減少失分的有效策略
——檢驗*

江蘇省揚州中學 (225009) 徐孝慧

江西省揚州市教育科學研究院 (225007) 戚有建

*本文是江蘇省教育廳跟進式改革重大研究項目《區(qū)域高中生數(shù)學學業(yè)質(zhì)量檢測支持系統(tǒng)的實證研究》(編號:2019jyktzd-12)的階段性研究成果.

在平時的學習過程中,很多學生的解題習慣是一遍做完、從不檢驗.實際上根據(jù)波利亞的解題表,解題過程包括四個步驟:弄清題意、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧反思,其中的回顧反思指的就是解題后的檢驗.所謂百密一疏,解題過程中有時錯誤是難免的,此時如果有檢驗的習慣和方法,可以及時發(fā)現(xiàn)一些錯誤,減少失分.下面介紹四種常見的檢驗方法.

1.逆代檢驗

當問題的答案是有限個具體的數(shù)據(jù)時,可逐一代回進行檢驗,從而及時發(fā)現(xiàn)錯誤、避免失誤、減少失分.

例1 已知集合A={a+1,a2+a},若2∈A,則實數(shù)a=.

分析：作為填空題,本題很容易錯,結果容易出現(xiàn)多解.

錯解：當a+1=2時,a=1;當a2+a=2時,a=1或a=-2,綜上得:a=1或a=-2.

點評：結果出現(xiàn)兩解,可能會引起我們的關注,此時如果有檢驗的意識和習慣,可以及時發(fā)現(xiàn)錯誤,減少失分.逐一代回檢驗后發(fā)現(xiàn):當a=1時,a+1=2,a2+a=2,與集合元素的互異性矛盾,此時不符合要求;當a=-2時,a+1=-1,a2+a=2,此時符合要求.

錯因：忽視了集合元素的互異性

例2 若函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2-x+a2-1是奇函數(shù),則實數(shù)a=.

分析：很多學生喜歡用f(0)=0處理,導致結果出現(xiàn)多解.

錯解：因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,即a=±1.

點評：結果出現(xiàn)兩解a=±1,此時如果有檢驗的意識和習慣,可以及時發(fā)現(xiàn)錯誤,減少失分.逐一代回檢驗后發(fā)現(xiàn):當a=1時,f(x)=x3-x,是奇函數(shù),符合要求;當a=-1時,f(x)=x3-2x2-x,不是奇函數(shù),此時不符合要求.

錯因：“f(0)=0”不是“f(x)=x3+(a-1)x2-x+a2-1是奇函數(shù)”的充要條件,實際上僅僅是必要不充分條件.

2.特殊化檢驗

當問題是全稱命題或者恒等式時,可取特殊值代入檢驗,從而及時發(fā)現(xiàn)錯誤,減少失分.

例3 求和Sn=1×21+2×22+…+n×2n.

分析：多數(shù)學生知道用錯位相減法處理,但是很多學生算不到正確結果.

錯解：由于運算過程中的失誤,學生會出現(xiàn)各種錯誤結果,例如學生1:Sn=1×21+2×22+…+n×2n=(n-1)2n+1;學生2:Sn=1×21+2×22+…+n×2n=(n-1)2n+2;……

點評：此時如果有檢驗的意識和習慣,可以及時發(fā)現(xiàn)錯誤,減少失分.特殊化檢驗后發(fā)現(xiàn):當n=1時,學生1的S1=0,顯然錯誤;當n=2時,學生2的S2=6,顯然錯誤.

正解：Sn=1×21+2×22+…+n×2n=(n-1)2n+1+2.

拓展：本題為什么可以特殊化檢驗?因為數(shù)列求和是關于n的恒等式,即等式1×21+2×22+…+n×2n=(n-1)2n+1+2對任意的n都成立.

3.極端化檢驗

當常規(guī)情況難以確定時,可考慮極端情況、極限情況進行檢驗,從而及時發(fā)現(xiàn)錯誤,減少失分.

例5 若a,a+1,a+2是鈍角ΔABC的三邊長,則實數(shù)a的取值范圍是________．

分析：容易想到從鈍角出發(fā)構建不等式,卻容易忽視三角形中隱含的不等式.

點評：此時如果有檢驗的意識和習慣,可以及時發(fā)現(xiàn)錯誤,減少失分.極端化檢驗后發(fā)現(xiàn):當a→0時,a,a+1,a+2→0,1,2,此時不能構成三角形.

錯因：忽視了三角形中的不等式a+a+1>a+2,即a>1.

正解：1

分析：很多學生會從形式入手,猜想結果,有的猜2,有的猜3,盲目性很大.

4.量綱檢驗(單位檢驗)

對于有明顯幾何意義和物理意義的解題結果,量綱檢驗是非常有效的一種方法.

例8 在△ABC中,已知三邊長為5,6,7,則此三角形的面積S=_________．

分析：很多學生喜歡用海倫公式處理,但由于海倫公式不作統(tǒng)一要求,所以學生對公式掌握不準確.

錯解：由于對公式掌握不準確,學生會出現(xiàn)各種錯誤結果,例如

小結：解題過程中由于實施了非等價變形或者由于我們自身的失誤,有時錯誤是難免的,如果有檢驗的習慣和方法,就能及時發(fā)現(xiàn)一些錯誤,不僅可以減少失分,而且可以養(yǎng)成及時反思和嚴謹?shù)乃季S品質(zhì).