對關聯矢量問題的思考

張麗 劉杭州 尚振玉

摘? ?要：關聯矢量問題在高中階段涉及到了兩個問題，一是解決關聯速度問題，二是求解勻強電場場強。從揭示關聯矢量問題的內因出發，總結關聯矢量問題的特點，尋找解決該類型問題的方法，以期快捷地解決關聯矢量問題。

關鍵詞：關聯矢量問題；合成分解法；解決方法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2023）5-0063-3

一般來說，矢量的分解和合成只要服從矢量運算法則，就可以在任意方向進行分解和合成。但在受約束的問題中，矢量的分解和合成必須在約束的規則下應用，這與學生對矢量的基本認識有所違背，造成了學生的思維障礙。在解決關聯矢量問題時必須解釋清楚該問題的內因，讓學生找到其特點，才能更好地解決該問題。高中階段關聯矢量問題重點針對關聯速度和勻強電場的合成分解法求解，下面具體分析。

1? ? 關聯速度問題

在繩、桿及接觸面約束（牽連）下的運動分解合成問題是運動分解合成問題的難點，教學的困難主要來源于學生對約束條件的認識和建立正確的速度關系。只有從學生的數學知識儲備及認知水平出發，合理地解釋該問題，才能讓學生很好地理解關聯速度問題。

1.1? ? 單一輕繩關聯速度問題

中學階段常用三種方法解釋關聯速度問題，分別為等效運動法、導數法、能量傳遞法。

例1 如圖1所示，纖夫以速度v0在河岸上勻速地繞過定滑輪向岸邊拉船，當拉船的繩子與水平面成α角時，船的運動速度v為多大？

（1）等效運動法

運動分解的主要方法是把合運動分解成兩個方向的分運動。船的真實運動是合運動，可將其分解為沿繩子方向的勻速直線運動和繞滑輪的勻速圓周運動。

如圖2—圖4所示，若船從P點運動至Q點，可等效為繩子先以速度v0收縮至P'點，再沿著切線做勻速圓周運動至Q點，顯然船的速度可分解為沿著繩子和垂直于繩子的兩個分速度，易得到v=■。

（3）能量傳遞法

從功能關系角度看，關聯物體發生運動的過程中，連接物的作用本質是傳遞能量［2］。即人拉繩的功率與繩拉船的功率相等，則有

上述三種方法分別從等效運動、位移關系、能量關系角度尋找關聯速度的速度關系，顯然必須把船的速度分解為沿著繩子和垂直于繩子的兩個分速度。在高中階段都是可行的，但在學生初學該內容時還有沒有學習具體的功能問題及導數，教學時可采取學習進階的方式在學習的不同階段逐步應用，讓學生能深入地理解該問題。

在實際教學中，哪怕知道了上述處理方法，學生仍有兩個困惑：一是為什么不分解端點繩子的速度，二是為什么非得正交分解。不分解端點繩子的速度是因為分解的必須是合速度，而沿繩子方向的速度不是船運動的合速度。必須正交分解的原因是，如果一個分速度沿著繩子，另一個速度沿任意方向，那么當沿繩子方向的運動結束后，另一方向的運動一定會引起繩子長度的變化，從而使沿繩子方向的運動發生變化，而沿繩子方向的運動一定是勻速的，這相互矛盾了。

1.2? ? 多段輕繩關聯速度問題

僅研究在單一輕繩牽連下的關聯速度問題不能使學生感受到關聯速度問題的特點，通過對多段繩子牽連下的學習才能體會到受約束矢量問題的正確解決方法。

例2 如圖6所示，平靜的海面上，兩艘拖船A，B通過不可伸長的纜繩拖著駁船C運動，某時刻兩根纜繩的夾角為θ，兩拖船A，B的速度大小均為v0。已知兩拖船的運動方向始終沿纜繩方向，則此時駁船C的速度大小為多少？

解決該問題時大多數學生會犯的錯誤是直接應用平行四邊形定則將兩個速度合成（圖7），這是因為沒有把握住關聯速度問題的“關聯”特征。關聯速度問題的主要特征是獨立關聯，即各自關聯各自的，各分速度沒有直接關系，且合速度是唯一的，不能分別關聯分解后合成（圖8）。正確的方法應該是，若知道合速度方向，只需選取任意分速度進行關聯正交分解合成；若不知道合速度方向，如圖9所示，過兩關聯速度矢量箭頭分別作垂線，兩垂線交于一點，合速度為速度交點與垂線交點的連線。可以這樣操作的原因是合速度具有唯一性，而合速度與兩關聯速度又是獨立關聯的，應用三角形法則獨立關聯尋找合速度時，圖9中的合速度是唯一獨立關聯后的相同速度。此時形成的四邊形對應一個外接圓，根據正弦定理和余弦定理可得

2? ? 分解合成法求勻強電場場強問題

3? ? 總? 結

關聯矢量問題的特征和方法實際上是統一的，分解時只能正交分解，合成時只有兩分量垂直時才能直接合成，但這只是一種巧合，因為只有兩分量垂直時彼此是獨立關聯分解的另一個量。若兩分量不垂直則不能直接合成，可以作垂線，應用四邊形的外接圓的特征，根據正弦定理和余弦定理求解。誤解是學習的常態，只有深入思考才能達到理解的狀態，通過引導學生對關聯矢量問題進行深度分析才能有效提高學生對物理知識的認知程度，培養學生的核心素養。

參考文獻：

［1］范財政.淺析教學中的關聯速度問題［J］.物理通報，2021（2）：122-123，135.

［2］楊欣.從連接物的運動特征與作用本質分析關聯速度［J］.物理通報，2022（S2）：76-77.

［3］段石峰.對“合成法”求解勻強電場中電場強度的修正［J］.物理教學，2022，44（6）：48-50.

（欄目編輯? ? 蔣小平）