借助幾何模型 解構網格作圖

朱琛

[摘? 要] 近幾年數學中考題中，對于網格作圖，要求越來越高，通過解題與研究可以發現：網格作圖，蘊含了豐富的數學知識與思想方法，具有綜合性強的特點. 借助幾何模型解構網格作圖，能使學生真正理解數學知識的本質，提升數學核心素養.

[關鍵詞] 幾何模型;網格作圖;數學思想

在初中數學幾何教學過程中，幾何模型可以幫助學生識別圖形信息，抽取關鍵要素，實現圖形語言與符號語言的相互聯系、轉化. 借助幾何模型，學生能夠將復雜的幾何問題轉化為熟悉的基本圖形來解決，從而將知識進行延伸與拓展，達到“舉一反三”的目的.

下面以2021年天津市中考數學中的一道網格作圖題為例，通過分析抽取幾何模型，談網格作圖教學的幾點建議.

試題呈現

（2021年天津市中考數學第18題）如圖1，在每個邊長為1的小正方形的網格中，△ABC的頂點A，C均落在格點上，點B在網格線上.

（1） 線段AC的長等于______;

（2） 以AB為直徑的半圓的圓心為O，在線段AB上有一點P，滿足AP=AC，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點P，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）______.

試題分析

在網格作圖中，以畫圖技能立意的試題通常都比較基礎，考查的知識點比較單一，以格點畫圖為主要考查目標. 上述試題第（1）問，就是利用正方形網格的邊長為1，運用勾股定理計算格點線段的長度，屬于基本能力要求. 第（2）問考查能力要求則大幅提高，強調了對作圖工具的限制（用無刻度的直尺），即只能通過格點來確定直線，或確定所作直線與直線（含格線）的交點. 由于現有圖形無法直接找到合適的格點，學生容易產生迷茫，徘徊不前.

思路1? 等腰三角形模型

分析：數學問題的解決就是透過現象看本質. 抓住圓心和圓弧，通常可以構成半徑，產生圓心角，而點A在圓弧上，就產生圓周角，從而通過“圓心角等于圓周角的2倍”聯想到角平分線;而由半徑又可以聯想到等腰三角形，再次產生“‘平行線、等腰三角形、角平分線知二推一”的結論. 至此，就會考慮如何通過點O畫出AC的平行線？由于點O是AB的中點，所以該平行線一定過BC的中點，借助網格線，利用平行線分線段成比例，就能找到點D，畫出如圖2所示的情形.

圖2中的直徑AB，還能聯想到“直徑所對的圓周角是直角”的結論，此時，線段AE就具有平分角和垂直兩種特性，就容易想到等腰三角形這個特殊圖形. 在平面上將等腰三角形的模型圖構建出來，利用軸對稱性進一步分析，得到AB上滿足條件的線段AP（見圖3）.

解答：如圖4，取BC與網格線的交點D，連結OD并延長，與半圓相交于點E，連結BE并延長，與AC的延長線相交于點F，連結AE交BC于點G，連結FG并延長，與AB相交于點P，則點P即為所求.

思路2? “8字形”模型

分析：如果點P是某線與AB相交所成（見圖5），思考滿足這個幾何模型，則需進一步考慮過點B畫AC的平行線且BH=AB-AC.

利用圓心和半圓，發現形成的半徑都等于AB，由此想到利用中位線構造線段OE等于AC，則EF=AB-AC（見圖6），此時易證△AOC≌△BOD，得到AC∥BD，而后思考能否在平行線BD上畫出BH=2EF即可.

借助幾何模型（見圖7），根據平行線分線段成比例，可以得到點F是GB的中點，由此得到網格圖（見圖8）. 根據點F是GB的中點，且EF∥BD，可以進一步畫出以EF為中位線的△GBH（見圖9）. 再次回到幾何模型圖5，獲得△ACP∽△BHP，由此得到比例線段，最后證明可得AP=AC（見圖10）.

解答：如圖10，取BC與網格線的交點E，連結OE并延長，與半圓相交于點F，連結BF并延長，與AC的延長線相交于點G，連結CO并延長，與網格線相交于點D，連結BD，GE，并延長使它們相交于點H，連結CH，與線段AB相交于點P，則點P即為所求.

解題反思

1. 構造模型，細研解題思路

幾何模型多種多樣，嘗試聯系條件構造合適的基本圖形，是進一步展開探究的前提. 需要探究的問題通常都不是一蹴而就的，需要靜下心、沉住氣，逐一打開思維的凝固點，各種解決方法就順應而生.

細研解題思路過程時，學生頭腦中會經歷幾何模型及其性質與數學知識的比較，并進行有效關聯，靈活運用這些數學知識，逐步形成自我知識體系.

2. 融合模型，提升解題能力

網格作圖，往往會將圖形化簡為繁，需要構建多種（或重復）幾何模型才能解決. 解決網格作圖時，要體會一個模型形成過程，深入挖掘幾何模型的功能，提升運用模型的綜合能力. 融合多種幾何模型解決數學問題，是有效提取學生自我知識貯備以及解題能力的一種表現. 隨著知識、方法、經驗的不斷積累，學生會主動進行幾何模型的構建和梳理，采用直觀呈現、反向推理等方式溝通相互間聯系，從而在解題中實現知識的遷移.

3. 感悟模型，發展數學核心素養

網格作圖本身就是一個數學寶藏，承載著初中幾何研究的重要知識和重要思想：勾股定理、圖形全等的變換、圖形的相似變換、平行線分線段成比例、中位線等數學知識的綜合;還融合多元化數學思想：轉化與化歸思想、數形結合思想、模型思想.

“執果索因”，這是教學至關重要的一個方法. 通過反思，深入理解網格作圖的內涵，培養學生大膽猜想和動手操作的能力，發現和探究的能力，計算、分析、推理的能力，以及數學語言的表達能力和創新思維能力，是數學核心素養的價值體現.

教學建議

1. 歸納網格作圖的類型，兼顧非特殊性

《義務教育數學課程標準（2011年版）》的作圖要求提出：在尺規作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法[1]. 初中數學教學要求學生掌握好五種基本作圖即可. 對于網格作圖，蘇科版七年級課本上，主要利用網格的格點畫已知線段的垂線和平行線;蘇科版八年級課本上，則是利用網格格點畫三角形的各種全等變換圖形、利用勾股定理畫已知長度的線段及直角的角平分線和線段的垂直平分線;蘇科版九年級課本上，則是利用網格格點畫相似三角形以及相似變換圖形. 根據這些作圖要求，類似地歸納以下三個基本作圖類型：

類型一：經過兩個格點畫出直線;

類型二：經過已知直線外一個格點，畫已知直線的平行線;

類型三：經過一個格點畫已知直線的垂線[2].

從天津的這個網格作圖題來看，不難發現，無法采用所歸納的基本類型，所畫的直線經過的是非格點，難度較大，需要經過分析和綜合等方式才能解答.

因此教學時，圍繞網格作圖不能只注重格點這種特殊點考慮，適當設置網格作圖中非格點連線的問題，能促發學生探討研究網格作圖的方法，積累網格作圖的經驗，做好知識的內化和遷移.

例如，在進行三角形相似教學時，利用網格作圖n等分線段，設計問題如下：

在每個小正方形的邊長為1的網格中，僅能使用無刻度的直尺，分別在圖11、圖12中的線段AB上作點C，使得AC ∶ BC=3 ∶ 2.

2. 外顯網格作圖的一般化思想方法

幾何模型可以實現互相轉換以及連接. 在網格背景下研究平面圖形，本身保留圖形自身的幾何特性，還包含位置及數量的特殊性. 在歸納網格作圖基本類型時，結合作圖原理，就能發現其中熟識的圖形變換（圖形平移和旋轉，見圖13和圖14）. 往往有難度的網格作圖，實質就是很多小知識點綜合而成，借助幾何模型的構建，可以直觀猜想點與點、線與線之間的關聯，再逐一分析突破. 網格作圖教學時，注意歸納整理網格中常見的幾何模型（見圖5和圖7），為學生發揮空間想象和推理搭建好“腳手架”.

借助幾何模型解構網格作圖，外顯網格作圖一般化的思考方法，引導學生形成一般化的思維習慣和自主探析作法的能力[3].

3. 電子白板輔助展現網格作圖高效性

網格作圖重在動手操作，而電子白板的輔助，給學生參與課堂展示自我提供了一個良好平臺. 借助電子白板，學生不僅能親自動手繪圖，還能清楚、高效地講解自己的解決方案，增強了師生之間、生生之間的溝通交流，同時活躍了課堂探究的氛圍.

借助電子白板的交互功能，幾何模型變得更規范、更直觀，學生為本的課堂教學也充分展現，教學趣味性，高效性得以實現.

結語

數學教學不能一味依賴手中的答案照本宣科，教師要俯下身，從學生學情考慮，一起深入探究，“深”“透”地領悟答案的生成過程. 網格作圖方法多樣，以幾何模型奠基，能讓學生迅速著陸于最近發展區，讓解決方法自然形成. 對于解決一類思維性強的問題，幾何模型有它的優勢所在，直觀性更優于計算，模型的記憶也更優于文字的記憶. 教師鉆研得透徹，找到適合學生學習的方法，學生才會學得輕松.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011 年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]金楊建. 正方形網格作圖的原理、教學功能與建議[J]. 中學數學教學參考，2021（20）：37-40.

[3]章飛. 初中數學幾何作圖的教學實施建議[J]. 中學數學教學參考，2021（05）：9-12.