創設“生動”課堂發展模型觀念

劉守文 江厚庭

【摘要】義務教育數學教學強調學生學習的主體地位，重視發展學生的核心素養.模型觀念是義務教育階段數學核心素養之一，其發展具有一致性、階段性、整體性，根植于真實問題情境之中，強調學生主動參與數學活動過程.

【關鍵詞】“生動”課堂；模型觀念；工程問題；行程問題

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）強調“學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者”[1]，首次提出義務教育階段數學課程要培養學生的核心素養.以下是筆者進行中考復習時經歷的一個課例實踐，切身感受到模型觀念素養的形成與發展離不開真實教學情境和有意義的數學活動.

1提出問題

原題（2021年百色中考）據國際田聯《田徑場地設施標準手冊》，400米標準跑道由兩個平行的直道和兩個半徑相等的彎道組成，有8條跑道，每條跑道寬1.2米，直道長87米；跑道的彎道是半圓形，環形跑道第一圈（最內圈）彎道半徑為35.00米到38.00米之間.某校據國際田聯標準和學校場地實際，建成第一圈彎道半徑為36米的標準跑道.小王同學計算了各圈的長：

第一圈長：87×2+2π（36+1.2×0）≈400（米）;

第二圈長：87×2+2π（36+1.2×1）≈408（米）;

第三圈長：87×2+2π（36+1.2×2）≈415（米）;

……請問：

（1）略.

（2）小王緊靠第一圈邊線逆時針跑步、鄧教練緊靠第三圈邊線順時針騎自行車（均以所靠邊線長計路程），在如圖1的起跑線同時出發，經過20秒兩人在直道第一次相遇，若鄧教練的平均速度是小王平均速度的2倍，求他們的平均速度各是多少？（注：在同側直道，過兩人所在點的直線與跑道邊線垂直時，稱兩人直道相遇.）

學生在解題時出現了兩種理解思路，部分學生將其理解為行程問題中的相遇問題，另一部分學生認為兩人合起來剛好行進了“一圈”，將其理解為工程問題.

解設小王的速度是x米/秒，教練的速度是y米/秒.

思路1（行程問題模型）：

y=2x，

20（x+y）=400+12×（415－400），

解得x=16324，

y=16312.

思路2（工程問題模型）：將兩人從起點出發到第一次相遇理解為工程總量1，則

y=2x，

20x400+20y415=1，解得x=1660243，

y=3320243.

哪種解法是正確的？錯誤解法錯在哪里？學生產生錯誤解法的思維誤區是什么？對教學有什么啟示？教師如何解釋才能反映數學知識的本質？這些問題引發了筆者的深入思考.

為了突出學生的主體地位，讓學生在學習中真正地“動”起來，教學時筆者并未急于給出正確答案，而是引導學生在關聯的情境中發現問題，提出問題，利用觀察、比較、猜想、計算等方法分析與解決問題，從而回歸數學知識的本質.本題利用實際生活的真實情境考查學生選擇合適的方程構建具體模型并解決問題，發展學生的模型觀念.2建模求解

教師引導1：當一個模型反映數學客觀規律具有不確定性時，我們可否找出一些相關聯的模型，觀察、比較、分析、計算，進而找出結果？請大家分組討論.

學生1：我們組結合原題的情境，創設了一個關聯的情境.如圖2所示，現將跑道的中間直道舍去，將兩個半圓形彎道合并構造圖2所示的圓環形彎道.第一圈彎道半徑為36米，每條跑道寬1.2米，當兩人終點連線的延長線經過彎道圓心時，稱兩人相遇，其他條件不變.設小王的速度是x米/秒，則教練的速度是2x米/秒，教練從A到C經過的圓心角為α度，跑道第一圈長為2π（36+1.2×0）≈226米，第三圈長為2π（36+1.2×2）≈241米.

思路1（行程問題模型）：

241×α360=40x，（1）

226×（1－α360）=20x，（2）

解得：α=452×360693，代入（1），解得：

x=241×452693×40=272336930.

思路2（工程問題模型）：

40x241+20x226=1，

解得：x=140241+20226=272336930.

結論：兩種模型結果相同.

教學說明預設是教師主導作用的重要體現.教師引導1所做的預設，目的是進一步指明研究的方向，縮小研究的范圍，使問題具體化，根據原題的情境，引導學生創設關聯的情境模型，發展模型觀念.

教師引導2：比較兩種模型，大家繼續探究原題中哪一種解法是錯誤的？錯因是什么？

學生2：原題中跑道是由直道和彎道兩種圖形構成，我猜想兩人在直道和彎道中行進的“效率”不同，不符合工程問題的定義，如果跑道由一種圖形構成，則兩種模型都正確.

教師引導3：結合學生2的猜想，請大家嘗試再構建關聯情境的模型，觀察、猜想、計算、檢驗模型的結果.

學生3：我們小組類比圖2的模型將原跑道的彎道舍去，按黃金分割比構建了一個長方形環形跑道.如圖3所示，最內側的長方形長87米，寬54米，每條跑道寬1.2米，經過20秒2人在左側直道第一次相遇，其他條件不改變.設小王的速度是x米/秒，則教練的速度是2x米/秒，教練從A順時針到C經過的路程為40x米，小王從B逆時針到D經過的路程為20x米.

思路1（行程問題模型）：

20（x+2x）=（87+54）×2+2×2×2×1.2，解得：x=291.660=4.86米/秒.

思路2（工程問題模型）：

將兩人從起點出發到第一次相遇理解為工程總量1.則

20x（87+54）×2+40x（87+1.2×2×2+54+1.2×2×2）×2=1，解得：x=353917210≈4.91米/秒.

結論：兩種模型結果不同.

學生4：我們小組為了便于計算構建了一個正方形環形跑道模型，并簡化了數據.如圖4所示，最內側的正方形邊長為40米，每條跑道寬2米，經過20秒2人在左側直道第一次相遇，不改變其他條件.設小王的速度是x米/秒，則教練的速度是2x米/秒，教練從A順時針到C經過的路程為40x米，小王從B逆時針到D經過的路程為20x米.

思路1（行程問題模型）：

20（x+2x）=40×4+2×2×2×2，解得：x=17660=4415米/秒.

思路2（工程問題模型）：

將兩人從起點出發到第一次相遇理解為工程總量1.則20x40×4+40x（40+2×2×2）×4=1，解得：x=3米/秒.

結論：兩種模型結果不同.

教師引導4：學生4在保留問題本質屬性的前提下，簡化數據，更有利于運算結果.這種刪繁就簡、抓問題本質的思維方式可以幫助我們把握數學知識的本質，順利解決問題.從結果來看，學生2的猜想是錯誤的.請大家觀察、思考以上幾種模型的圖形特征，嘗試通過計算探究結果.

學生5：“特殊化”學生4的模型，如圖5所示，將起跑點放在與最內側跑道的上側跑道平行的A、B兩點，小王逆時針方向由B到D的路程是20×3=60米，終點D在左側直道的中點.教練順時針方向由A到C1的路程是44+48+24=116≠120米，矛盾.

教學說明生成強調教學活動中學生的主體地位.首先，生成促進學生主動“動”起來參與到建模、算模、驗模的活動探究中來.其次，教師根據學生的生成，可以了解學生的知識結構和思維方式，對建模過程中出現的普遍錯誤做出針對性的解釋，有利于教師整體把握課堂教學，做到“有的放矢”.再次，學生“集思廣益”的生成，能夠激發靈感，碰撞出“靈性”的思維火花，拓展學生的思考深度和廣度，幫助學生多方向、多角度建立模型，改進模型.

3檢驗模型

教師引導5：結合圖5，你能從工程問題定義的角度探究原題中思路2的思維誤區嗎？

學生6：如圖5所示，小王逆時針方向由B到D，完成了全程的60160=38，教練順時針方向由A到C1，完成了全程的116192=2948，但38+2948≠1.原題的原理和本題相同，所以原題不是工程問題模型.

追問：圖2模型是否滿足工程問題的定義？這對理解圖5是否有更進一步的啟發？

學生7：如圖6所示，“對應邊”劣弧AC和BD與各自跑道的總長之比都等于360－α360.故可以用小王20秒的“行程量”360－α360（類比工程問題的工作量）代替教練20秒后（未騎行）的“剩余量”，這樣可以理解為小王和教練合在一起走完了“全程”，二者之和為1.究其根本原因，是因為兩個“同心扇形”AOC和BOD是“相似”的.對于圖5的模型，如圖7所示，由于教練的速度是小王的2倍，四邊形BGHD與AEFC不可能“相似”，故圖5模型不是工程問題模型.

教學說明學生在建立模型——求解模型——優化模型——檢驗模型的過程中獨立思考、自主探索、合作交流，真正參與到課堂活動中來，落實了“生動”課堂的目標，完成了知識學習從知其然到知其所以然的跨越，數學學習回歸到數學的知識本質.

4數學課堂發展模型觀念的幾點思考

4.1模型觀念的發展具有一致性、階段性和整體性

學生通過數學學習獲取的核心素養具有三個特征：內涵的一致性、表現的階段性和表述的整體性[2].模型素養是義務教育階段核心素養之一，貫穿于學生學習的各個階段.小學階段更具體，側重于基于經驗的感悟，即模型意識;初中階段相對抽象，側重于概念的理解和實踐的掌握，即觀念和能力.實際上，小學階段的相遇問題、追及問題是行程問題模型的初始階段，分數的學習使學生理解了“1”作為總體的涵義，自此埋下了工程問題模型的萌芽，學生在這些知識的學習過程中，積累了模型實踐應用的經驗，初步形成了模型意識，模型觀念的發展尚未成熟，若隱若現地存在于大腦的潛意識里.隨著知識的不斷積累和認知思維的不斷成熟與深入，初中階段的學習可以開展一些簡單的數學建模活動，如本課例的代數方法解決實際應用問題的建模探究，具備了數學建模活動的部分特點，有助于學生進一步形成和發展模型觀念，促進模型觀念素養的連續性和階段性發展.

4.2模型觀念的發展需強化真實情境設計與問題提出

《課標（2022年版）》在教學建議中強調，強化情境設計與問題提出，“注重創設真實情境、重視設計合理問題”[1]87.本課例通過操場跑道這個生活實際問題，引導學生創設圓形、黃金矩形、正方形跑道等熟悉的生活情境，這個探究過程符合《課標（2022年版）》在學業質量描述中強調的“從學生熟悉的生活與社會情境中，在經歷用數學的眼光發現和提出問題，用數學的思維和語言分析和解決問題的過程中形成模型觀念”[1]80的理念.在探究過程中，筆者循序漸進地提出合適的問題引導學生探索真實情境中蘊含的數學知識，從真實情境中提煉有用的數學信息，用數學的方法分析和解決問題.這個過程即弗賴登塔爾的“數學化”過程，“數學化”過程是初中階段形成和發展模型觀念的重要途徑.本課例的問題設計根植于真實情境，兼顧到思維含量，基于數學知識本質.采用追問的方式對教師引導5進行補充，推動學生思維層層遞進，引領學生探究活動不斷深入，揭示概念本質.模型觀念核心素養在學生與情境、問題的有效互動中得到提升，其表現出來的知識、能力和態度是在創設的真實情境中領悟和習得的.

4.3模型觀念的發展強調“活動”和“過程”

《課標（2022年版）》的理念之一是“實施促進學生發展的教學活動，強調學生的學習是一個主動的過程，動手實踐、自主探索、合作交流是學習的重要方式”[1]3.基于上述要求，模型觀念的形成與數學建模“活動”密不可分，參與活動的全“過程”是發展模型觀念的重要保證.本課例重視學生在獨立思考、合作交流后提出問題和假設，引導學生借助試題模型，自己建立相關聯的、熟悉的數學模型，并運算求解模型，給予結果解釋或賦予實際意義.學生在“活動”和“過程”中經歷數學“再發現”的過程，獲取數學建模的基礎知識、基本技能，感悟數學建模的基本思想，積累數學建模的基本活動經驗，如“特殊化”思想，再如保留模型的本質屬性，簡化數據進行運算，這種抓問題本質的思考方式，可以上升到哲學抓主要矛盾的思辨高度.凡此種種，無不是學生在數學建模“活動”和“過程”中感悟和積累的.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.4：3.

[2]義務教育數學課程標準修訂組.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022.8：2.

作者簡介劉守文（1983—），男，安徽合肥人，中學高級教師，合肥市數學學科帶頭人;合肥市教壇新星;發表論文10余篇.

江厚庭（1983— ） ，男 ，安徽六安人，中學高級教師，合肥市骨干教師，合肥市優秀班主任 ;發表論文多篇.