基于威布爾分布的新能源汽車驅(qū)動(dòng)電機(jī)可靠性分析

王道成，李唯真

（長安大學(xué) 汽車學(xué)院，陜西 西安 710064）

隨著我國新能源汽車行業(yè)的快速發(fā)展，混合動(dòng)力汽車、燃料電池汽車、純電動(dòng)汽車等新能源汽車所占市場份額不斷增加，新能源汽車相關(guān)可靠性問題逐漸成為研究熱點(diǎn)[1-2]。

驅(qū)動(dòng)電機(jī)作為新能源汽車的一個(gè)重要總成，其能否長時(shí)間可靠工作對新能源汽車的安全性、經(jīng)濟(jì)性和動(dòng)力性具有重要影響[3]。針對新能源汽車驅(qū)動(dòng)電機(jī)的可靠性分析方法，目前國內(nèi)外學(xué)者研究方法可主要分為基于故障數(shù)據(jù)的可靠性分析和基于故障物理的可靠性分析方法[4-8]。SHU[6]基于電機(jī)控制器中各組件的故障率，分析各部件電機(jī)控制器的可靠性指標(biāo)對電動(dòng)汽車使用壽命的影響趨勢，從而發(fā)現(xiàn)薄弱環(huán)節(jié)，有利于對驅(qū)動(dòng)電機(jī)做進(jìn)一步設(shè)計(jì)和維護(hù)。嚴(yán)婷婷[7]基于電機(jī)失效模式，分析電機(jī)失效對電機(jī)性能的影響，并以此建立了相關(guān)可靠性分析模型。陳詩怡[8]針對某驅(qū)動(dòng)電機(jī)典型失效模式，基于驅(qū)動(dòng)電機(jī)故障物理方法，進(jìn)行多失效模式的可靠性建模，并以此進(jìn)行可靠性分析和相關(guān)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

由于受試驗(yàn)時(shí)間和人力、物力成本的影響，驅(qū)動(dòng)電機(jī)試驗(yàn)壽命數(shù)據(jù)通常具有小樣本量的特點(diǎn)，增加其分布類型參數(shù)估計(jì)的難度。為此，本文針對具有小樣本量特點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)故障時(shí)間數(shù)據(jù)，利用灰色模型GM(1,1)進(jìn)行灰生成，充分挖掘數(shù)據(jù)信息，對驅(qū)動(dòng)電機(jī)故障數(shù)據(jù)進(jìn)行三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計(jì)，并根據(jù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果完成驅(qū)動(dòng)電機(jī)壽命可靠性分析。

1 可靠性分析流程

針對完全故障樣本的驅(qū)動(dòng)電機(jī)試驗(yàn)壽命數(shù)據(jù)的可靠性分析流程如圖1 所示。

圖1 可靠性分析流程

1）可靠性數(shù)據(jù)收集與整理：整理驅(qū)動(dòng)電機(jī)故障時(shí)間數(shù)據(jù)，并按其數(shù)值大小進(jìn)行升序排序。

2）經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)計(jì)算：判斷驅(qū)動(dòng)電機(jī)故障時(shí)間數(shù)據(jù)數(shù)量，采用相應(yīng)的計(jì)算公式計(jì)算其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。

3）假設(shè)樣本的分布類型：本文采用三參數(shù)威布爾分布模型。

4）參數(shù)估計(jì)：對原始故障時(shí)間序列作灰生成，建立灰色模型GM(1,1)，完成位置參數(shù)、尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的參數(shù)估計(jì)。

5）擬合效果評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算：本文采用均方根誤差（Root Mean Square Error, RMSE）和相對均方根誤差（Normalized Root Mean Square Error,NRMSE）對樣本數(shù)據(jù)的擬合效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。

6）可靠性指標(biāo)計(jì)算：主要為驅(qū)動(dòng)電機(jī)平均壽命。

2 理論算法模型

2.1 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)計(jì)算模型

故障樣本對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)計(jì)算，是進(jìn)行分布類型參數(shù)估計(jì)和可靠性分析的前提和基礎(chǔ)。當(dāng)樣本量較大時(shí)，可直接采用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義公式計(jì)算，而對于小樣本量完全故障樣本，直接采用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義公式計(jì)算時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。為此，常采用海森公式、數(shù)學(xué)期望公式和近似中位秩公式等，其中，如式（1）所示的近似中位秩公式最為常用。

式中，i為失效樣本的序號(hào)；n為樣本總量；Fn(ti)為第i個(gè)失效樣本對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。

2.2 三參數(shù)威布爾分布模型

在威布爾分布研究方面[9-13]，三參數(shù)威布爾分布相比于兩參數(shù)威布爾分布，引入了位置參數(shù)，更能充分和靈活地描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，因此，也廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域故障數(shù)據(jù)可靠性分析工作中，但位置參數(shù)的引入也同時(shí)加重了參數(shù)估計(jì)的復(fù)雜程度。三參數(shù)威布爾分布的分布函數(shù)F(t)、概率密度函數(shù)f(t)和可靠度函數(shù)R(t)分別為

式中，γ為位置參數(shù)；m為形狀參數(shù)；δ為尺度參數(shù)。

2.3 基于灰色模型 GM(1,1)的三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計(jì)方法

針對威布爾分布模型，常見的參數(shù)估計(jì)方法有相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法、矩法、回歸估計(jì)法和灰色估計(jì)法。其中，灰色模型GM(1,1)在分析小樣本量數(shù)據(jù)時(shí)，具良好的參數(shù)估計(jì)性能。參考文獻(xiàn)[14]中提出的三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計(jì)方法，通過求解反函數(shù)可將式（2）中的F(t)變換為

若t1,t2,…,tn是所有樣本按照升序排序的故障時(shí)間，則Fn(ti)是各樣本故障時(shí)間按照式（1）計(jì)算得到的對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，對于式（5）令：

將式（6）中的xi代入到式（5）可得：

此時(shí)，式（8）與灰色模型GM(1,1)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系為

式中，a，b為待估參數(shù)。采用最小二乘估計(jì)方法的思路，令：

則三參數(shù)威布爾分布中位置參數(shù)γ和形狀參數(shù)m的估計(jì)結(jié)果為

同理，對于三參數(shù)威布爾分布中的尺度參數(shù)δ，令：

則最小二乘估計(jì)結(jié)果為

此時(shí)，三參數(shù)威布爾分布中尺度參數(shù)δ的估計(jì)結(jié)果為

2.4 參數(shù)估計(jì)效果評(píng)價(jià)

在分布類型參數(shù)估計(jì)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)方面，如式（19）和式（20）所示，均方根誤差RMSE 和相對均方根誤差NRMSE 都可以對參數(shù)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行較好的衡量，均方根誤差RMSE 和相對均方根誤差NRMSE 越小，表明參數(shù)估計(jì)效果越好。

式中，F(xiàn)n(ti)為根據(jù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果計(jì)算得出ti經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。

3 案例應(yīng)用

如表1 所示，為某型號(hào)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的試驗(yàn)故障時(shí)間數(shù)據(jù)，其中的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)采用式（1）所示的近似中位秩公式求得。

表1 驅(qū)動(dòng)電機(jī)故障時(shí)間信息

利用前述三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計(jì)計(jì)算方法，得出過程矩陣B、Y和M的計(jì)算結(jié)果為

從而得到位置參數(shù)γ、形狀參數(shù)m和尺度參數(shù)δ的估計(jì)結(jié)果分別為γ=414.407 0、m=3.074 5、δ=862.000 6。

此時(shí)，該型號(hào)批次驅(qū)動(dòng)電機(jī)試驗(yàn)故障時(shí)間數(shù)據(jù)三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果分別如圖2 和圖3 所示。

根據(jù)估計(jì)結(jié)果，計(jì)算均方根誤差RMSE 和相對均方根誤差NRMSE 的數(shù)值為0.018 99 和0.033 51。

結(jié)合均方根誤差、相對均方根誤差和圖2、圖3 所示的驅(qū)動(dòng)電機(jī)故障概率分布函數(shù)估計(jì)結(jié)果和故障概率密度函數(shù)估計(jì)結(jié)果，可以看出三參數(shù)威布爾分布估計(jì)結(jié)果與原始數(shù)據(jù)擬合效果較好，可有效描述驅(qū)動(dòng)電機(jī)故障時(shí)間分布趨勢。最終可得到該型號(hào)批次驅(qū)動(dòng)電機(jī)的平均試驗(yàn)壽命θ為

圖2 故障概率分布函數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖3 故障概率密度函數(shù)估計(jì)結(jié)果

4 結(jié)論

本文在完全故障樣本數(shù)據(jù)可靠性分析體系的基礎(chǔ)上，利用灰色模型GM(1,1)對某型號(hào)驅(qū)動(dòng)電機(jī)小樣本量實(shí)驗(yàn)故障數(shù)據(jù)建立三參數(shù)威布爾分布模型并完成相關(guān)可靠性分析，得出其平均故障壽命θ為1 185.005 7 h。同時(shí)，誤差分析結(jié)果表明，三參數(shù)威布爾分布模型的擬合精度高，可靠性評(píng)估結(jié)果也可進(jìn)一步支撐驅(qū)動(dòng)電機(jī)后續(xù)使用維護(hù)，保證產(chǎn)品質(zhì)量。