三大策略破解圓錐曲線中一類“非對稱”結構

江蘇省南京市第九中學 (210018) 竺寶林

1 問題呈現

2 問題解決

策略一轉化為“對稱”結構

圖1

解法1：(平方曲化,利用曲線轉化)由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在,設其方程為y=kx+1,設M(x1,y1),N(x2,y2).

聯列方程組

評注：化“非對稱結構”為“對稱結構”應該是非常自然的想法,這也體現了數學中化歸思想方法的運用.

策略二利用韋達定理消元

評注：解析幾何的本質是用代數方法研究幾何圖形的性質,將幾何問題轉化為代數問題,其中包含了較為復雜的代數運算,如何處理這些復雜的運算,消元與減元是關鍵.

策略三運用三點共線

所以(8k12+ 3)(8k12+ 6k1-3) = 0,則8k12=

評注：解決解析幾何問題,除了要應對代數運算,還要學會從幾何圖形中分析其幾何特征,只有將幾何特征分析得非常充分,代數化才能更加簡潔,代數運算的難度才能降低.