學科視角下關聯發展學生運算能力

付榮玲

2022版《數學課程標準》指出，運算能力的素養有三種表現：一是“如何算”、二是“為什么這樣算”、三是“怎樣算得更好”。筆者在調研時發現，“如何算”的問題學生容易掌握，“為什么這樣算”知道的不多。造成學生算理不清的原因是什么呢？如何讓學生既知道“如何算”，又能理解“為什么這樣算”，從而提升學生的運算能力呢？筆者以兩位數乘兩位數的筆算為例進行了教學探索。

一、筆算教學算理不清的原因溯源

筆算教學何以經常出現學生會算不會說或會算說不清的情況，筆者通過前測和教師訪談發現，筆算豎式意義理解存在盲區有以下原因。

（一）重講授、輕體驗，知“書”卻未達“理”

對兩位數乘兩位數的筆算，教材設計了購物情境，采用乘法結合律和乘法分配律兩種思路，讓學生借助乘法分配律理解豎式的道理。很多教師按照教材的方法實施筆算豎式教學，學生僅在教師的講授中理解了豎式，但是真的洞悉了乘法分配律嗎？往前追溯，學生對把12分成10和2，更多的是立足于數的組成，即12是由1個十和2個一組成，而這種拆分的依據更多來源于一年級學習加減法時采用的湊十法或破十法。學生似乎已經知“書”，但是缺少對算法甄別的體驗，遠遠沒有達“理”，數學學習與情感體驗發生游離，不能體悟乘法分配律的內在價值。

（二）重算法，輕算理，規則意義兩張皮

計算教學中，很多教師追求算法的程序和規則，認為掌握算法是第一位的，甚至很多教師對兩位數乘兩位數的筆算認識停留在計算是一個熟練操作的過程，法則的強化訓練是最重要的，輕視算理的理解，忽視了算法形成過程。本課例1中呈現的兩種方法以及筆算豎式的方法，其內在是有著密切聯系的，互相支撐。在兩張皮的課堂上，不同算法之間是割裂的存在。算法的多樣化變成了多樣化方法，缺乏比較與溝通，難以觸摸算理的本質。

（三）重點狀，輕成網，知識之間缺乏關聯

有些教師在教學“兩位數乘兩位數的筆算”時，眼前只見樹木，不能看到整片森林，就課論課，忽視了不同階段筆算間的內在關聯和不同知識之間的聯系以及隱藏的共同內在結構，沒有從乘法的意義、位值關系、運算定律等高位視角進行整合，學生在缺乏聯系的點狀學習中難以將新知融入已有知識結構，不能形成全新的知識系統，導致難以在具體情境中運用知識解決問題，從而形成運算意義理解的“盲區”。

二、發展學生運算能力的優化策略

運算能力的形成是一個系統化的過程，筆算算理的理解既是知識的縱向線性發展，也是不同知識之間的橫向關聯。在筆算教學中，教師要用數學學科視角整體審視教學內容，創設內容與內容之間、規則與意義之間、認知與情感之間的內在聯結，引導學生自主探索，促進學生運算素養的形成。

（一）學科視角，材料聯結中發展學力

浙江省教研員斯苗兒多次強調“課改要從改課開始，數學教學要有學科視角”。面對數學教材碎片化、低起點等現狀，數學教師應該具有學科視角，從整個數學學科的系統出發，為學生提供便于探究和思考的材料，促進學生的學力發展。

1.線性聯系中明價值。

“兩位數乘兩位數的筆算”是三年級下冊教學的重點，在小學階段的整數筆算系統中起著承上啟下的作用，可以為以后學習“三位數乘兩位數”“除數是兩位數的除法”打下基礎。對處于知識鏈中間環節的“兩位數乘兩位數的筆算”，教師不能以常規的新授課開展教學，而是要將“新授課”當成“復習課”，讓學生在比較遷移中逐步生發新知的需要，提升自身的學習力，從而為今后的學習提供方法的借鑒和算理的解釋，架構深入探究的橋梁。

2.知識理解中明目標。

筆者在進行前測時讓學生自主列豎式計算“14×12”，很多學生出現的豎式如圖1所示。因此課堂教學中，教師應展開多樣化算法與豎式計算之間的橫向聯系，結合教材中的點子圖（如圖2所示），幫助學生建立直觀理解。很多學生只是通過預習或補習班中獲得的列豎式計算方法，只了解其“形”，到理解其“意”還有很長的距離，需要教師為學生提供充分的體驗過程，打破機械記憶的假象，打通算理算法的“任督二脈”，實現“正確運算、理解算理、方法合理”的培養目標。

3.破析難點中優材料。

兩位數乘兩位數的筆算教學難點有三：一是乘的順序，計算“14×12”時，學生口算時通常先算12×10，而豎式計算卻先算14×2，這是學生首要的困惑；二是運算后的積的呈現（14×10的積的末尾的0為什么不寫）以及積的書寫位置；三是計算程序突然增加為兩層“樓梯”，既要算乘法，又要算加法。教師要根據學習難點優化學習材料，引導學生在問題情境中感受乘法分配律的價值，在不同算法的分析中理解算理，為學生提供優質素材，讓學生直抵豎式本質，不斷積淀數學素養。

（二）關注聯結，比較遷移中理法融合

兩位數乘兩位數的筆算作為筆算教學鏈條中承上啟下的一環，計算程序更為復雜，更具有概括性與總結性。教學時，教師要注重情境與算法探究的聯系、新知與舊知的聯系、算法與技能的聯系，從而幫助學生理解算理，正確運算，在比較遷移中實現算理和算法合二為一。

1.情境預設，體驗方法多樣到優化。

教材中的原問題是“每套書14本，買了12套”。為了凸顯乘數的拆分，筆者對教材數據進行了調整：每套書有23本，買了12套。一共買了多少本書？

在根據乘法的意義列出23×12的算式后，首先，筆者讓學生估計乘法計算結果，既培養了學生的數感，又確定了積的大概范圍，為探索筆算方法結果的驗證做好鋪墊。其次，筆者要求學生思考計算方法，可以在點子圖上圈圈畫畫，表示出自己計算的每一步。最后，筆者用學生學過的算式表示出學生的思考過程。

第一，把12分成4×3，先求4套書的本數，再求3個4套書的本數，算式是23×4×3；第二，把12分成10和2，分別求出10套書和2套書各有的本數，再相加，算式是23×10+23×2；第三，把12分成了6×2，先求6套書的本數，再求2個6套書的本數，算式是23×6×2。然后要求學生比較這幾種方法有沒有相同的地方，學生觀察后發現：都是將兩位數乘兩位數轉化成兩位數乘一位數或兩位數乘整十數，再相加的結果。

筆者對學生多樣化的解法表示認可，隨即將題目中的12套改為13套，讓學生繼續探索23×13的結果。這時學生陷入沉默，顯然這個數字一變，形成了強大的思維障礙，13不能拆成兩個數的積（除了1×13），從而引發學生強烈的認知沖突，只能將方法聚焦于將13套分成10套和3套，再計算。

筆者再次啟發學生進行比較，思考為什么此時不能用“乘了再乘”的方法呢？如果是19套書、31套書，又該怎么求一共有多少本書呢？學生由此發現，不管是多少套書，都可以拆成整十數與一位數，“兩乘一加”的方法普遍適用于任何兩位數乘兩位數，有著自身的優勢。

數學是講道理的，計算教學的算理更是算法的靈魂。學生遇到新學的兩位數乘兩位數，自然能轉化為已有知識來解決。學生用已有經驗“乘了又乘”和“兩乘一加”都能解決14×12的問題，體現了探究新知的算法多樣化，打開了學生的思路。但是筆算的原理是乘法分配律的兩乘一加，如何讓學生自然而然地理解背后的道理呢？顯然，數字的變式從合數到質數，使學生體會到兩乘一加更有自身獨特的優勢和普適性價值。學生經歷了這種多樣化到優化的逐步歸納推理的過程，深刻理解了豎式教學背后的數學原理。

2.交流碰撞，經歷算法個性到規范。

筆算乘法的算理呈現數學思想的光芒，筆算乘法的方法更有其內在規劃的程序美和簡潔美。但是每個學生心目中都有自己理想的豎式算法，教師要充分暴露學生的思考方法，讓學生在交流碰撞中互相欣賞，在給學生講道理的同時，引導學生經歷算法的個性化到筆算方法的規范化。

例如，教師要求學生按照兩乘一加的方法，將23×12的算法表示在乘法豎式中，要體現每一步的口算過程。如圖3所示。

展示學生“作品”后，教師讓每個“作品”的主人自圓其說，進行個性表達?；ハ嘣u價時大家認為方法①不能體現每一步口算過程，方法②和③中第二步都是求10套書有多少本，但是寫出來的數卻不一樣。學生不僅理解了看得見的0的原始算式，更是看到了規范的乘法豎式中的數位的值，方法③里的23因為3在十位上，表示的是23個十。學生在不同豎式的比較聯系中發現，方法③作為筆算規范方法，更具有正確性和簡潔美。

3.多算并舉，感悟算理點狀到網狀。

新教材將口算乘法移至三年級下冊，估算也不再單出例題，原因可能在于新教材將估算意識的培養貫穿于整個計算教學體系，為學生提供貼切的生活情境感受估算的現實意義，以積累估算和精確計算的活動經驗。

上文教學片段中，教師將估算前置，預測結果，讓學生在口算和筆算時做到心中有“數”，計算之后用這把“尺子”來驗證結果是否正確。在理解算理的過程中，口算方法、點子圖與豎式之間尋求一一對應的關系，在問題解決的過程中讓學生為自己的算法講道理，為豎式的每一步“正名”?？谒愫凸浪闳谌牍P算教學中，讓口算和估算為筆算的算理提供合理區間，為計算結果的合理性選擇合適的判斷方法，從而促進三種點狀的計算方法整體融合成網狀，培養學生合理選擇三種算法進行計算的良好習慣，逐步積淀學生的運算素養。

（三）抽象建模，感悟法則中整體建構

數學知識包括深刻的思維和豐富的智慧。有些數學知識表面看起來簡單，但其中蘊含的思想需要教師去挖掘，教師應加強對比溝通、舉一反三、融會貫通方法的運用，促使學生在感悟計算法則的過程中實現主動建構，從而促進學生運算能力有效提高。

計算教學是最古老的運算教學，不同的國家和地區有著自己特殊的方式。學習豎式筆算方法后，筆者為學生展示了我國臺灣地區的視窗算法、古代印度的高位起算法和神奇的畫線法，讓學生欣賞、比較。如圖4所示。

學生試圖解釋這些不同的算法，在嘗試解釋中感悟算理，探究幾種不同算法的內部聯系。學生在比較中發現，這些算法其實都是將計算過程分解成了四乘一加的方法，即分解為“10×20、20×3、3×1和10×1”，最后再相加，這種先分再合的算法與豎式筆算的算理本質上是完全一致的，開闊學生眼界的同時，理解了算法之間的內斂之核。

舉一反三中，數學文化基因自然而然植入學生心中，開闊數學視野的同時，在不同算法的橫向比較中形成了自己的獨特感悟。乘法豎式中蘊含的數學思想、程序化規則、轉化思想及位值原理等內涵在學生的比較中由內隱走向外顯，學生的邏輯思考、解釋、反思甚至證明能力得到了自然生長。

三、結語

總而言之，筆者通過上述策略開展筆算教學，學生的計算正確率得到保證的同時，還能對豎式計算的每一步講道理，尤其是運用計算解決實際問題的能力有了明顯提高，實現了“計算正確、算理理解、方法合理”的目標。 因此，兩位數乘兩位數的筆算教學中，教師要創設矛盾沖突，引導學生感悟思想方法的價值，更需要有學科視野，用系統觀點審視教學內容，處理好算法與算理之間的關系，助力學生數學素養的形成。