所占的權重；[D]的每一列是給定已知的數據。

由于這是一個非確定多項式難題，在理論和實踐中，均存在指數復雜度（相對于矩陣維數n）的算法，而沒有有效的算法。隨著魯棒主成分分析模型的廣泛使用，越來越多的解決魯棒主成分分析模型的方法被提出，這些方法一般可被分為3類：基于凸優化模型的方法、基于貝葉斯理論的方法和基于M估計的方法[18]。應用比較廣泛的是凸優化模型方法，通過對目標函數進行松弛，將原先的非凸的零范數替換為更容易處理的稀疏性度量函數，從而轉換為如下凸優化問題進行求解：

式中：[A?=i=1mδi（A）]，表示矩陣[A]的第[i]個奇異值；[E1=ijEij]；表示矩陣[E]所有元素的絕對值之和。

將RPCA模型應用到工件表面缺陷檢測中，由背景紋理的特性可知，背景紋理屬于周期性紋理，表示在圖像矩陣中是線性相關的，即可以表示為低秩矩陣；由于稀疏性定義為目標區域面積占很小的比重或者檢測目標的個數占很小的比重，存在的缺陷可以理解為稀疏矩陣中的非零元素，即可以將缺陷表示為稀疏矩陣。從而將工件表面缺陷提取問題轉化為低秩矩陣恢復問題進行求解，將同態濾波處理后的均勻光照圖像，分解為無缺陷低秩背景圖像和有缺陷稀疏缺陷圖像。

2.3 凸優化模型求解方法

通過轉化后的凸優化問題來逼近求解原問題，在工件表面缺陷檢測的背景下，有效地的求解凸優化模型是一個待解決的關鍵問題。求解凸優化模型的常用方法有增廣的拉格朗日乘子法、加速的近端梯度法、迭代閾值法和近端梯度法等。綜合考量考慮圖像矩陣維數、精確度、方法收斂速度和迭代次數等，因非精確拉格朗日乘子法（Inexact Augmented Lagrange Multiplier，IALM）有更好的精確度、較少迭代次數和收斂率，近年來被廣泛研究使用。

本文利用IALM來求解，構造凸優化問題的拉格朗日函數

式中：[Y]為拉格朗日乘子；[μ]是懲罰參數，[μ>0]；[λ]為權重因子。

可以先固定一個[Y]和[E]求得一個[L]使[A]最小，然后固定一個[Y]和[A]求得一個[L]使[E]最小，依此交替更新迭代，最終得到一個收斂到這個子問題的最優解，這個算法稱為精確拉格朗日乘子法。但是在工件表面缺陷檢測中，考慮圖像處理需要滿足在線、實時性等問題，只需每次迭代更新獲得[A]和[E]近似解，這樣就會以最快收斂速度方式得到收斂得到原問題的最優解，即非精確拉格朗日乘子法，其求解凸優化問題的流程圖如圖2所示。

圖2中，[D∈Rm×n]為同態濾波處理后的圖像矩陣，初始化參數[Y0=DJ（D）;E0=0;][μ0>0;][ρ>1;][k=0]，[JD=maxD2，λ-1D∞]，[Sεx]為軟閾值操作，公式如下：

使用IALM時，懲罰參數[μ]、終止迭代參數[δ]、最大迭代次數[θ]會直接影響缺陷提取的效果，參考文獻[14]和實驗驗證，[μ=n1n24D1]，其中[n1]和[n2]是輸入矩陣的[D]的行數和列數，本文輸入圖片矩陣為[1 200×960]；當[D-A-EF≤δDF]，當[δ=10-7]時停止迭代；[θ=1 000]。

3 實驗結果與分析

3.1 實驗描述

為了驗證和評估改進低秩矩陣恢復算法的有效性，本文使用天津某機械廠生產的軸類工件（最大軸徑為15 mm、長為15 mm）進行測試，測試樣本分為劃痕缺陷樣本和凹坑缺陷樣本兩類，配合型號為MV-BL100X100-V的白色面光源，調節光源適配器光強旋鈕，在圖像采集時進行不同光強度處理。實驗測試圖像庫共300幅，其中，旋鈕調至5級時的缺陷圖像100幅，旋鈕調至3級時的缺陷圖像100幅，旋鈕調至1級的缺陷圖像100幅。本文實驗平臺是4核CPU，主頻1.4 GHz，8 GB內存，Intel Core i5系統的筆記本電腦，應用的仿真環境是MATLAB R2019b。實驗結果和分析共包括2部分內容：1）基于照明-反射模型的同態濾波算法的處理效果；2）傳統缺陷提取算法（離散傅里葉變換算法）和基于同態濾波的改進低秩矩陣恢復算法的結果比較。

3.2 工件圖像的同態濾波處理結果

圖3為3種不同光照強度下的工件圖像，利用基于照明-反射模型的同態濾波算法進行處理，以減小反光現象的影響。旋鈕調至5級時，工件的高頻反射分量較大，實驗驗證當同態濾波的傳遞函數中截止半徑[D0=5]，[rH=2.5]，[rL=0.2]，[c=1]時，圖像效果最佳；當旋鈕調至3級時，同態濾波函數的截止半徑[D0=10]，[rH=1.8]，[rL=0.3]，[c=1]效果最好；當旋鈕調至1級時，同態濾波函數的截止半徑[D0=15]，[rH=1.3]，[rL=0.4]，[c=1]效果最佳。處理效果如圖4所示。

同態濾波算法處理不同光強下的圖像，實驗證明該算法可以削弱工件表面強反光影響，使工件表面缺陷提取在光照問題上有較好的魯棒性，為之后的缺陷提取打下良好的基礎。

3.3 工件表面缺陷提取算法的對比

為驗證本文提出算法在魯棒性方面的提升，選擇應用比較廣泛的離散傅立葉變換進行實驗對比，并采用F-measure值來定量評估2種算法，F-measure值為一種綜合性能評價指標，取值介于[0，1]，F值的定義為式（10）：

式中：[r=PT（PT+NF）]為召回率；[p=PT（PT+PF）]為準確率；[PT]為被正確判斷為缺陷的像素個數；[PF]為被誤判為缺陷的像素數目；[NF]為被誤判為背景的缺陷像素數目，F值越高表明該算法對工件表明缺陷提取的效果越好。

由表1可以看出，傳統的缺陷提取算法受光照影響較大，提取凹坑缺陷的平均F值為0.435 7，提取劃痕缺陷的平均F值為0.381 9；本文提出的算法在不同光照強度下，可以保持在一個相對較高檢測的水平，提取凹坑缺陷的平均F值為0.726 0，提取劃痕缺陷的平均F值為0.716 9，說明本文提出算法相比傳統方法提高了缺陷提取魯棒性。

4 結語

研究了一種基于同態濾波的改進低秩矩陣恢復算法，分析了同態濾波的傳遞函數平衡光照分量和工件反射分量的機理，確定了同態濾波傳函的截止半徑，實現了不同光強條件下的工件表面光照平衡。然后對同態濾波處理后的圖像使用低秩矩陣恢復算法，再使用非精確拉格朗日乘子法求解由魯棒主成分分析模型轉化的凸優化模型，得到分離的低秩背景圖像和稀疏缺陷圖像。最后通過F-measure值來定量評估本文提出的算法性能，結果表明該算法在軸類工件缺陷提取具有有效性和較高的魯棒性。

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