設計“三有”作業 提升數學素養

【摘要】作業作為學校課程的一部分，承擔著育人的功能，它最終目的是培養學生學會學習和自主學習，從而提升學生的數學素養，促進學生的全面發展．在“雙減”背景下，重新認識和設計作業，讓作業的呈現有層次，讓作業的完成有思考，讓作業的體驗有趣味，進一步培養學生持續的學習力．

【關鍵詞】作業;有層次;有思考;有趣味

一直以來，作業是鞏固教學成果的主要體現，而老師們過多的關注學生完成作業的“時間”“場合”“總量”三個指標：需要在規定時間內完成，在規定場合下完成，也規定了完成的總量．但是這樣的作業模式也導致了教學的一些低效產生，只關注作業的完成時間，卻忽略了作業是學校課程的延續，忽略了作業應有的功能；只看班級群體，不看獨特個體，在迎合部分學生畏難情緒下，設計低于能力生長點的練習，缺乏針對不同個體的差異化設計；只注重在學生端落實，遺失了教師端的改良，作業依然是教師交給學生的任務，而對作業目標的設定，作業類型的設計，作業難度系數的設置[1]，作業趣味性的體現，作業選擇性的實現等現狀缺乏統一規劃和深入思考．基于以上情況，對于作業的定位與重構值得每位教師思考，南京市秦淮區初中數學中心組在研訓員的引領下，從2021年9月啟動對數學作業的統一設計，每一節作業由ABC三類和個性化作業構成：其中A，B類作業一一對應，實現了從統一到分層變化，孩子們可以根據自己的情況完成AB類相應的題目；C類作業為拓展提升，關注了學生對知識和方法的深度思考，意在提升學生綜合分析問題的能力，讓作業更具有思考價值；個性化作業是本節課學習內容的延續，以閱讀思考，操作體驗，數學文化等形式呈現，意在培養學生創新能力和獨立探索問題的能力，指向數學核心素養的培養，也讓作業的體驗更具有趣味性．

1基于目標，準確定位

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出要制訂指向核心素養的教學目標，而作業是課程的一部分，故設計作業前要關注單元教學目標，從而設計作業目標，如表1．從實踐層面看，作業設計先于教學設計;從目標要求看，本章節除了“會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，并會根據視圖描述簡單的幾何體”“運用圖形的平移、軸對稱、旋轉進行圖案設計”和“能根據展開圖想象和制作模型”是運用水平，其余基本上是了解水平.同時，本章節是作為幾何的起始課，意在培養學生的學習興趣和探索能力，通過對圖形的觀察、展開、折疊等活動，探索豐富的圖形世界.因此作業目標設計表要緊扣課程標準要求，覆蓋本單元知識點，重點關注學生的空間觀念、幾何直觀、抽象能力及推理能力的形成．

教師在設計作業之前，心中要有清晰的設計原則——基于課程標準，以確保作業的科學性和合理性，因此仔細研讀課程標準和教材是重中之重．

2落實素養，設計“三有”

2.1基于學情，分層選擇

每個學生在思維能力、接受能力、理解能力、興趣和意志品質等方面有差異，因此教師僅僅基于課程標準、基于學情來統一布置作業，就很難兼顧到所有學生；如果同一個知識點同時布置幾道類似且沒有梯度的題目，就不能減輕學生的作業負擔，在課程標準和學情的指引下，分層設計作業就顯得尤為重要．AB兩類試題屬于同一知識點下不同難度的一一對應，根據學情，教師可以讓學生自主選擇AB兩類試題，如果B類試題較難，可以選擇相應的A類試題完成，如果A類試題較容易，也可以挑戰相對應的B類試題．同時在部分A類試題下方還有解答提示，希望所有學生能完成每節課的作業目標，從而完善課程體系，落實“四基”要求．以下對部分作業設計進行說明．

作業1（A類）從運動的觀點看：點動成___________，線動成___________，面動成___________．

（B類）分別舉出一個生活實例，其中蘊含“點動成線”“線動成面”“面動成體”．

設計意圖A類作業是了解層次，加深學生的運動觀念，屬于記憶類型；B類試題關注運動方式在生活中的呈現，基于對A類的理解后的信息加工，關注學生的素養“會用數學的眼光觀察”從而發現運動，“會用數學的思維思考”從而辨析運動，“會用數學的語言表達”從而豐富呈現方式，邏輯嚴謹，對運動理解深刻．

作業2（A類）在方格紙中畫圖．

（1）畫出圖1①中線段向右平移3格所得到的圖形．

（2）畫出圖1②中線段沿圖中虛線翻折后的圖形．

（3）畫出圖1③中線段繞點O旋轉180°后的圖形．

（B類）在方格紙中畫圖．

（1）畫出圖2①中三角形先向右平移3格，再向下平移1格所得到的圖形．

（2）畫出圖2②中三角形沿圖中虛線翻折后的圖形．

（3）畫出圖2③中三角形繞點O旋轉180°后的圖形．

設計意圖AB兩類作業的難度一目了然，A類作業更能反映運動的本質，雖然難度低于B類，但通過這兩道題目的對比能讓學生感受到圖形的運動中“對應點”的重要性，圖形的運動可以通過最基本的“點”的運動來確定運動后的圖形，為后續平移、軸對稱、旋轉的學習滲透思想方法，“要素”將成為探究圖形定義和性質的抓手，體現了運動研究的一致性．本作業也體現了在圖形的運動中局部和整體的互相轉化，加強對圖形運動的理解．

作業3（A類）若在正方體表面上畫如圖3所示的線段，請你在展開圖上標出對應的其它兩條線段．

（提示：要確定所求線段的位置需要知道哪幾個點的位置？）

（B類）若在正方體表面上畫如圖4所示的線段，請你在展開圖上標出對應的其它兩條線段．

設計意圖在A類作業中，平面展開圖和立體圖形的對應更加清晰，因此三條線段的位置容易得到．而B類作業的展開圖對于線段的位置尋找有困難，需要將平面圖形和立體圖形的“位置”不斷調整，找到它們之間的對應關系．同樣的立體圖形，不一樣的平面展開圖，關注學生的空間想象能力，學生可以先通過直觀想象，然后借助正方體的展開圖將其還原成立方體，從而解決問題．直觀想象加深從立體到平面的感知，而動手操作可將平面圖形轉化成立體圖形來研究，體現了轉化的數學思想．同樣的題設，呈現出作業的難度卻不一樣，讓分層選擇易操作，讓每個學生都能得到自我的發展，落實“四基”要求．

作業4（A類）能否把一張正方形紙片（如圖5）不經裁剪折疊成一個立體圖形？如果可以，畫出示意圖．

（B類）現有邊長20cm的正方形紙片（如圖5所示），能否用它剪得兩個面積最大的正方體表面展開圖？若能，請你畫出你的設計方案；若不能，請說明理由．

設計意圖AB兩類試題的答案具有不確定性，學生經歷了操作體驗和直觀想象，將一個“平面”的紙片進行折疊得到立體圖形，提升學生動手操作的能力，在嘗試中尋找答案，積累數學活動經驗；而B類試題關注了“最大”，需要合理對紙片進行布局，同時關注正方體展開圖的合理“擺放”，旨在考查學生對正方體展開圖的理解和對已知條件的信息處理，培養學生的想象和推理能力．

作業5（A類）一個長方形的長和寬分別為3cm和2cm，依次以這個長方形的長和寬所在的直線為旋轉軸，把長方形旋轉1周形成圓柱體甲和圓柱體乙，兩個圓柱體的體積分別記作V甲，V乙，則下列說法正確的是（）．

A．V甲＜V乙B．V甲＞V乙

C．V甲＝V乙D．無法確定

（B類）一個長方形的長和寬分別為3cm和2cm，如圖6，依次以這個長方形的長和寬所在的直線為旋轉軸，把長方形旋轉1周形成圓柱體甲和圓柱體乙，兩個圓柱體的體積分別記作V甲，V乙，側面積分別記作S甲，S乙，則下列說法正確的是（）．

A．V甲＜V乙，S甲＝S乙B．V甲＞V乙，S甲＝S乙

C．V甲＝V乙，S甲＝S乙D．V甲＞V乙，S甲＜S乙

作業6（A類）用一個平面去截正方體（如圖7），下列關于截面（截出的面）的形狀的結論：①可能是三角形；②可能是長方形；③可能是正方形．其中所有正確結論的序號是．

（B類）用一個平面去截正方體（如圖7），下列關于截面（截出的面）的形狀的結論：①可能是三角形；②可能是四邊形；③可能是五邊形；④可能是六邊形；⑤可能是七邊形．其中，所有正確結論的序號是．

設計意圖作業5和6的AB兩類試題的題干幾乎一致，設計初衷是B類試題是A類試題的再思考，作業5中A類是旋轉體的體積的比較，而B類增加了側面積的比較，根據平面圖形的運動來想象立體圖形的特征．作業6是根據立體圖形思考截面的形狀，其中A類是關于正方體截面的形狀分類，而B類是在A類的基礎上增加了截面為六邊形和七邊形的辨析，關注學生高階思維的培養，亦可以培養學生從反證的角度思考．兩道題目前后呼應，方法一致，這種類型的分層作業值得推廣．

2.2基于能力，深入思考

對于學有余力的學生，作業應加深認知拓展和關注對問題的深度思考，通過對課堂上未解答的某個內容的格外關注或疑惑，從而以某項作業的完成標志著能力的提升，激發學生深入思考，提升能力．這樣的作業難度較大，處理時間較長，課堂上教師在兼顧全體的原則下，不一定能開展此項教學活動，因此以作業的形式讓學生對課堂學習的鞏固和提升，促使學生獨立思考，學會數學思維，培養“四基”“四能”，發展數學核心素養，學會學習．以下選取本章節的部分C類作業．

作業1（C類）某玩具店根據積木數量的不同，訂制了不同型號（只包裝一個積木和包裝兩個積木）的外包裝盒，所有外包裝盒均為雙層上蓋的長方體紙盒（如圖8，上蓋紙板面積剛好等于底面面積的2倍）．已知每個積木的長和高均為acm，寬為bcm，且a＞b．放入包裝盒時，必須將長為acm，寬為bcm的那一面朝上．

（1）若只包裝一個積木，則該型號長方體紙盒需要cm2紙板（用含a，b的代數式表示）；

（2）將兩個積木放在包裝盒內有甲，乙兩種方式（如圖9），請分別計算甲，乙兩種擺放方式所需外包裝盒的紙板面積，并比較哪一種方式所需紙板面積更少，說明理由．

設計意圖第（1）問中關注立體圖形的表面積的計算，學生易于理解和操作；在第（2）問中將兩個積木拼在一起放在包裝盒內，滲透分類討論思想，引導學生關注不同擺放方式的面積比較，通過計算，得到結果，從數的角度思考問題．是否可以嘗試從形的角度思考來比較大小，留給學生思考空間．

作業2（C類）如圖10，正方形硬紙板的邊長為a，其4個角上剪去的小正方形的邊長為b（b＜a2），這樣可制作一個無蓋的長方體紙盒．

（1）這個紙盒的容積為（用含a，b的代數式表示）；

（2）當a＝10，無蓋長方體盒子的容積因b的值的變化而變化，請填寫下表：

（3）根據上述計算，請猜想無蓋長方體容積何時達到最大？

設計意圖通過列式得到容積的表達式，代入具體數值感受長方體盒子的容積隨b的值的變化而變化，從而滲透函數思想．進一步通過列舉猜想取到最大值的大致范圍，引導學生可以繼續“加密”數據，猶如面積為2的正方形邊長的探究過程，透過數據尋找答案，關注學生數據分析觀念的建立.這里教師可以引導學生類比已有結論：“當周長一定的情況下，所有長方形中面積最大的是正方形”，類比體積最大時應該滿足什么條件？可以查閱相關資料，小組合作一起解決未知問題，為后續的學習做好鋪墊，培養學生的直觀想象能力和發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的意識．

2.3基于素養，趣味體驗

基于學生的學習經歷，從學生的體驗感來講，大部分作業讓學生感覺到枯燥無趣，而教師對作業的研究卻顯得微不足道，不過作業作為課堂的延續，也是重要組成部分．課堂教學中會關注內容的“趣味性”，因此作業的趣味性也顯得尤為重要，如何讓學生喜歡上寫作業，除了作業可選擇以外，更重要的是能讓學生感受到一些趣味性，這里的趣味性包括素材的有趣，過程的有趣，結果的有趣，呈現方式的有趣，等等．教師要創造條件給學生提供素材和思考的空間，個性化作業立足于讓學生進行數學閱讀，驗證數學猜想，體驗數學游戲，傳播數學文化．以下選取本章節的幾個個性化作業．

作業1：

閱讀·認識

“江南佳麗地，金陵帝王州”，南朝蕭齊詩人謝朓的《入朝曲》里描繪出了南京與其他江南城市的區別——不似蘇杭那樣精致、秀氣，南京城透露出的是一股恢弘的歷史氣息．在南京這所歷史名城中，有一些標志性的建筑，如紫峰大廈、中山陵園、大報恩寺、國際青年會議中心等，它們體現了一定的南京文化．請欣賞下列建筑的精美圖片（圖11），你能從照片中看出哪些熟悉的幾何體？你能再去尋找一些你印象深刻的建筑嗎？請拍成照片，與同學們分享．

設計意圖打卡南京的標志性建筑來游覽南京，將課程從課堂走向生活，引導學生發現生活中的幾何體，通過將實物模型抽象成幾何體的過程中，發展學生的空間觀念，明晰幾何體的特點，感悟數學與我們同行，培養學生的數學素養．

作業2：

俄羅斯方塊與圖形運動

你知道嗎？平時我們生活中熟悉的玩具和娛樂游戲中，常常含有許多與圖形運動有關的知識，例如俄羅斯方塊這一拼圖游戲．

如圖12①，俄羅斯方塊游戲里有7種不同形狀方塊不斷隨機下落，根據它們的形狀來命名，分別為I，J，L，O，S，T，Z．俄羅斯方塊的游戲規則是玩家需要將隨機掉下的不同形狀的方塊進行變化（每個方塊可以順時針轉動90°，180°，270°，360°），將之填放到適當的位置，被填滿的行將自動消除．玩家一次可消除1行至4行不等．而隨著被消除的總行數的不斷增加，方塊下落的速度也會越來越快．一旦某個方塊放置后超出了原規定長方形（如圖12②中的長方形ABCD）的高度，游戲便自動結束．

如果把方塊一次聚積到2行、3行、4行，再消掉的話，那得分會比一行一行消去的分數要高得多．

你能畫出這7種方塊順時針轉動90°，180°，270°，360°的圖形嗎？請試一試！

俄羅斯方塊引發了一個值得思考的數學問題，假如玩家的技術水平高超，那么這一游戲是否永遠不會結束？答案是否定的．曾有論文指出，當“S”型方塊和“Z”型方塊以適當的間隔交替出現時，游戲區域中將不可避免地出現越來越多無法消去的行，最終導致游戲結束．雖然這種情況發生的概率極低，但仍然是有可能的．

設計意圖在游戲中體會圖形的運動，感受到圖形的美妙，運動前后圖形的形狀大小不變，要想把一些組合圖形填到相應的空缺處，需要對圖形進行平移和旋轉，因此這個游戲中涉及到平移變換和旋轉變換，同時游戲的易操作和刺激性讓學生不斷挑戰自我，激發學生的學習興趣和提升空間想象能力．

作業3：

數學·文化

哈密爾頓世界環游

1859年，著名數學家哈密爾頓發明了一種“環游世界”的游戲，他把正十二面體（圖13）的20個頂點分別標上倫敦、巴黎、東京、華盛頓等城市的名字，要求玩家從某個城市出發，沿著正十二面體的邊通過每一個城市，并且只能經過一次，最后回到出發的城市．

在數學的歷史上，哥尼斯堡七橋問題（有興趣的同學可以去查閱一下有關哥尼斯堡七橋問題的資料）是在尋找一條遍歷圖中所有邊的簡單路徑，而哈密爾頓的世界環游問題則是在尋找一條遍歷圖中所有點的基本路徑．

讓我們一起動手操作，利用圖14的紙片做一個正十二面體，體驗一下哈密爾頓的“環游世界”的游戲．

設計意圖哈密爾頓世界環游問題和哥尼斯堡七橋問題都是圖論中的經典問題，素材中的正十二面體源于七上課本的做一做，在九上的概率章節中也出現了正十二面體，圖形的價值不言而喻，同時圖形也展現了對稱之美，那么如何制作一個正十二面體值得學生去思考，在觀察和操作中培養學生的動手能力，讓數學更加有趣，沿著哈密爾頓的路線，回顧經典，探索數學的奧秘．

3設計作業，彰顯價值

作業設計的必要性和重要性顯得尤為重要．首先要基于作業目標設計適合學生發展的作業．其次，作業設計要讓題目呈現有層次，便于學生能選擇；作業要有思考價值，促使學生不斷思考，嘗試計劃，努力解決，反思提煉，從而提升學生解決問題的能力；作業更應該具有趣味性，讓學生在玩中學，做中學，發展數學核心素養．

作業的改進能促進學生對自我的剖析與認識.作業反映了學生獨立自主的學習過程，是學校課程的重要組成部分，是自我消化和自我發展的重要載體，它既影響著學生的學習興趣與學習自信的建立，能夠為學生長期學習提供源源動力，又有助于培養學生的責任感、自律性以及學習的意志力，促進學生的自我成長．

作業的改進能促進學生的個性化發展．作業不僅能夠幫助學生獲取基本的知識和方法，更能加強自我提升和自我管理，在統一發展的過程中，我們也應該充分尊重學生個性化發展的需求，讓作業的完成有選擇，有樂趣，有思考，消除學生對被動完成作業的無奈感、對作業統一要求的沮喪感、對自我需求得不到關注的孤獨感，實現學生個體生命的成長與成熟[2]．

因此，作業設計走“新”，更應該走“心”．

參考文獻

[1]何捷.“雙減”背景下，“課程”視角的作業設計與研制[J].中國教師，2022，（01）：22-27.

[2]楊清.“雙減”背景下中小學作業改進研究[J].中國教育學刊，2021，（12）：6-10.

作者簡介王強（1987—），男，江蘇南京人，碩士，中學高級教師;伊犁州優秀援疆教師，伊寧市優秀教師，南京市優秀青年教師，南京市秦淮區數學學科帶頭人;曾獲江蘇省初中數學優質課比賽一等獎.