注重關聯，提升素養

胡維漢

【摘要】解答幾何題要注意對習題之間的聯系，聯想已解決的數學問題，聯想圖形結構，作出合適的輔助線，再進行推理、運算、解答.同時應進一步挖掘題目的變式，將數學思想方法與基本經驗合理應用.這樣有利于培養學生的發散思維，加深對所學知識的理解，提高學生對數學思想和方法的運用能力，發展學生的探究能力和創新意識.

【關鍵詞】初中數學；幾何填空題；解題

1題目呈現

例如圖1，BD平分∠ABC交AC于點D，延長BD至E，若DE＝AD，∠ABC＝82°，∠BAC＝79°，則∠BEC的度數為 .

2試題解答

分析利用角平分線和60°及DE＝AD，將△ABC沿BD翻折得到△HBD，進一步得到∠HDC＝60°＝∠CDE，再證△CDH≌△CDE.

解析截長法

如圖2，在BC上截取BH＝AB，連接DH.

在△ABD和△HBD中，BH＝AB，∠ABD＝∠HBD，BD＝BD，

所以△ABD≌△HBD（SAS），

則∠BHD＝∠BAC＝79°，DH＝DA＝DE，∠BDH＝∠BDA＝60°，

所以∠HDC＝60°＝∠CDE，

因為CD是公共邊，得△CDH≌△CDE（SAS），

所以∠BEC＝∠CHD＝180°－∠BHD＝180°－79°＝101°.

3變式探究

訓練1如圖3-①，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，點P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別為∠BAC，∠ABC的角平分線.求證：BQ＋AQ＝AB＋BP.

法1如圖3-①，設BQ和AP相交于點M，易知BM＝BP.分析結論需證AB＋BP＝BQ＋AQ，即證AB＝AQ＋MQ，這是常見題型.在AB上截取AD＝AQ，易證△ADM≌△AQM，所以AQ＝AD，故需再證MQ＝BD.而MQ＝MD，所以只需證BD＝DM，即證∠DBM＝∠DMB＝40°，這是不難的.

法2如圖3-②，易證BQ＝QC，所以需證AB＋BP＝AC.延長AB到點D，使BP＝BD.連接DP，再證△DAP≌△CAP即可.

法3如圖3-③，因需證AB＋BP＝AC，故延長CB到點D，使DB＝BA，連接DA，故需證DP＝AC.事實上，DP＝DA且DA＝AC.

讀者不妨自己試試寫出具體證明過程.

訓練2如圖4-①，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線B從交AC于點M，∠BCA的鄰補角的平分線CP交AB的延長線于點P，連接MP交BC于點K，求∠AKM的度數.

分析本題圖形復雜，隱藏有多個角平分線的結論，由條件逐一分解圖形.

如圖4-②，延長MB得到射線MQ，由∠ABC＝120°可得∠ABM＝∠MBC＝∠CBP＝∠QBP＝60°.

可知BP、CP是△BMC的兩外角平分線，交點是P，又“三角形的兩外角的平分線與第三個內角平分線交于一點”，連接PM，在圖4-③中∠BMP＝∠CMP.

觀察圖4-④，△ABM的兩外角平分線交于點K，得∠BAK＝∠KAM.

觀察圖4-⑤隱藏有“一內角與一外角平分線的夾角等于第三個內角的一半”結構圖，易知∠AKM＝12∠ABM ＝30°.

解如圖4-⑥，過點P作PD⊥BM于點D，PE⊥BC于點E，PF⊥AC于點F.

因為∠DBP＝∠ABM＝120°×12＝60°，

∠PBC＝180°－120°＝60°.

所以∠DBP＝∠PBC，所以DP＝PE.

因為∠BCP＝∠FCP，

所以PE＝PF，

所以∠BMK＝∠CMK.

又過點K作KG⊥AB于點G，KH⊥BM于點H，KI⊥AC于點I，

所以KH＝KI.

因為∠MBC＝∠CBP＝60°，

所以KH＝KG，

所以KI＝KG，

所以∠BAK＝∠KAM.

因為∠BMC＝∠ABM＋∠BAM，

所以2∠KMI＝∠ABM＋2∠KAM.

所以∠ABM＝2（∠KMI－∠KAM）.

而∠AKM＝∠KMI－∠KAM，

所以∠AKM＝12∠ABM＝12×60°＝30°.

4結語

在平時的課堂教學中，教師要善于利用解題經驗引導學生學會思考，恰當地引入“輔助問題”，通過一個簡單問題的解答，對涉及的知識和方法進行歸納和提煉，并與當前問題進行對比，這些基本圖形以何種形式對接，有效接洽，某條線段或某個角是哪些圖形的公共元素，用什么方法解出，這樣不斷比較類比，直至問題解決.這樣，在解答問題中，學生經歷分析過程、思考過程、運算過程、推理過程，積累經驗，感悟數學思想和解題策略.讓學生在知識與技能的實際環境中加以應用，交流共享，進而形成能力，為學生培養創新意識、提升學生的數學素養奠定堅實基礎.