挖掘圖形特征 確定解題路徑*
——以2022年新高考Ⅰ卷第16題為例

福建省福清第一中學 (350300) 郭海萍

福建省福清市教師進修學校 (350300) 林新建

解析幾何問題一直是數學高考的難點,它的“難”在于“運算”,這給學生的解答帶來較大的挑戰．為此,教學中教師應引領學生學會運用數學抽象的方法,借助直觀想象,從問題中的條件,挖掘其幾何圖形特征,進而選擇合理的解題路徑,將問題得以簡便求解．本文以2022年新高考Ⅰ卷一道試題為例,就如何基于數學抽象,借助直觀想象,挖掘圖形特征指引解題進行探析,與同仁交流．

本題以橢圓中求解三角形周長為背景,考查橢圓的標準方程和幾何性質,考查數形結合、化歸與轉化思想,考查數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養,體現基礎性、綜合性、創新性,難度較大．

1 解法探析

本題已知的是橢圓的離心率,及過焦點F1且垂直于AF2的直線DE,待求的是△ADE的周長,由于看不出△ADE的形狀,若通過分別求三角形三邊長而得,顯然計算量較大．為此,需要對題設條件的數量關系作感知,以發掘條件的隱含信息,進而得出圖形的關鍵特征,對所求問題進行轉換,有效解決問題．

圖1

評注：高考命題者試圖通過學生對圖形特征的挖掘和解題路徑的選擇來考查和區分學生,此問題可謂以幾何特征優化思考,以關鍵線段確定方向,以長度或角度算法構建要素,是一道體現數學學科價值的好題．

2 策略剖析

本題若分別求出△ADE三邊的長,計算量會比較龐大,所以要基于直觀想象和數學抽象,從問題中的數量關系,充分挖掘圖形的幾何特征,建立形與數的聯系,進而將△ADE的周長轉化為求兩個焦點三角形的部分邊長和,這是本題的價值所在．同時,對于如何由弦長|DE|=6,求解出c,也是要挖掘圖形幾何特征,構建數學問題的直觀模型,進而選擇合理的解題路徑,最終將問題求解．

解析幾何問題解決的三步曲如圖2所示,問題解決關鍵的一步就是轉化的過程,既可以對問題中的數量關系進行感知,挖掘圖形的幾何特征性質,然后進行代數化;也可以對已有的幾何條件進行深挖,得出相關的幾何性質,再進行代數化．即“解析幾何問題→幾何性質→代數問題”．幾何特征性質挖掘得越充分,得到的代數化的形式就越簡潔,這樣,代數運算也就越簡捷．

圖2

3 應用賞析

在歷年高考中,有相當一部分解析幾何試題,都可以借助數學抽象的方法,運用直觀想象,挖掘其圖形特征及性質,進而將問題化歸轉化,從而有效簡化解題過程．

例1(2019年全國Ⅰ卷理科第10題)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點．若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為( ).

解析：基于數學抽象和直觀想象,從問題中的數量關系,充分挖掘幾何圖形特征．如圖3,設|BF2|=t,由于|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,所以|AF2|=2t,|BF1|=3t,由橢圓定義得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,可得|AF1|=2t,從而|AF1|=|AF2|,由此得點A為橢圓的上頂點或下頂點,則△AF1F2為等腰三角形．

圖3

圖4

若通過設直線MN方程,與漸近線方程聯立,分別求出點M、N的坐標,進而用兩點距離公式求出MN的長,思路直觀,但運算量偏大,費時費力．若運用直觀想象,挖掘其圖形特征,將問題轉化,快捷求解．

圖5

(2)假設存在滿足條件的點P(x0,y0),如圖6,由△PAB與△PMN的面積相等可得|PA|·|PB|

圖6

=|PM|·|PN|,但由于M、N的坐標未知且不易求得,許多考生至此望而卻步．

圖7

4 素養綜析

對于解析幾何問題,它的特點是“運算”,而它的難點也是在運算上,而能力恰恰體現在“如何簡化運算”上．簡化運算,這不僅與巧設點坐標與直線方程有關,還與運算路徑的選擇有關,更與問題中的圖形特征和幾何性質的挖掘有關．所以,在教學過程中,教師要引導學生會用數學眼光去觀察問題,即數學抽象,從數量關系中去挖掘圖形的幾何特征,巧妙轉化,培養數學抽象和直觀想象素養;同時還要引導學生會用數學思維去思考問題,即邏輯推理,由圖形特征確定合理的解題路徑,合理引入參數,進行多元表征,將幾何條件代數化,求得正確的運算結果,培養邏輯推理和數學運算素養．