數形結合法在初中數學解題中的應用

楊慶玲

【摘要】在當前的新課改背景下，教師開展一系列教學活動不僅是為了使學生的學科核心素養得以提升，還是為了進一步培養學生的數學思想.對比小學數學的內容，初中階段的教學工作具備了一定的難度，為了達到提升學生解答數學問題的效率，教師在實際的解題教學中應當將數形結合的方法滲透其中.本文深入研究數形結合法在初中數學解題中的應用，以求為相關的研究奠定堅實的基礎.

【關鍵詞】初中數學;數形結合；解題

數形結合是初中數學解題當中常用的方法，能夠解決很多問題，比如利用圖形解決代數問題、利用代數解決圖象問題等.從利用圖形解決代數問題的角度來看，很多圖象本身的性質就體現了其中賦予的數量關系，對表達問題的數量關系進行探索，不僅會變得更加直觀，還能夠使一些數量關系更加簡單.從利用代數解決圖象問題上來看，為抽象的數量關系賦予相應的圖形意義，就能夠使其變得更加簡單.基于此，學生必須要善于對數和形之間的關系進行轉化，由此達到解決數學難題的目的.

1借助圖形來解決代數問題

1.1運用數軸解決絕對值問題

例1如圖1所示，數軸上的點A，B，C，D，E表示的是連續的五個整數.如果點A，E表示的數分別為a，b，且a+b=2，則點C表示的數為（）

（A）0. （B）1.（C）2.（D）3.

解析根據圖1可知，在數軸上表示出相應的點，然后借助圖象就能將答案輕松求出來.已知b-a=4，即b=a+4，將其帶入到a+b=2當中可以得出a+a+4=2，即a=-1，也就是說A表示的就是-1，則點C表示的為-1+2=1.

借助數軸求解相應的絕對值問題，能夠幫助學生從圖形的視角直觀的理解絕對值的意義.

1.2函數問題

例2p、q均為正整數，關于x的方程4x2-2px+q=0的兩個實數根均大于1且小于2，則p=，q=.

解析已知要想得出q、p的值，就必須要解出來p、q的范圍，然后再結合p、q是正整數將p、q的具體值求出來.對于這個問題采取數形結合的方法就十分有效，令y=4x2-2px+q作出它的函數圖象，如圖2所示.

一元二次方程的解在1和2之間，也就意味著函數圖象與x軸的交點在1和2之間，有可能有一個交點，也有可能是兩個交點，圖象只是示意.

根據圖象可以得到：①當x=1時，y值大于0；②當x=2時，y值大于0；③因為函數圖象與x軸有交點，Δ=b2-4ac≥0；④函數圖象的對稱軸在1和2之間，1＜-b2a＜2.綜合上面分析的4點，列出關于p和q的不等式，求出p、q的范圍，再根據p、q是正整數得出它們的值.

解設f（x）=4x2-2px+q，

因為關于x的方程4x2-2px+q≥0有兩個實數根，

所以Δ=（2p）2-16q≥0，

所以p2≥4q，

因為此二次函數的開口向上，關于x的方程4x2-2px+q=0的兩個實數根都大于1，且小于2，

所以f（1）=4－2p+q＞0，

f（2）=16-4p+q＞0，

設方程4x2-2px+q=0兩根為x1，x2，

由韋達定理知：x1+x2=p4，x1x2=q4

因為x1，x2都大于1，且小于2，

所以1＜p4＜2，1＜q4＜4，

所以4＜p＜8，4＜q＜16，

因為p，q均為正整數，

所以（1）當p=5，由p2-4q≥0得q=5或6，

但均不滿足4-2p+q＞0，

所以p≠5；

（2）當p=6，由p2-4q＞0，

得q=5，6，7，8，9，

因為q=5，6，7，8不滿足4-2p+q＞0，16-4p+q＞0，

所以q=9；

（3）當p=7，由p2-4q≥0，

得q=5，6，7，8，9，10，11，12．

因為q=5，6，7，8，9，10，11，12不滿足4-2p+q＞0，16-4p+q＞0，

所以此時無解；

所以p=6，q=9．

2借助代數來解決圖象問題

例3 如圖3，用大小形狀完全相同的長方形紙片在直角坐標系中擺成如圖3所示的圖案，已知點A（－2，6），則點B的坐標為（）

（A）（-6，4）.（B）（-203，143）.

（C）（-6，5）.（D）（-203，4）.

解析題目是用五塊大小形狀相同的長方形拼接在平面直角坐標系中，點A的坐標是列方程的等量關系.設小長方形的長為xcm，寬為ycm，可得到方程組x-y=2

x+2y=6，解得x=163

y=43，所以點B的座標為（B）.從而解得方程組，進而求得點B的坐標.利用幾何圖形的變換找到隱含的等量關系，從而列出方程組，數形結合解決實際問題.

3結語

總之，在初中數學解題當中引入數形結合的思想方法，既能夠為學生提供良好的問題解答思路，又能夠幫助學生發展數學核心素養.引導學生在“數”與“形”之間進行靈活地轉化，將抽象、復雜的數學問題變得具體、簡單，從而不斷提升學生數學解題能力.

參考文獻：

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[3]梁玲.初中數學解題中數形結合的應用[J].數理天地（初中版），2022，（14）：20-21.