齊次化方法在圓錐曲線問題中的應(yīng)用探究

李清華

【摘要】在圓錐曲線試題中，常常出現(xiàn)與斜率有關(guān)或者證明直線過定點(diǎn)的問題.此類問題用常規(guī)的方法也可以解決，只不過運(yùn)算量有些大，但如果構(gòu)造方程，利用齊次化方法求解，則可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.利用齊次化方法解決的題型主要有兩種：題型一是定點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率問題，題型二是定點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率問題.文章介紹利用齊次化方法求解以上兩種題型的步驟，并給出齊次化方法局限性的說明，旨在讓讀者熟悉齊次化方法的解題步驟、適用范圍，并且知道齊次化方法不是求解圓錐曲線問題的通法，它只是求解與斜率有關(guān)的問題的巧妙方法.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；斜率；構(gòu)造；齊次化；應(yīng)用

圓錐曲線試題是高考的難點(diǎn)，常以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與邏輯推理能力.圓錐曲線試題主要難在運(yùn)算上，故如何簡(jiǎn)化運(yùn)算是突破圓錐曲線中定點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率問題的關(guān)鍵.下面筆者通過構(gòu)造與斜率有關(guān)的一元二次方程，利用齊次化方法來求解圓錐曲線問題，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高解題效率.

一、題型一：定點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率問題

設(shè)O為定點(diǎn)，過點(diǎn)O作兩條動(dòng)直線與曲線交于A，B兩點(diǎn).齊次化方法解圓錐曲線試題的關(guān)鍵步驟如下：

（1）將直線AB方程設(shè)成“mx+ny=1”的形式；

二、類型二：定點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率問題

設(shè)P（s，t）為定點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條動(dòng)直線與曲線交于A，B兩點(diǎn).齊次化方法解圓錐曲線中定點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率問題的關(guān)鍵步驟如下：

（1）將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到點(diǎn)P；

（2）直線AB方程設(shè)成“mx+ny=1”的形式；

通過上面的步驟可以看出，齊次化方法適用于與斜率有關(guān)的問題，所以有很大的局限性.當(dāng)然，還有一個(gè)難點(diǎn)在于方程消元的基本思路是消未知數(shù)，而齊次化方法是消去常數(shù).解決該類型圓錐曲線問題更大的難點(diǎn)是如何通過審題，將問題轉(zhuǎn)化為斜率之積（和）問題，這也是學(xué)生不適應(yīng)之處.因此，教師應(yīng)在教學(xué)中有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生對(duì)齊次化方法的掌握.

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