融入數學史的數學教學

［摘" 要］ 數學史是數學文化的重要組成部分，具有潛在的教育價值.在教學中融入數學史并非單純地講數學故事，而應將數學史滲透到數學教學中，學生不僅能感受數學的美學魅力，認識數學的文化價值，還能應用數學家的思想和方法建構新知或解決問題. 文章以“數列”的教學為例，探究如何將數學史有效融入到數學教學中.

［關鍵詞］ 數學史；數學教學；數列

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中的“教學建議”指出：“在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養.”［1］

目前，我國多數學者研究了教材中蘊含的數學史和數學文化，數學史融入數學教學的原則和策略，基于數學史的教學設計，等等. 從這些研究中可以發現，數學史具有很好的教育價值，但在教學實踐中會遇到一些難題，比如如何在眾多史料中選擇最恰當的？針對不同的課題和教學環節，選擇什么樣的方式方法將數學史融入到教學中才能提高教學質量并達成教學目標？這些都是值得思考的問題.

“數列”作為高中數學學習的重點內容之一，蘊含著一些重要的數學思想方法.在數列的學習過程中，概念、公式繁多，學生容易喪失興致，但數列具有深厚的歷史底蘊，可從數學史入手激發學生的學習興趣，因此以“數列”的教學為例來探討數學史融入數學教學的意義、方式以及如何在數學教學各個環節中融入數學史，具有較好的示范性和參考性.

■ 數學史融入數學教學的意義

彭剛、汪曉勤等學者認為，在將數學史融入數學教學的過程中，教師可以得到更好的專業成長，其內在專業結構也不斷得到更新、演進和豐富；學生能更好地理解數學知識、數學過程與數學方法，培養美好的情感觀、積極的態度觀和正確的價值觀［2］.

將數學史融入課堂教學，使得教學內容豐富且有意義，課堂中充滿樂趣和文化氣息，是加強數學文化教育的有效途徑. 對于學生而言，不僅能夠調動學習的積極性，將被動接受轉化為主動探索，在輕松愉快的課堂中習得新知，而且能夠感受數學的美學魅力，認識數學的文化價值，應用數學家的思想和方法建構新知和解決問題.

■ 數學史融入數學教學的方式

汪曉勤教授結合我國數學課堂教學的特點，并將國外已有的幾種數學史運用方法進行整合和優化，提出了四種運用方式，分別為附加式、復制式、順應式以及重構式［3］. 這四種運用方式并沒有優劣之分，教學時可采用一種或多種結合的方式將數學史融入到數學教學中.

1. 附加式

附加式是較低層次的運用方式，只是將數學史作為教學內容的一個補充. 主要介紹數學家的生平事跡或重大數學成就，某個數學主題的發展過程，以及數學概念、命題和符號的來源，等等. 因此，通常在情境導入環節中使用附加式，能夠調動學生學習的積極性，增強其求知欲，豐富課堂教學內容. 例如，在教學“數列的概念”時，可引入古希臘畢達哥拉斯學派的“形數”、泰姬陵的“寶石數”以及泥板書的“月相表”.

2. 復制式

復制式也是較低層次的運用方式，它是直接呈現史料，不對史料進行任何改編，讓學生體會史料的“原汁原味”. 因此，通常在鞏固練習環節中使用復制式. 例如，在教學“等差數列的通項公式”時，可選用《九章算術》中的一些問題作為習題，題目中難以理解的字詞應進行注釋，避免學生在理解題目的過程中遇到困難，而無法考查學生是否真正掌握了知識.

3. 順應式

順應式是較高層次的運用方式，它結合學生的知識基礎、認知水平以及本節課知識的特點，對史料進行改編.通過改編可以在一定程度上避免“史料雖好，但不適用”的情況. 例如，在教學“數列的遞推公式”時，可將漢諾塔改編成游戲，在游戲中學習數列的遞推公式.

4. 重構式

重構式是最高層次的運用方式，它是一種隱形的方式，通過學習史料中蘊含的數學思想方法，讓學生在潛移默化中建構新知，而不是被動地接受知識. 例如，在教學“等差數列的前n項和”時，通過講述高斯計算1+2+3+…+100的故事，學生從中獲得啟示，從而推導出等差數列的前n項和公式.

■ 如何在數學教學各個環節中融入數學史

荷蘭著名的數學教育家弗萊登塔爾曾強調：將數學史融入課堂教學，不是簡單的談歷史、講故事，而是要靈活運用數學史知識，引起學生的興趣，啟發學生的思維，進而有效地幫助學生理解和學習知識［4］. 我國數學教育家張奠宙提出：數學史的研究任務就是提供各種數學歷史背景，讓學生了解數學的原始思考及其來龍去脈，獲得真正的理解［5］.

生搬硬套地在課堂上介紹史料只是形式上的融入，起不到任何教學效果. 要將數學史有效融入到數學教學中，首先需要教師針對本節課的知識開展深入、全面的史料研究，了解相關知識產生、形成、發展的過程，只有在這個基礎上才能更好地將數學史講述給學生. 其次史料的選擇十分關鍵，應選擇學生更容易接受的，能引起學生注意和思考的史料. 再次可根據情況對史料進行加工和改編，既能提高教學質量，又能在教學過程中體現一些數學思想和方法.最后要精心設計將數學史融入課堂教學的時機、方式和方法. 下面探討如何在情境引入、主題探究、鞏固練習三個數學教學環節中融入數學史.

1. 在情境引入中融入數學史

情境引入作為一節課的開端，這意味著如果采用融入數學史的方式來引入課題，那么史料的選擇和處理十分重要，既要與本節課的內容息息相關，又要能激起學生的學習興趣，引發學生思考，保證課堂教學順利、高效地進行下去.

案例1 “等比數列的前n項和”教學的情境引入——棋盤上的麥粒問題.

教師展示國際象棋的圖片，并講述國王與國際象棋發明者之間的故事.

師：相傳當時的國王為了獎賞發明國際象棋的人，便問他想要什么，發明者說：“我想要麥子.”國王笑了笑，便問他要多少，他答道：“在第一個棋格里放1粒麥子，在第2個棋格里放2粒麥子，由此下去，每一個棋格里的麥粒數都是上一個棋格里的2倍，直到放滿64個棋格. 64個棋格的麥粒總數就是我想要的數量.”國王爽快地就答應了.

問題1 同學們可以幫助國王算一算要獎賞國際象棋發明者多少粒麥子嗎？

學生分析后列出1+2+4+…+263，但在逐項相加時發現數值越來越大，這樣計算結果較困難.

問題2 若將每一個棋格里的麥粒數看成一個數列，則這個有64項的數列有什么特點？

學生回答這個數列是首項為1，公比為2，項數為64的等比數列.

因此求64個棋格的麥粒總數就是求首項為1，公比為2的等比數列的前64項和. 這就是我們今天要學習的內容——等比數列的前n項和.

設計意圖 采用故事法，講述國王與國際象棋發明者之間的故事，吸引學生的注意力，自然地引入本節課要學習的內容.

2. 在主題探究中融入數學史

主題探究是課堂教學的第二個環節，也是中心環節. 在這個環節中，教師可借助數學史幫助學生建構新知，將相關知識產生、形成、發展、演繹的過程呈現給學生，而不是直接將結論講給學生. 若涉及數學家的數學思想和方法，應著重講解或讓學生自己領悟、探索其中的精髓，并應用這種思想和方法解決問題.

案例2 等差數列的前n項和——高斯計算1+2+3+…+100.

教師簡要介紹高斯在數學領域的成就，并講述高斯讀小學時，他的老師提出了這樣一個問題：1+2+3+…+100=？當其他同學還正逐項相加時，高斯就計算出來了. 高斯把1和100結合相加，2和99結合相加，由此下去，就可以得到50對101相加，很快得出結果為5050，即（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050. 高斯實際上算出了等差數列1，2，3，…，n的前100項和.

問題1 你能說說高斯在求和過程中使用了什么技巧嗎？你從中得到了什么啟示？

問題2 你能用高斯的方法計算1+2+3+…+100+101嗎？

通過以上兩個問題學生發現，采用高斯的方法求等差數列的前n項和，當項數為偶數時方便快捷，當項數為奇數時多了一個中間項.這導致計算等差數列的前n項和時需要對項數分奇、偶數進行討論.

問題3 我們應如何計算才能避免將項數分為奇、偶數進行討論呢？

■ 結語

教無定法，貴在得法！將數學史融入到數學教學中，如果只是生搬硬套地介紹史料，那么數學史與數學教學的融合只會停留于表面. 如果學生能應用從數學家身上學到的數學思想和方法來建構新知或解決問題，形成自己的數學思維，那么這才是高層次的將數學史滲透到數學教學中最大化的教育價值.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）［S］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 彭剛，汪曉勤，程靖. 數學史融入數學教學：意義與方式［J］. 成都師范學院學報，2016，32（01）：115-120.

［3］ 汪曉勤. 數學史與數學教育［J］. 教育研究與評論（中學教育教學），2014（01）：8-14.

［4］ 高紅磊. 以史為鑒，感受魅力數學課堂——以“數列”為例談如何將數學史融入課堂教學［J］. 中小學數學（高中版），2021（03）：57-59.

［5］ 王兄. 基于圖式的數學學習研究［D］. 華東師范大學，2005.