數學活動

張愛友

[摘? 要] 活動是學生數學知識建構的主要方式，也是學生數學智慧生成的源泉. 借助于數學化的活動，不僅能讓學生獲得相關的知識，更能培育學生的數學思想方法. 以數學活動為載體培育學生的數學思想，可以鏈接生活，可以借力技術，可以優化導圖，可以催生反思. 教師要深入地發掘活動因子，優化組織好數學活動，讓數學活動能夠個性化地建構學生的“數學課程”.

[關鍵詞] 初中數學;數學活動;數學思想;良好載體

活動是學生數學學習的重要載體、媒介，是學生數學智慧生成的根源[1]. 活動也是學生數學經驗建構的主要方式，是學生感悟數學思想的重要載體. 在初中數學教學中，教師要設計、研發高質量的活動，以便借助于活動，引導學生深度思考、探究，讓學生在活動中形成“數學的眼光”和“數學的大腦”. 當下的數學活動，一個最為突出的問題是“數學味”的缺失. 如何讓數學活動充滿“數學味”？筆者認為，一個重要的方法就是要讓數學活動能體現相關的數學思想，讓數學活動真正成為培育學生數學思想的載體. 高質量的、蘊含數學思想方法的數學活動，往往同時能夠成為學生的生命實踐的確證與表征，成為學生的本質力量的全面解放與舒展.

鏈接“生活”，讓學生實踐數學思想

數學活動是一種學習過程. 一般來說，學生在數學活動中需要經歷兩個過程：其一是將生活化的內容提煉、抽象、概括成數學的內容，這就是“橫向數學化”;其二是在數學世界中對數學進行再塑造、再提煉、再建構，這就是“縱向數學化”. 鏈接學生的生活，就是要讓學生充分經歷“數學化”的過程（包括橫向數學化和縱向數學化）. 只有經歷了“數學化”，才能讓學生感受、體驗到數學知識中所蘊含著的數學思想，尤其是數學化、符號化、公理化、形式化的思想.

比如教學“銳角三角函數”這一部分內容之后，我們引導學生開展了一次“測量物體的高度”的數學活動. 活動中，我們首先創設了問題情境，讓學生從現實性的問題情境中提出相關的數學問題：如何測量旗桿的高度？如何測量大樹的高度？如何測量教學樓的高度？在此基礎上，我們引導學生提出相關的測量方法，并對相關的方法去粗取精、去偽存真，得到大家認可的“銳角三角函數法”. 在此基礎上，我們引導學生成立活動小組，準備測量器械，并且在測量中展開研討，形成科學的實驗活動方案. 在這個過程中，教師要及時跟進、適度介入，對學生的活動進行有效指導，但是不能越俎代庖. 教師要及時發現學生活動中存在的相關問題，并進行有針對性的指導. 由于采用分組活動，教師還可以引導學生展開小組之間的互動、交流、展示、匯報，對相關的方法的優劣進行研討，對之做出積極合理的評價. 通過評價，不斷地優化學生的數學活動，幫助學生積累相關的數學基本活動經驗. 在活動中，學生充分地體驗到將一個生活中現實性的問題數學化的方法，也體驗到一種對應、轉化的普遍性數學思想. 這樣一種數學化的方法是學生受益終身的數學思想方法，它能讓學生在生活中“用數學的眼光來打量事物”、“用數學的大腦來考量事物”.

數學活動中所獲得的數學知識、技能等會融入學生的認知結構、技能結構之中，而數學思想方法則會沉積到學生的心理結構之中，成為一只“看不見的手”，有效地促進學生的數學學習、數學應用等. 這種促進作用是無形的、自然的. 正是在這個意義上，荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾說，“與其說學生是學習數學，毋寧說學生是學習數學化;與其說學生是學習公理，毋寧說學生是學習公理化;與其說學生是學習形式，毋寧說學生是學習形式化;與其說學生是學習符號，毋寧說學生是學習符號化”[2].

借力“技術”，讓學生認識數學思想

技術是學生數學活動的現代化的支撐. 傳統的數學活動，往往依靠簡單的、質樸的數學學具. 在“互聯網”“大數據”“新媒體”“新技術”的時代背景下，教師在引導學生進行數學活動的時候，可以借助于這些“網絡”“技術”“媒體”. 相比較于傳統的媒體，新媒體、新技術引導下的數學學習更生動、更形象、更直觀. 新技術、新媒體，讓學生的數學活動更豐富、更有趣、更靈動.

比如教學“四點共圓的條件”時，教師首先可以引導學生展開合理性的猜想，如“圓的內接四邊形對角互補”;如“對角互補的四邊形的四個頂點共圓”. 在此基礎上，教師可以引導學生對相關的特殊的四邊形進行探究，如“平行四邊形的四點共圓”“梯形的四點共圓”等. 而在探究“平行四邊形的四點共圓”這一猜想時，還可以引導學生從“邊特殊的四邊形——菱形”、“角特殊的四邊形——長方形”以及“邊角都特殊的四邊形——正方形”等特殊的圖形開始. 相比較于一般性的探究，這種從“特殊”到“一般”的逐步探究，有助于啟發學生更有效地思考. 在這個過程中，教師可以引入幾何畫板等相關的軟件，對相關的猜想一一進行直觀性的實驗驗證. 在對特殊的結論進行實驗的基礎之上，教師可以引導學生對這些特殊的結論進行歸納，進而形成一種理論性的推導認識，即“將四點共圓的問題轉化為不共線的三點確定的圓與第四個頂點之間的關系，從而應用圓內接四邊形對角互補的性質，讓猜想從一般性的意義上獲得證明”. 通過這樣的實驗與理論交互結合的論證，從而能讓學生深刻地感受、體驗這種“從特殊到一般”的數學思想. 在這個過程中，教師要引導學生大膽地猜想，積極主動地嘗試驗證. 在這個過程中，教師要鼓勵學生質疑，鼓勵學生積極主動地分析問題、轉化問題.

借助于現代化新技術引導學生開展數學活動，能提高教學活動質量. 同時，能將學生操作的過程與思考的過程進行有機整合. 技術不僅僅是學生活動的支撐，有時候還是活動的先導. 借助于技術，學生能獲得一種“替代性的經驗”，這種替代性的經驗能讓學生獲得一種具身性的感受、體驗，能讓學生感悟到僅僅通過操作難以感受、體驗的數學思維. 如在上述“四點共圓的條件”的教學中，借助于技術，能讓學生的數學學習可視化，從而在學生大腦中形成一種實實在在的四點共圓的直觀表象，為學生的數學思考、數學探究打下更為堅實的基礎.

優化“導圖”，讓學生體驗數學思想

數學活動應當是學生的一種自主性、自能性的活動. 為了提升學生的自主性、自能性，教師可以借助于相關的“導圖”，如“思維導圖”“箭頭圖”“示意圖”等，引導、啟發、點撥學生的數學活動. “導圖”猶如是學生數學活動的一個“導航儀”“方向盤”，不僅能滲透“數形結合”的數學思想，還能讓學生的數學活動有方向、有針對性、有實效[3].

比如教學“軸對稱圖形”這一部分內容之后，我們出示了經典的“將軍飲馬”問題：

【問題1】一位將軍，他每天從軍營A地出發，先到河邊飲馬，然后去河對岸的軍營B地開會，怎樣走才能讓所行駛的路線、路程最短？（不考慮河的寬度）

【問題2】一位將軍，他每天從軍營A地出發，先到河邊飲馬，然后去河同側的軍營B地開會，怎樣走才能讓所行駛的路線、路程最短？

【問題3】一位將軍，他每天從軍營A地出發，先到河邊飲馬，然后去河對岸的軍營B地開會，怎樣走才能讓所行駛的路線、路程最短？（考慮河的寬度）

在這個過程中，教師可以引導學生對現實的問題進行抽象（橫向數學化），然后對抽象的數學問題進行“軸對稱性”的思考. 通過引導學生畫圖操作，學生就會深刻地理解：為什么選擇這個點能讓距離和最小？為什么選擇其他的點不能讓距離和最小？在教學過程中，教師可以拉長學生的學習時空，對相關的問題進行更多的變式，從而深化學生對這部分內容的認知. 尤其是，在問題的關鍵之處，教師要放緩教學的步伐，允許學生慢慢地揣摩、體會. 如此，才能讓學生在面對焦點性的問題時，能將思維高度集中，從而有效地突破學習難點、突出學習重點. 在這個過程中，學生能有效地積累數學基本的活動經驗，能有效地感悟、體驗數學的思想、方法.

活動是學生形成數學思想的源泉，學生的數學思想同時也是活動的產物，對活動有著指導、牽引等作用. 對于學生來說，無論是外顯的操作活動還是內隱的思維活動，都必須在一定的數學思想方法的指導下展開. 從這個視角來看，數學思想與數學活動是相輔相成、相得益彰的. 借助于相關的導圖，能讓學生在活動中不僅能形成活動經驗，還能形成圖式經驗.

應該怎樣走才能使路程最短？從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題得到廣泛流傳. 據說海倫略加思索就解決了它. 理論是活動教學的支撐性理論，著名教育心理學家維果茨基提出，在學生數學學習的過程中，有兩種不同的水平：其一是“現實水平”，其二是“發展水平”. “現實水平”和“發展水平”之間的差異就是“最近發展區”. 教學就應該著眼于學生的“最近發展區”，充分調動學生的主動性、積極性，開掘學生數學學習的創造性. 依據“最近發展區”理論，在設計、研發數學活動中，教師應當深刻地把握數學知識，了解學生的具體學情，從而做到精準施教、有效施教.

催生“反思”，讓學生感悟數學思想

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾認為，“如果學生在數學學習中不積極主動地反思，他就不能達到較高層次的認識水平. ”可見，反思是學生數學認知從低階走向高階的必要條件. 在引導學生展開數學活動的過程中，教師也不能任由學生進行純粹的外在性的操作，不能讓學生陷入機械的、盲目的“動手做”的活動之中，而必須引導學生展開適度的反思. 通過反思，才能讓學生的思維與活動有機結合，才能讓學生的數學活動具有一定的思維含量.

反思是一種后思，是一種對“認知的認知”，反思的過程是一種對于數學活動進行檢視、審視的過程. 它能有效地培育學生的“元認知”意識，提升學生的“元認知”技能. 在初中數學教學中，教師要引導學生反思：我是怎樣發現問題的？我是怎樣分析問題的？我是怎樣解決問題的？教師要適時引導學生反思，讓反思貫穿學生數學活動的全過程. 通過反思，學生的數學活動能趨向一種自主、自覺的狀態，學生的數學活動變得更為清晰、更為連貫、更為確定、更為穩固，有效地提升學生的活動品質.

比如在教學“探究紙張規格與的關系”這一部分內容時，我們就以小組為單位，引導學生收集、觀察、整理A4紙、A3紙等之間的關系. 在引導學生發現并建構了A4紙、A3紙之間的關系之后，我們呈現了A0、A1、A2、A3、A4、A5等A型紙的長、寬數據. 由此自然引發學生的積極反思：它們的面積比是2 ∶ 1，它們的長、寬之間有沒有比例關系呢？如果有比例關系，這個比例關系是多少？由于計算比較復雜，因而學生都應用了計算器這樣的計算工具. 通過計算，學生發現，這些A型紙的長寬的比例關系都近似地等于. 由此，有學生富有深度地對A型紙的生產過程用畫圖的活動方式進行探究. 數與形的有機結合，催生了學生借助于一般性的方程求解A型紙的相關關系的想法，進而借助于計算得出科學性的結論. 在這個過程中，學生始終不斷地反思，從而不斷地引導著自我的數學活動走向深入.

著名數學教育家章建躍博士深刻地指出，要提升學生的數學思想方法，必須引導學生展開高質量的數學活動. 活動不僅給了學生感悟、體驗數學思想方法的載體、平臺，活動更成為學生的數學思想方法有效途徑. 在初中數學教學中，教師要深入發掘教材中的活動因子，用好教材中的活動因子，組織學生開展高質量的數學活動，借助于數學活動，學生能個性化地建構自己的“數學課程”，讓學生在活動中感受數學思想、體驗數學思想、培養數學思維.

參考文獻：

[1]張奠宙，竺仕芬，林永偉. “基本數學經驗”的界定與分類[J].數學通報，2008，47（05）：4-7.

[2]碩廣林，鄧昌濱. 育人視域下的初中“數學活動”內涵分析[J]. 中小學數學，2021（11）：8-10.

[3]王強. 初中數學基本活動經驗習得芻議[J]. 江蘇教育，2016（51）：37-38.