一道雙曲線高考試題的解法探究與變式*

江蘇省海門中學 (226100) 徐巧石

高考試題凝聚著命題專家們的深度思考,能夠考查學生的思維品質、關鍵能力,發揮了數學學科高考的選拔功能,對中學數學教學起到了積極的引導和促進作用．于參加高考的學生而言,是對他們能力、素養的一次全面考查;于高一高二的學生而言,是提升他們能力,發展數學素養的良好素材;于教師而言,是研究教學、實踐命題的豐富源泉．因此,加強高考真題的研究,深度理解,發揮試題的應用價值是必要和有積極意義的課題．

1．審讀目標條件

(1)求C的方程;

①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|．

注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分．

今年是新高考的第二年,新高考在命題上創新試題形式,引導高中教學向培養核心素養和數學能力傾斜,同時增強了試題的開放性．此題是結構不良問題的再創新,避開各地的模擬題,體現了公平性．題目給出三個條件,要求從中選取兩個作為已知條件,證明另一個成立,為學生提供了選擇的自由度和發揮的空間,有利于考查學生的思維水平．從試題結構看,體現了三多,即點多、線多、變量多,如何在眾多的關系中尋找解決問題的主線?如何挖掘條件背后隱含的關系?如何確定解題的方向?試題目背后存在怎樣的一般規律?

2．探索解題方向

解決任何問題首先要有明確的目標,有了目標才有前進的方向和信心．解題教學要將重點放在目標的確定上,教會學生探索解題方向的方法．常見的尋找解題方向的方法有特殊值探路、數形結合引領、題目設問導向等等．

圖1

在解題教學中,特別是講解有一定難度的題目,要通過問題引領帶領學生,探索解題的目標方向,而不應對著答案照本宣科．在經歷一道道試題的探索過程中,讓學生掌握探索解題方向的常用方法,積累探索解題方向的基本經驗．探索解題目標與方向是提升學生思維水平,直觀想象數學素養的具體表現．

3．梳理解題思路

2020年《普通高中數學課程標準》中提出“數學運算”核心素養,包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,設計運算程序,求得運算結果等．解題有了目標,接下來便是探究思路,按照既定的方向通過運算說明目標成立．．

實現第一目標,有以下三種思路:

思路二：注意到點M是連接PQ和AB之間的關鍵點,可以對題干重新敘述,即從M點出發作兩條平行于漸近線的直線,與雙曲線C產生交點P,Q,進而證明PQ的斜率與點M坐標之間的關系．

思路三：根據2中探究解題思路的思考,首先證明EG∥PQ,進而說明OM經過PQ的中點T,再根據弦的中點,利用點差法建立M與PQ之間的關系．

實現第一目標之后,從三個條件中選擇兩個作為已知條件,證明另一個成立,共有三種情形,即由①②證③;由①③證②;由②③證①,分別對應以下圖2,圖3,圖4三種思路:

圖2

圖3

圖4

4．實施調整運算

設計好了解題的思路,接下來就是將思路付出實踐,在實踐的過程中,調整細化具體的運算方法、技巧,選擇最簡最優策略．

法一：由思路一和選擇①②證③．

上述化簡M坐標的過程中,涉及到了x1-x2,這里采用的是用x1+x2與x1x2表示x1-x2.若不是x1-x2,系數發生變化,又該如何處理呢?注意到這是不對稱的結構,一般的處理方法是保留其中一項,將其余化為x1+x2與x1x2,因此有如下處理方式:

在運算的細節處理上,既要有硬算的勇氣,又要學會一般的處理技巧,學會識別常見的運算模型,引導學生掌握一般的方法,在運算方法的選擇與調整中,提高學生發現問題和解決問題的能力．

法二：由思路二和選擇①③證②．

設M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),聯立

此法第一目標的處理看似簡潔,實際上需要學生扎實的運算功底,同時又要有運算下去的信心．注意到直線PM與漸近線是平行的,可以直線PM與雙曲線C必有唯一一個交點,并且可以預見聯立方程消去y可得一個一元一次方程,從而獲得運算成功的信心．

法三：由思路三和選擇②③證①．

設直線PQ:y=kx+m,聯立

此法,第一目標的處理看上去繁瑣,但是有著非常清晰的邏輯主線,避免了復雜的運算,也是解題目標和方向的直接體現,同時還能幫助學生更清晰的了解試題的背景和一般規律,積累探索解題方向的經驗．

5．反思變式探究

每年的高考真題有很多來源于課本和以前的真題,因此,高考真題是教師命題的源泉,為教師命題提供了良好的素材．

根據思路一可得如下變式:

調整設問方式有如下變式:

根據思路二和思路三可得如下變式:

注意到題干中直線AB是經過雙曲線C的右焦點F的,那么是否當M是AB的中點時,AB一定過焦點F呢?

通過上述過程可以發現,直線AB不一定過焦點F,因此,我們可以得到如下更一般的變式:

對于任意的雙曲線上述命題同樣成立,即與雙曲線的離心率無關,限于篇幅,不再贅述．

一道優美的試題蘊含著豐富的應用價值,等待著教師和學生深入的探索．通過審讀目標條件、探索解題方向、圖示解題思路、實施調整運算、反思變式探究五步曲的深入挖掘,可以促進學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養的提升,促進素養課堂的達成,助力教師的專業成長．