關于小學數學教學中數形結合思想的滲透與應用

付華芝

數學問題的思維方式是解決數學問題的方法路徑，數學教學旨在通過對不同數學問題的解題方式，拓寬學生思路，培養多維思維方式。小學生處于數學的啟蒙時期，在小學數學教學過程中，如何對學生滲透更為靈活、更為直觀的數學思維解題方式是教學研究的一項重點問題。數形結合是小學數學教學過程中一種常見的數學思維方式，本文聯系筆者自身的教學實踐經驗，研究和探討了小學數學數形結合思想的滲透和應用方面的問題及思路。

一、數形結合思想在教學實踐中的滲透與應用

對于小學生來說，數形結合思維的形成是一個感性認識階段，通過反復認知、體驗才能循序漸進升華到理性層面的過程。以小學數學北師大版本為例，教材的特點是從小學生容易認知的圖形的具體形象逐漸過渡、逐步深入到數量的抽象層面。在教材中不難發現，許多數學概念的提出，都從圖形的具象到數量的抽象，體現了數形二者的有機結合，從而逐步幫助學生建立其基本的數學概念與數學思考模式。小學數學的教學對象的特點，決定了教師應采取循循善誘、因勢利導的教學方式，因此在教材數形結合的基本框架下，逐步向學生滲透數形結合的思維方式，從而加深學生對數學概念的理解以及促進學生數形結合解題思維的形成。

（一）善用數形結合思想，幫助學生理解最基本的數學概念

小學數學教材中，有許多數的意義認識方面的內容就結合了數形結合的思想。小學數學中關于“數”的基本概念，是一種比較抽象的概念，但是應用數形結合的思想，就可以是此種抽象概念轉化為清晰、具體的十五，從而使小學生更容易理解“數”的意義。

在一年級上冊中，在學生對于“數”的啟蒙階段，教材利用圖形（實物）與數量的對應關系，引出“數”的概念，從而幫助學生更好地認識“數”，乃至進行簡單的加減運算。例如，在學習10以內的數字時，教材將數字與具體實物個數相匹配，以連線的方式來促進學生對數字概念的具體化。之后，教材中對于多少、長短、高矮等抽象的概念用具體的圖形表示，使學生更容易理解。在三年級下冊中，教材通過用人民幣購物入手，讓學生在了解整數的基礎上，引入小數的概念，從而使學生更容易理解小數這一相對小學生來說更為復雜的數字概念。在負數的教學過程中，教材利用溫度計的零上溫度和零下溫度，來為學生引入正負數的概念，從而使學生認識正數以外負數的概念。如此等等，教材在編寫過程中，無時無刻不在通過數形結合的基本形式，為學生滲透數形結合的基本數學理念，從而使處于啟蒙階段的小學生在概念上更加容易接受不容易理解的概念。數形結合思想在教材中的滲透，更容易將學生帶入相關情境中，適應了小學生學習數學知識較為困難的需求。同理，在更為復雜的數學計算中，利用數形結合的方式，可以引導學生更加容易把握運算的核心和規律，從而深化華羅庚先生說的“數缺形時少直觀，形少數時難入微”的數形結合的思想。

在三年級數學下冊的認識分數的部分，教材中指出“把一件物品或某個圖形平均分成兩份，表示其中的一份，就是二分之一”。如果教師平時在教學過程中，僅僅在語言上進行強調，空洞地給學生講解，學生會陷入抽象的概念中而導致對分數的理解不夠深入，在自我敘述時會造成遺漏的現象。因此教師在教學過程中，引導學生進行用圖形表示數字的體驗，通過畫一畫、涂一涂的方式來體驗直觀的分數“二分之一”，就可以比較更好地通過圖形的方式理解“平均分”的含義，從而掌握了分數的概念和定義。通過數形結合的教學實踐，學生對于分數這一教學概念從具象的概念層層遞進到抽象的概念，從而將分數這個概念固化在頭腦當中，形成了最簡單、最基本的分數概念，達到了良好的教學效果。

（二）活用數形結合思想，加深學生對圖形的數學理解

圖形雖然具有簡單直觀的優勢，可以在一定程度上幫助學生更好地理解數學概念，降低學生解決數學問題的難度，但是也有概念泛化、表達不精準的劣勢。一些小學數學的幾何概念諸如直線、線段、射線、角、三角形、正方形、長方形等幾何圖形，都有其各自的特性。在小學數學的一些幾何問題中，如果不進行數形結合思想，那么將無法使學生更好地理解圖形的特點和內涵。因此，通過數來解釋“形”的簡略性，將數與行有機地統一起來，以精準的數學語言和形式化的數學模型來描述圖形、解釋圖形的特性特點，才能更好地突出圖形的特點特性，從而幫助學生加深對圖形的數學理解。

例一：幾何圖形計算公式的表示。

在小學數學教學中，周長、面積、體積等幾何圖形的計算方式，都有特定的數學公式進行推算和解決，學習這些數學公式將有助于學生更好地理解其特性。如在“長方形與正方形”特性的學習時，長方形與正方形的區別為正方形四個邊長相等，而長方形相對的兩個邊相等，計算長方形與正方形的周長，則需要根據長方形與正方形的特性運用到長方形與正方形的計算公式，即正方形周長=邊長×4，長方形周長=（長+寬）×2，這樣從周長計算，使學生更好地理解長方形與正方形的特性。

又如對于圖形面積的認知中，從小學生最開始的數方格的過程就已經開始了。通過數方格的方法，得出圖形面積的數學模型公式，從而使學生在更深的層次上去認識模型。只有熟練掌握了圖形的面積公式，才能更深入地了解圖形的性質，從而在計算中才能夠得出最正確的結論。

例二：角的大小的比較。

運用形數變換的思維，可以將圖形更好的分解，這就要求小學生不僅要通過直觀的圖形來進行引導，而且要將圖形轉化為具體的數字來指代圖形。在小學數學中，角的定義為“從一個點引出的兩條射線所組成的圖形”，角的大小與邊長無關，但是同兩條射線的夾角有著一定的關系。在具體的教學實踐中，角的大小的比較，可以通過直觀的圖形比較，也可以對應到相應的數字上來。在本質上，角的大小是由它在單位圓中所對應的弦長或者弧長來決定的。通過兩個大小不同的角的圖形表示以及數字表示，學生可以更好地將數形轉換的思維運用在對幾何概念的理解上，從而更好地運用數形結合思想解決數學學習中遇到的問題。

例三：通過數字來幫助學生建立一定幾何概念。

小學生在學習幾何與數字之間聯系的過程中，一般來說是從直觀到抽象，由分散到概括，由表象的認知，再到深入抓住幾何和數字之間的聯結點。在由表及里的中間環節，啟發學生勤于思考，勤于聯想，從而形成一定的幾何概念乃至空間概念，是十分有必要的。例如，在教學過程中，提出數字“3”會想到什么？學生可能會想到三個點、三角形等。而給出一個“4×5”，學生可能會想到一個長為5米、寬為4米的長方形。而給出“5、5、1”，“5、5、2”，“5、5、5”，“5、5、6”，“5、5、7”等幾組數字，學生可能會想到一系列等腰但底長依次變化的三角形。

通過以上案例可以看出，數字的變化伴隨著圖形特點的變化。在這一過程即是對數形結合思想的有效滲透，可以有效拓展學生的發散思維，增強其對于圖形幾何特性的認識，從而提高了學生的幾何想象能力，更有利于教學目標的實現。

（三）巧用數形結合思想，幫助學生解決實際計算問題

小學階段是培養學生數學計算能力的重要階段，是學生形成一定計算能力的關鍵期。畫圖是一種最簡單的數學語言，是一種數學語境下簡約、直觀、生動的信息表示，在教學過程中，當題目難以理解時，試著對學生滲透數形結合的思想，通過畫出圖形的方法，引導學生通過運用圖形這一簡單的數學語言，讓學生在“情景化”的氛圍下體會解題思路和解題方法。這樣就可以恰如其分地利用數形結合思想，更好地輔助學生的思維，讓學生自主、自發、自覺地理解其中的算理，從而為提升學生計算能力打下良好的基礎。下面舉例說明利用數形結合思想在數學教學過程中的滲透，來促進學生數學計算能力的提高和數學思維的養成。

例一：差倍問題。

有兩根同樣長的繩子，第一根用掉47米，第二根用掉38米后，剩余長度是第一根的4倍。求兩根繩子原來每根多少米？

如題所示，如果單審題，小學生會陷入抽象的概念中無法迅速理清其中的數量關系。因此，在解題中引入一定的圖形，來對其中的關系進行分析，則可達到直觀的作用。

首先畫示意圖如下：

在圖中可以看到，第二根繩子比第一根繩子多出來的3倍為：

47-38=9（米）

因此第一根繩子所剩下的長度為9÷（4-1）=3（米）

故第一根繩子原有長度為47+3=50（米）

兩根繩子長度相等，根據圖中標識，第二根繩子原有長度可計算為：38+9+3=50（米）

如此一來，依靠圖形的表示，可以直觀地表示出兩根繩子的關系，從而更好地啟發學生進行計算，從而得出相應的計算結果。

例二：年齡問題。

老張和小明聊天，老張說：“當你和我一樣大的時候，我已經54歲了，當我像你這么大的時候，你才3歲。”求老張和小明分別幾歲。

類似年齡問題，對于缺乏抽象思維的小學生來說具有一定的難度，然后利用數形結合思想，結合圖形的標識，就可以直觀地畫出老張和小明的年齡關系，從而使小學生理解年齡問題的算理，提高其數學思維能力。

首先已知老張與小明的年齡差值是不變的，根據題意，可以利用相等的線段來表示老張和小明的年齡關系。

從3歲到54歲，可以分成三個年齡差值，因此計算小明和老張年齡差值的算法就為：

（54-3）÷3=17（歲）

那么老張年齡計算方法為：

3+（17×2）=37（歲）

小明年齡及計算方法為：

3+17=20（歲）

如上所示，使用等分線段來表示年齡問題中的年齡差值，可以用線性方式讓學生更好地理解年齡這一抽象的數學概念，從而更好地分析、計算，熟悉算理，達到事半功倍的目的。

例三：還原問題。

開學了，李明的媽媽給了李明一筆零花錢購置開學用品，李明先是花了10元買了一個水杯，又用剩下的零花錢的一半買了一個書包，最后買了一本課外輔導書，花掉了第二次剩下的錢的一半還要多2元，最后零花錢還剩5元。問：買書包及課外輔導書分別用去多少錢？李明媽媽一共給了李明多少零花錢？

類似問題，利用線段進行表示解題將變得非常直觀，更加容易進行計算。

畫圖如下：

如圖所示，書包價格等于課外輔導書外加5元，而課外5+2=7（元）則為書包一半的價格，因此書包的價格為：

（5+2）×2=14（元）

而課外輔導書的價格為：

14-5=9（元）

那么李明媽媽一共給李明的零花錢為，買水杯、書包及課外輔導書的總和及剩下的5元：

10+14+9+5=38（元）

例四：行程問題。

有A、B、C三人，A騎自行車每分鐘200米，B騎車每分160米，C騎車每分鐘150米。A從甲地，B、C從乙地同時出發，相向而行，途中A、B相遇后3分鐘又與C相遇。求甲乙兩地之間的距離。

根據題意，A、B相遇后三分鐘，A、C才相遇。那么根據A、B相遇時C的位置以及A、C相遇的位置，可以確定A、B相遇位置與A、B相遇時C的位置的距離，此距離為A、B相遇時，B比C多走的距離。計算方式為：

（200+150）×3=1050（米）

B、C速度差為：160-150=10米/分

那么根據B比C多走的路程以及B與C的速度差，可以計算出A、B相遇時，B所用的時間為：

1050÷10=105分鐘

那么如圖所示，甲乙兩地的距離為A、B相遇時，A、B所走路程的總和：

（200+160）×105=37800（米）

綜上所示，教師在教學過程中，利用數形結合的方式開拓學生思路，為他們提供更加直觀的解題路徑，將抽象的數量關系明朗化，將復雜的解題思路形象化，降低了復雜題型對于學生的不友好度，便于學生高效率地掌握數學知識，最快弄懂數學問題背后的算理，同時也有助于學生數學興趣和數學智力的挖掘和開發，從而使小學生的數學學習充滿樂趣，收到事半功倍的教學效果。

二、結語

總之，“數形結合”思想是一種行之有效的小學數學教學方法，具有可以使抽象的數學概念具體化、復雜的數學問題簡單化的優點。數形結合思想有助于學生在小學階段培養對于數學的學習思維，激發學生的學習興趣，還可以為學生提供高效率的數學解題方法。華羅庚說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，割裂分家萬事休。”因此，在小學數學教學中，教師應熟練理解、掌握、運用數形結合的教學思維，并注意數形結合思想的應用與滲透，使數形結合思想成為學生掌握數學常識概念、升華數學解題思維的有力工具，達到事半功倍的教學效果。