運用圖像表征，促進小學數學深度學習

李翠芳 朱香膏

圖像表征直觀、形象的特點與小學生的心理和思維方式相適應。在小學生學習數學的過程中運用圖像表征，可以增強學生對概念的理解、數量關系的分析，促進數學知識的建構；能多角度激發學生的思維，有助于學生自主探索、發現再創造，促進深度學習的發生。

在圖像表征的直觀聯系和推理中逐步形成數學模型，引領學生的學習走向深處

在數學課堂教學中，教師運用圖像表征教學要充分尊重學生的學習差異。教師在對不同圖像表征的直觀對比、辨析中，要多維度挖掘不同抽象層次的圖像表征價值，引導學生在不同表征方式的“互譯”中，逐步領悟、理解所學數學知識的本質，形成數學模型。以北師大版二年級下冊“搭配中的學問”為例：馬戲團里的小丑要表演，他有2頂不同的帽子和3條不同的褲子，共有多少種不同的搭配方案？（如下圖所示）

從學生的表征形式來看有實物表征、圖形表征、符號表征，反映出學生數學表達的思維水平存在差異。教學時學生表征形式的呈現次序要符合從具體逐步到抽象的過程。然而在認識和理解多種直觀表征方法后，學生能否內化這些方法的本質，就需要“內”與“外”的鏈接，課堂教學中教師還要組織學生對各類方法進行對比分析。從上圖中第4種和第5種情況來看，學生選用不同顏色的筆來連線，是為了分類。教師在教學中要充分挖掘這一直觀形式，引導學生在“形”與“數”之間建立聯系，進而更加理解，搭配不僅要有序，還要符合乘法模型。教師組織學生試著在自己的方法里找一找是不是也蘊含著“2個3”或“3個2”。如果再增加1、2、3……頂帽子，會增加幾種搭配方法。學生在直觀的辨析和對比中體會不同表征形式中蘊含的相同思想和方法，問題中蘊含的數學模型得以建構，同時也促進學生數學表達的一般化。

運用圖像表征搭建學習支架，體悟知識內在本質的一致性

深度學習的課堂更加關注學生的主動學習和主動思考。圖像表征的直觀性為學生的數學學習和思維搭建直觀的學習支架，讓抽象的知識本質和思考過程在直觀中得以落地和彰顯，知識之間本質的一致性在直觀中得以溝通，促進新知的理解和內化。

以北師大版四年級下冊“小數乘整數”為例，學生在運用圖像表征探索小數乘整數的計算方法時，在直觀的圖像表征引領下變被動為主動，變關注學習知識的結果為關注學習知識的過程。教師從學生的學習單可以看出：首先，學生在直觀的表征過程中感知4個0.2是8個0.1，初步感知小數乘法也是計數單位的積累過程。其次，學生探索3×0.4（即3個0.4）的計算方法，從乘法的意義角度，學生很容易得出3個0.4共12個小格，涂滿一個大格后還要涂2個小格。（1小格為0.1，10個小格為一個大格）學生在直觀表征中不僅得出結果，還弄懂了小數乘法中十分位上滿十要向個位進一的算理。最后，學生獨立完成4×0.7，依舊在直觀中看出4個0.7的結果是28個0.1。

在深度學習的課堂中，教師更需要借助直觀的圖像表征激發學生的高階思維，所以在學生學會運用圖像直觀計算小數乘整數后，教師拋出核心問題：請同學們繼續觀察，除了可以通過數數得到0.1的個數，還可以怎樣得到0.1的個數？在直觀中，學生得出不僅可以數數，還可以計算：本質上就是4個7，只是計數單位不同。學生在體會小數乘法與整數乘法本質的一致性中，學會小數乘整數的計算方法，理解知識之間的聯系。

在圖像表征問題的過程中探索解題路徑，培養問題解決能力

問題解決能力的培養是小學數學課程核心目標之一，而問題表征是問題解決的基礎。直觀的問題表征方式符合小學生具體形象的思維特征。在解決問題的過程中，教師可以組織學生畫解題路徑圖，通過畫圖把頭腦中的問題信息、思考過程、解題步驟，以及解題過程中需要注意的細節問題逐一以圖像進行表達，從而將學生的思維過程外顯。為促使學生的學習走向深處，教師還要組織學生借助解題路徑圖，用抽象的數學語言表達自己的解題思路和方法。這樣的過程不僅解決了數學問題，還鍛煉了學生解決數學問題的思維。

例如，北師大版五年級下冊“長方體的體積”的學習中有這樣一道題：一個長方體水箱的容積是200升，這個水箱的底面是一個邊長為50厘米的正方形，水箱的高是多少？

這道題難倒了很多學生。該問題蘊含兩個難點：缺少直觀，對于空間想象力弱的學生來說，難以將長方體水箱的容積與長方體的體積建立聯系。教師引導學生運用前面學過的畫長方體三視圖的方法畫出問題中的長方體草圖，并標出對應的數據，再引導學生運用解題路徑圖分析問題。在經歷一場思維風暴之后，學生豁然開朗，得出根據長方體的體積和底面積來求高的結論。分享交流中，學生借助直觀的解題路徑圖，思路表達更清晰且再次經歷從頭到尾解決問題的思維過程，明晰了思維路徑，進一步培養了解決問題的能力。

圖像表征與抽象數學語言的“互譯”，讓學生的思維在直觀中走向抽象和深度

數學核心素養要求，會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達現實世界，這三者相輔相成。從數學語言價值角度看，觀察和思維需要數學語言表達。根據皮亞杰的智力階段論，小學階段處于具體形象階段，學生很難用文字語言表達自己對知識和問題的理解。對此，教師在教學中要注重圖示語言的表達，用圖像表征這一直觀形式來搭建抽象思維和抽象表達的橋梁。

具體做法是在低段注重學生“讀圖意”，即在學生沒有能力運用圖像表征的時候，教師要多組織學生說一說圖中蘊含的數學信息、數學知識、數學方法等。學生到中高段以后除了“讀圖意”，還需要親自經歷圖像表征的過程，這是一個數學思維發展的過程，也是一個圖示語言表達的過程。需要注意的是，太過于依賴直觀難以實現數學學習的一般化，因此教師要組織學生表達自己對圖像表征的看法，還需要再“說圖意”。另外，教師還要在辨析中激發學生的高階思維，使其掌握知識的本質，走向深度學習。

課題組設計了六年級學習單。題目要求：用學過的數學知識描述圖形之間的關系。小組成員在直觀圖示的支撐下，基本把圖中蘊含的數量關系（倍的知識、比的知識、分數、百分數等）整合聯系起來。教師給定的是圖，發散的是思維。小組內不同層次的學生都能表達出兩個量之間的關系。在組內交流中，學生會發現兩個量之間的數量關系原來有這么多表達方式。學生在對比分析中領悟到不同數量關系之間的內在聯系和本質的一致性，即兩個量的倍比關系。

綜上所述，運用圖像表征這一符合小學生認知特點的表征方式，可以使煩冗的數學信息條理化、清晰化、直觀化，為知識的建構提供了可視化的思考路徑，在直觀的辨析、聯系中不斷發展學生的高階思維，促進學生的數學學習走向深處。

（本文系2020年度河南省基礎教育教學研究項目“運用圖像表征促進小學數學深度學習的研究”的階段性成果。課題編號：JCJYC20040606）